Apostila de Matemática Financeira, Notas de estudo de Engenharia Química

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MATEMÁTICA

FINANCEIRA

CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA

Professor Gustavo B. Caminiti

Universidade de Ribeirão Preto - UNAERP

Conteúdo

1. Conceitos Gerais

1.1. Juro

A matemática trata, em essência, do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. O seu objetivo básico é o de efetuar análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de dinheiro de caixa verificado em diferentes momentos.

Receber uma quantia hoje ou no futuro não é evidentemente a mesma coisa. Em princípio, uma unidade monetária hoje é preferível à mesma unidade monetária disponível amanhã. Postergar uma entrada de caixa (recebimento) por certo tempo envolve um sacrifício, o qual deve ser pago mediante uma recompensa, definida pelos juros. Desta forma, são os juros que efetivamente induzem o adiantamento do consumo, permitindo a formação de poupanças e de novos investimentos.

As taxa de juros devem ser eficientes de maneira a remunerar:

I. o risco envolvido na operação (empréstimo ou aplicação), representado genericamente pela incerteza com relação do futuro; II. a perda do poder de compra do capital motivada pela inflação. A inflação é um fenômeno que corrói o capital, determinando um volume cada vez menor de compra com o mesmo montante; III. o capital emprestado/aplicado. Os juros devem gerar um lucro (ou ganho) ao proprietário do capital como forma de compensar a sua privação por determinado período de tempo. Este ganho é estabelecido basicamente e definido por custo de oportunidade.

1.2. Taxas de juro

A taxa de juro é o coeficiente que determina o valor do juro, isto é, a remuneração do fator capital utilizado durante certo período de tempo.

As taxas de juros se referem sempre a uma unidade de tempo (mês, semestre, ano, etc.) e podem ser representadas equivalentemente de duas maneiras: taxa percentual e taxa unitária.

A taxa percentual refere-se aos “centos” do capital, ou seja, o valor dos juros para cada centésima parte do capital.

Exemplo: um capital de $1.000,00 aplicado a 20% ao ano rende de juro, ao final deste período:

ᡢᡳᡰᡧ = $ 1.000,00 100 × 20 ᡢᡳᡰᡧ = $10,00 × 20 = $ 200, O capital de $ 1.000,00 tem dez centos. Como cada um deles rende 20, a remuneração total da aplicação no período é, portanto, de $ 200,00.

A taxa unitária centra-se na unidade de capital. Reflete o rendimento de cada unidade de capital em certo período de tempo.

Exemplo (acima), a taxa percentual de 20% ao ano indica um rendimento de 0, (20%/100) por unidade de capital aplicada, ou seja:

→∃∀↗ = $ ❸. ❷❷❷, ❷❷ × ❸❷❷❹❷ →∃∀↗ = $ ❸. ❷❷❷, ❷❷ × ❷, ❹❷ = $ ❹❷❷, ❷❷ A transformação da taxa percentual em unitária se processa simplesmente pela divisão da notação em percentual por 100. Para a transformação inversa, basta multiplicar a taxa unitária por 100.

Taxa Percentual Taxa unitária 1,5% 0, 8% 0, 17% 0, 86% 0, 120% 1, 1.500% 15,

Nas fórmulas de matemática financeira todos os cálculos são efetuados utilizando-se a taxa unitária de juros. Os enunciados e as respostas dos exercícios a serem resolvidos nesta disciplina serão indicados pela taxa percentual.

1.3. Diagrama de fluxo de Caixa

A matemática financeira se preocupa com o estudo das várias relações dos movimentos monetários que se estabelecem em distintos momentos no tempo.

1.5. Critérios de capitalização dos juros

Exemplo 1: admita um empréstimo de $ 1.000,00 pelo prazo de 5 anos, pagando-se juros simples à razão de 10% ao ano.

Ano Saldo no início decada ano ($) Juros apurados paracada ano ($)

Saldo devedor ao final de cada ano ($)

Crescimento anual do saldo devedor ($) Início do 1º ano - - 1.000,00 - Fim do 1º ano 1.000,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.100,00 100, Fim do 2º ano 1.100,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.200,00 100, Fim do 3º ano 1.200,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.300,00 100, Fim do 4º ano 1.300,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.400,00 100, Fim do 5º ano 1.400,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.500,00 100,

Exemplo 2: admita um empréstimo de $ 1.000,00 pelo prazo de 5 anos, pagando-se juros compostos à razão de 10% ao ano.

Ano Saldo no início decada ano ($) Juros apurados paracada ano ($)

Saldo devedor ao final de cada ano ($) Início do 1º ano - - 1.000, Fim do 1º ano 1.000,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.100, Fim do 2º ano 1.100,00 0,10 x 1.000,00 = 110,00 1.210, Fim do 3º ano 1.210,00 0,10 x 1.210,00 = 121,00 1.331, Fim do 4º ano 1.331,00 0,10 x 1.331,00 = 133,10 1.464, Fim do 5º ano 1.464,10 0,10 x 1.464,10 = 146,41 1.610,

2. Juro simples

Os juros simples, principalmente diante de suas restrições técnicas, têm aplicações práticas bastante limitadas. São raras as operações financeiras e comerciais que formam temporalmente seus montantes de juros segundo o regime de capitalização linear. O uso dos juros simples restringe-se principalmente às operações praticadas no âmbito do curto prazo.

No entanto, as operações que adotam juros simples, além de apresentarem geralmente prazos reduzidos, não costumam apurar o seu percentual de custo (ou rentabilidade) por este regime. Os juros simples são utilizados para o cálculo dos valores monetários da operação (encargos a pagarem para empréstimos, e rendimentos financeiros, para aplicações), e não para a apuração do efetivo resultado.

2.1. Fórmulas de Juros Simples

O valor dos juros é calculado a partir da seguinte expressão: Ⅶ = ⅙ × ↑ × ↖

onde:

J = valor dos juros expresso em unidades monetárias; C = capital. É o valor (em $) representativo de determinado momento; i = taxa de juros, expressa em sua forma unitária; n = prazo. Esta fórmula é básica tanto para o cálculo dos juros como dos outros valores financeiros mediante simples dedução algébrica:

⅙ = (^) ↑ ×Ⅶ ↖ ↑ = (^) ⅙ Ⅶ× ↖ ↖ = (^) ⅙ Ⅶ× ↑

2.1.1. Exemplos:

1. Um capital de $ 80.000,00 aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante um trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período.

IMPORTANTE

A expressão (1 + i x n) é definida como fator de capitalização (ou de valor futuro – FCS) dos juros simples. Ao multiplicar um capital por este fator, corrige-se o seu valor para uma data futura, determinando o montante. O inverso, ou seja, 1/(1 + i x n) é denominado de fator de atualização ( ou de valor presente – FAS). Ao se aplicar o fator sobre um valor expresso em uma data futura, apura-se o seu equivalente numa data atual.

2.2.1. Exemplos:

1. Uma pessoa aplica $ 18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses. Determinar o valor acumulado ao final deste período Solução: C = 18.000, i =1,5% ao mês (0,015) n =8 meses M =?

Ⅹ = ⅙ (❸ + ↑ × ↖)

Ⅹ = ❸➅. ❷❷❷, ❷❷ (❸ + ❷, ❷❸➂ × ➅)

Ⅹ = ❸➅. ❷❷❷, ❷❷ × ❸, ❸❹

2. Uma dívida de $ 900.000,00 irá vencer em 4 meses. O credor está oferecendo um desconto de 7% ao mês caso o devedor deseje antecipar o pagamento para hoje. Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida. Solução: M = 900.000, i = 7% ao mês (0,07) n =4 meses C =?

⅙ = (❸ +Ⅹ ↑ × ↖)

⅙ = (❸ + ❷, ❷➄ × ➁➆❷❷. ❷❷❷, ❷❷)

2.3. Taxa Proporcional e Taxa Equivalente

Para se entender mais claramente o significado destas taxas deve-se reconhecer que toda operação envolve dois prazos: o prazo a que se refere à taxa de juros; e o prazo de capitalização dos juros.

Por exemplo: sabe-se que a caderneta de poupança paga aos seus depositantes uma taxa de juros 6% ao ano; a qual é agregada (capitalizada) ao principal todo mês através de um percentual proporcional de 0,5%. Tem-se aqui, então, dois prazos – prazo da taxa: ano e prazo de capitalização: mês.

2.3.1. Exemplos:

1. Calcular a taxa anual proporcional a: a) 6% ao mês; b) 10% ao bimestre. Solução: a) i = 6% x 12 = 72% ao ano. b) i = 10% x 6 = 60% ao ano.

2. Calcular o montante de um capital de $ 600.000,00 aplicado à taxa de 2,3% ao mês pelo prazo de um ano e 5 meses. Solução: M =? i = 2,3% ao mês (0,023) n =1 ano e 5 meses (17 meses) C = $ 600.000,

Ⅹ = ⅙ (❸ + ↑ × ↖)

Ⅹ = ➃❷❷. ❷❷❷, ❷❷ (❸ + ❷, ❷❹➀ × ❸➄)

Ⅹ = ➃❷❷. ❷❷❷, ❷❷ × ❸, ➀➆❸

2.5. Exercícios – Juros Simples

1. Calcular a taxa mensal proporcional de juros de:’ a) 14,4% ao ano; 1,2% a.m. b) 6,8% ao quadrimestre; 1,7% a.m. c) 11,4% ao semestre; 1,9% a.m. d) 110,4% ao ano; 9,2% a.m. e) 54,72% ao biênio. 2,28% a.m.

2. Calcular a taxa trimestral proporcional a juros de? a) 120% ao mês; 30% a.t. b) 3,2% ao quadrimestre; 2,4% a.t. c) 1,5% ao mês. 4,5% a.t.

3. Uma pessoa aplicou em uma instituição financeira $ 18.000,00 resgatando $ 21.456, quatro meses depois. Calcular a taxa mensal de juros simples auferida nesta aplicação. (R.: 4,8% .a.m.)

4. Se uma pessoa necessitar de $ 100.000,00 daqui a 10 meses, quanto deverá ela depositar hoje num fundo de poupança que remunera a taxa linear de 12% ao ano? (R.:$90.909,09)

5. Determinar a taxa bimestral de juros simples que faz com que um capital triplique de valor após 2 meses. (R.:16.6666...% a.b.)

6. Um título com valor nominal de $ 7.200,00 vence em 120 dias. Para uma taxa de juros simples de 31,2% ao ano, pede-se calcular o valor deste título: a) Hoje; (R.:$6.521,74) b) Dois meses antes de seu vencimento; (R.:$6.844,11) c) Um mês após o seu vencimento(R.:$7.387,20)

7. Uma nota promissória de valor nominal de $ 140.000,00 é resgatada dois meses antes de seu vencimento. Qual o valor pago no resgate, sabendo-se que a taxa de juros simples é 1,9% ao mês? (R.:$134.874,76)

8. Um empréstimo de $ 3.480,00 foi resgatado 5 meses depois pelo valor de 3.949,80. Calcular a taxa de juros simples em bases mensais e anuais desta operação. (R.:2,7% a.m. e 32.4% a.a.)

9. Uma dívida no valor de $ 48.000,00 vence daqui a 6 meses. O devedor pretende resgatar a dívida pagando $ 4.800,00 hoje, $ 14.00,00 de hoje a dois meses, e o restante um mês após a data de vencimento. Sendo o momento deste último pagamento definido como a data focal da operação, e sabendo-se ainda que seja 34,8% ao ano a taxa linear de juros adotada nesta operação, determinar o montante do pagamento.

10. Uma máquina calculadora está sendo vendida a prazo nas seguintes condições:

• $ 128,00 de entrada;
• $ 192,00 em 30 dias;
• $ 192,00 em 60 dias; Sendo de 1,1% ao mês a taxa linear de juros, pede-se calcular até que preço é interessante comprar a máquina à vista. (R.:$505,78)

Divida original

Proposta de pagamento

M (^) FocalData

Ⅶ = Ⅲⅸ − ⅲⅸ Como: Ⅲⅸ = ⅲⅸ (❸ + ↑ )↖ Colocando-se PV em evidência: Ⅶ = ⅲⅸ. 䙰 (❸ + ↑ )↖^ 䙱 − ❸

3.1.1. Exemplos:

1. Se uma pessoa deseja obter $ 27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa alternativa de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês? FV = $ 27.500, i = 1,7% ao mês (0,017) n =1 ano (12 meses) PV =?

ⅲⅸ = (^) (❸ Ⅲⅸ+ ↑)↖

ⅲⅸ = (^) (❸ + ❷, ❷❸➄)❹➄. ➂❷❷, ❷❷❸❹

ⅲⅸ = ❹➄. ➂❷❷, ❷❷❸, ❹❹➁❸➆➄ ⅲⅸ = $ ❹❹. ➁➃❹, ➄❷

2. Qual o valor de resgate de uma aplicação de $ 12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses á taxa de juros composta de 3,5% a.m.? FV =? i = 3,5% ao mês (0,035) n = 8 meses PV = $ 12.000,

Ⅲⅸ = ⅲⅸ (❸ + ↑)↖ Ⅲⅸ = ❸❹. ❷❷❷, ❷❷ (❸ + ❷, ❷➀➂)➅ Ⅲⅸ = ❸❹. ❷❷❷, ❷❷ × ❸, ➀❸➃➅❷➆ Ⅲⅸ = $ ❸➂. ➅❷❸, ➄❸

3. Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de $ 40.000,00 que produz um montante de $ 43.894,63 ao final de um quadrimestre. FV = $ 43.894, i =? n = 4 meses PV = $ 40.000,

Ⅲⅸ ⅲⅸ =^ (❸^ +^ ↑)

↖ ➁➀. ➅➆➁, ➃➀ ➁❷. ❷❷❷, ❷❷ = (❸ + ↑)

➁

❸, ❷➆➄➀➃➃ = (❸ + ↑)➁ 㒓➁^ ❸, ❷➆➄➀➃➃= ➁㒕(❸ + ↑)➁ ❸, ❷➆➄➀➃➃❸^ ➁^ = (❸ + ↑)

4. Uma aplicação de $ 22.000,00 efetuada em certa data produz, à taxa composta de juros de 2,4% ao mês, um montante de $ 2.596,4 em certa data futura. Calcular o prazo da operação. FV = $ 26.596, i = 2,4% a.m. n =? PV = $ 22.000,

Ⅲⅸ ⅲⅸ =^ (❸^ +^ ↑)

↖ 26.596, 22.000,00 = (❸ + ❷, ❷❹➁)

↖

❸, ❹❷➅➆❹➄ = (❸, ❷❹➁)↖ ᠒᠕᠇ ❸, ❹❷➅➆❹➄ = ↖ × ᠒᠕᠇ ❸, ❷❹➁ ↖ = ᠒᠕᠇ ❸, ❹❷➅➆❹➄᠒᠕᠇ ❸, ❷❹➁

↖ = ❷, ❷➅❹➁❷❷ ❷, ❷❸❷➀❷❷ ↖ = ➅ ↕ↇ∁ↇ∁

5. Determinar o juro pago de um empréstimo de $ 88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 4,5% ao mês. J =? i = 4,5% a.m. n = 5 meses PV = $ 88.000,

Ⅶ = ⅲⅸ㐧(❸ + ↑)↖^ − ❸㐱 Ⅶ = ➅➅. ❷❷❷, ❷❷ 䙴(❸, ❷➁➂)➂^ − ❸䙵 Ⅶ = ➅➅. ❷❷❷, ❷❷ × ( 0,246182) Ⅶ = $ ❹❸. ➃➃➁, ❷❹

3.2. Taxas Equivalentes

O conceito enunciado de taxa equivalente permanece válido para o regime de juros compostos diferenciando-se, n entanto, a fórmula de cálculo da taxa de juros. Por se tratar de capitalização exponencial, a expressão da taxa equivalente composta é a média geométrica da taxa de juros do período inteiro, ou seja:

↑↙ = √❸ + ↑^ ↙ − ❸

onde

1. Um empréstimo no valor de $ 11.000,00 é efetuado pelo prazo de um ano à taxa nominal (linear) de juros de 32% ao ano, capitalizados trimestralmente. Pede-se determinar o montante e o custo efetivo do empréstimo.

Solução:

• Taxa nominal (linear) i = 32% a.a.
• Descapitalização proporcional i =32%/4 =8% a.t.
• Montante do empréstimo Ⅲⅸ = ⅲⅸ (❸ + ↑ )➁ Ⅲⅸ = ❸❸. ❷❷❷, ❷❷ (❸, ❷➅ )➁^ Ⅲⅸ = $ ❸➁. ➆➃➂, ➁❷
• Taxa efetiva: ↑ↈ = (❸ + ❷, ❷➅)➁^ − ❸ ↑ↈ = (❸, ❷➅)➁^ − ❸ ↑ↈ = ➀➃, ❷% Ↄ. Ↄ.

3.4. Exercícios

1. Calcular o montante de uma aplicação financeira de $ 80.000,00 admitindo-se os seguintes prazos e taxas: a) i = 5,5% a.m. n = 2 anos (resposta:$ 289.167,20) b) i = 9% ao bimestre n = 1 ano e 8 meses (resposta:$189.389,10 ) c) i = 12% a.a. n = 108 meses (resposta:$221.846.30 )

2. Determinar o juro de uma aplicação de $ 100.000,00 nas seguintes condições de taxa e prazo: a) i = 1,5% a.m. n = 1 ano (resposta: $19.561,80) b) i = 3,5% a.t. n = 2 anos e meio (resposta: $41.059.90) c) i = 5% a.s. n = 3 anos (resposta:$34009,60) d) i = 4,2% a.q. n = 84 meses (resposta:$137.258,70 )

3. Uma pessoa Irá necessitar de $ 12.000,00 daqui a 7 meses. Quanto deverá ela depositar hoje numa conta de poupança, para resgatar i valor desejado no prazo, admitindo uma taxa de juros de 3,5% ao mês? (resposta:9.431,89 )

4. Determinar o montante de uma aplicação de $ 22.000,00 admitindo os seguintes prazos e taxas: a) i = 2,2% a.m. n = 7 anos (resposta:$25.619,99 )

b) i = 5% a.m. n = 2 anos (resposta:$70.952,20 ) c) i = 12% a.t. n = 1 ano e meio (resposta: $43.424,10 ) d) i = 20% a.s. n = 4 anos (resposta: $94.595,97 ) e) i = 0,15% ao dia n = 47 dias (resposta: $23.605,73) f) i = 9% a.m. n = 216 meses (resposta: $103.776,65 )

5. Calcular a taxa mensal de juros de uma aplicação de $ 6.600,00 que produz um montante de $ 7.385,81 ao final de 7 meses. (resposta:1,62%a.m. )

6. Em quanto tempo duplica um capital que cresce a uma taxa de juros compostos de 2,2% ao mês? (resposta:31,85 meses )

7. Uma pessoa deve a um banco dois títulos com valores de resgate de $ 4.000,00 e $ 9.000,00 vencíveis, respectivamente, em 5 e 7 meses. Desejando antecipar a liquidação de toda a dívida para o momento atual (data zero), pede-se determinar o valor a pagar considerando uma taxa de juros de 1,9% ao mês. (resposta:$11.529,76 )

8. Verificar se as taxas de juros de 13,789318% a.t. e 35,177214% para 7 meses são equivalentes. (resposta:As taxas são equivalentes )

9. Calcular a taxa efetiva anual (ou capitalizar para uma ano) às seguintes taxas: a) 2,5% a.m. (resposta:34,49% a.a. ) b) 4% a.b. (resposta:26,53% a.a. ) c) 6% a.t. (resposta:26,25% a.a. ) d) 10% a.s. (resposta:21,0% a.a. )

10. Uma aplicação de $ 78.000,00 gerou um montante de $ 110.211,96 numa certa data. Sendo de 2,5% ao mês a taxa de juros considerada, calcular o prazo da aplicação. (resposta: 14 meses )

11. Uma loja está oferecendo uma mercadoria no valor de $ 900,00 com desconto de 12% para pagamento a vista. Outra opção de compra é pagar os $ 900,00 após 30 dias sem desconto. Calcular o custo efetivo mensal da venda a prazo. (resposta:13,64% a.m. )

12. Para uma taxa de juros de 7% ao mês, qual das duas alternativas de pagamento apresenta menor custo para o devedor: a) Pagamento integral de $ 140.000,00 a vista (na data zero);