Apostila ga I, Notas de estudo de Engenharia Mecânica

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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR I

ANTONIO CARLOS BASSO

ESCOLA DE ENGENHARIA DE PIRACICABA

APONTAMENTOS DE AULA

MATRIZES

1.1 INTRODUÇÃO

Nesta seção, apresentaremos os conceitos básicos sobre Matrizes^1. Estes conceitos

aparecem naturalmente no estudo da Álgebra Linear e são essenciais, não apenas porque eles ordenam e simplificam o problema, mas também porque fornecem novos métodos de resolução.

Definição:

Uma matriz 𝑨𝒎×𝒏 é um quadro retangular de 𝒎𝒏 elementos dispostos em 𝒎 linhas

(horizontais) e 𝒏 colunas (verticais).

Representaremos uma matriz de ordem 𝒎 × 𝒏 , ou seja, m linhas e n colunas por:

 ij  mn

m m mn

n

n

mxn a

a a a

a a a

a a a

A  

1 2

21 22 2

11 12 1

, 𝑜𝑛𝑑𝑒

O símbolo aij representa o elemento na i-ésima linha e j-ésima coluna.

As matrizes também podem ser representadas por parênteses ou duas barras. (Cuidado

não use uma barra , pois essa notação é exclusiva para o estudo dos Determinantes).

Por exemplo:

 (^) ij  (^) mn

m m m

n

n

m n a

a a a

a a a

a a a

A (^)   



1 2 2

21 22 2

11 12 1

ou ijmn

m m mn

n

n

m n a

a a a

a a a

a a a

A  (^) 

1 2

21 22 2

11 12 1

Se 𝑚 = 𝑛, dizemos que 𝐴 é uma matriz quadrada de ordem n e que os elemetos:

𝑎 11 𝑎 22 … 𝑎𝑛𝑛 formam a diagonal principal de 𝐴.

_________________________

(^1) Embora o termo matriz tenha sido usado pela vez em 1848 por James Sylvester (1814-1897),

foi Arthur Cayley (1821-1895) quem primeiro considerou matrizes como conceito especial, em uma artigo de 1858 intitulado “Uma memória sobre a teoria das matrizes”.

1.2.1 Matriz Nula

É a matriz cujos os elementos 𝑎𝑖𝑗 = 0, para todo 𝑖 e 𝑗, tais como:

0   0 0 = 0 0 0 0

Usualmente indicamos uma matriz nula (independente do seu formato) por 0.

1.2.2 Matriz Diagonal

É matriz quadrada que apresenta os elementos 𝑎𝑖𝑗 = 0 se 𝑖 ≠ 𝑗, tais como:

1.2.3 Matriz Identidade ou Matriz Unidade 𝑰𝒏

É a matriz diagonal que apresenta 𝑎𝑖𝑗 = 1 se 𝑖 = 𝑗, exemplos:

I 2

I 4

1.2.4 Matriz Linha

É a matriz que apresenta uma única linha (𝑚 = 1) , tais como:

 1 3  ,  2 1 3 ,  1 3  1 0 4 

1.2.5 Matriz Coluna

É a matriz que apresenta uma única coluna 𝑛 = 1 , tais como:

Obs. É o tipo de matriz usada para representar vetores em 𝑅𝑛^.

No decorrer do curso apresentaremos mais algumas matrizes ditas especiais.

1.3 Igualdade de Matrizes

Definição:

Duas matrizes 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ]𝑚 ×𝑛 e 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗 ]𝑚×𝑛 são iguais se , 𝒂𝒊𝒋 = 𝒃𝒊𝒋 ou seja, se os

elementos correspondentes forem iguais.

Exemplo 1. Calcule os valores reais de 𝑥, 𝑦 e 𝑧 para que as matrizes

y

x

A

e 

B z 3 sejam iguais.

Comparando os elementos correspondentes, verificamos que existe a possibilidade da

igualdade se, e somente se :

𝑥^2 − 1 = 8

𝑦 + 3 = 2 𝑧^3 = 8

, resolvendo as equações, temos:

𝑥^2 − 1 = 8 𝑦^ +2 3 = 2 𝑧^3 = 8

𝑥^2 = 9 𝑦 + 2 = 6 𝑧 = 3 8 = 2

Resposta: 𝑥 = ±3, 𝑦 = 4 e 𝑧 = 2.

1.4 Adição Matricial

Definição:

Se 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 (^) 𝑚×𝑛 e 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 (^) 𝑚 ×𝑛 , então a soma das matrizes 𝐴 e 𝐵 é a matriz

𝐶 = 𝑐𝑖𝑗 (^) 𝑚 ×𝑛 , definida por

Ou seja, C é a matriz cujos elementos são somas dos elementos correspondentes de 𝐴 e 𝐵.

Exemplo 1. Se 𝛼 = − 5 e 

A ,então

Propriedades da multiplicação por escalar

Se α e β são números reais e 𝑨 e 𝑩 matrizes de mesma ordem, então

a) 𝜶 𝜷 𝑨 = (𝜶𝜷)𝑨

b) 𝜶 + 𝜷 𝑨 = 𝜶𝑨 + 𝜷𝑨

c) 𝜶 𝑨 + 𝑩 = 𝜶𝑨 + 𝜶𝑩

d) 𝟏𝑨 = 𝑨

Exemplo 2. Dadas a matrizes

A ,

B e

C. Calcule a

matriz 𝑋, tal que 2 𝐴 + 𝑋 + 𝐵 = 3 2 𝑋 − 𝐶.

Isolando a matriz 𝑋

2 𝐴 + 2𝑋 + 𝐵 = 6𝑋 − 3 𝐶

2 𝑋 − 6 𝑋 = − 2 𝐴 − 𝐵 − 3 𝐶

4 𝑋 = 2𝐴 + 𝐵 + 3𝐶

1 4 2 𝐴^ +^ 𝐵^ + 3𝐶

1 4

5 2 7 4 −^

1 2 11 4 1

Resposta: 𝑋 =

5 2 7 4 −^

1 2 11 4 1

Exemplo 3. Dadas as matrizes 𝐴 = 2 −^1 1 3

e 𝐵 = 1 2 4 0

. Determine as matrizes 𝑋 𝑒 𝑌, tais

que: 3 𝑋^ + 2𝑌^ =^ 𝐴 5 𝑋 + 4𝑌 = 2𝐵

Para encontrar as matrizes 𝑋 𝑒 𝑌, é necessário resolver o sistema linear (qualquer método ). Usando então as operações elementares, multiplique a linha 1 por 5, a linha 2 por 3 ,

troque os sinal de uma das linhas e some, eliminando-se a variável matriz 𝑋 , determina-se 𝑌.

1 2 −^5

1 2

1 2

1 2 (−^5 𝐴^ + 6𝐵)^ ⋮^ 𝑌^ =^

19 2 −^

15 2

Para encontrar a matriz 𝑋 , substitui 𝑌 no sistema (qualquer linha) ou faz – se o mesmo

procedimento isolando a matriz 𝑌. Então isolando 𝑌,

Multiplicando a linha 1 por 2, trocando o sinal e somando com a linha 2, temos

− 6 𝑋 − 4 𝑌 = − 2 𝐴 ⋮ 𝑋 = 2 2 −^1

5 𝑋 + 4𝑌 = 2 𝐵 ⋮ 𝑋 = 4 −^2

+ −^2 −^4

−𝑋 = − 2 𝐴 + 2𝐵 ⋮ 𝑋 = 2 −^6

Resposta: 𝑋 = 2 −^6 − 6 6

e 𝑌 =

17 2 19 2 −^

15 2

1.7 Notação de Somatório

Faremos aqui uma breve revisão (o necessário para definição de multiplicação de

matrizes) desta notação compacta e útil, que é amplamente usada na matemática.

O símbolo



n

i

ai 1

, representa a seguinte soma:

A letra 𝑖 é chamada de índice do somatório e pode ser substituída por qualquer letra. Assim podemos escrever

  

n

j

n

k

j k

n

i

ai a a 1 1 1

Exemplo1. Calcule:

2 𝑖^

4

𝑖=

Exemplo 2. Escreva na forma expandida 



n

i

ri ai 1

𝑛

𝑖=

Exemplo 3. Escreva na forma expandida (Importante entender, será usado no item seguinte) :

a) 



5

1

1 1 k

ak bk ,

5

k= 1

4

𝑖 = 1

b) 



5

1

1 2 k

ak bk ,

5

k= 1

c) 



5

k 1

amkbkn ,

5

k= 1

d) 



p

k

amkbkn 1

p

k= 1

1.8 Multiplicação Matricial

Definição

Se 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 (^) 𝑚 ×𝑝 e 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 (^) 𝑝×𝑛 , então o produto de 𝐴 e 𝐵 é a matriz 𝐶 = 𝑐𝑖𝑗 (^) 𝑚×𝑛 , definida

por

cij = 𝑎𝑚𝑘 𝑏𝑘𝑛 =𝑎𝑖 1 𝑏 1 𝑗 + 𝑎𝑖 2 𝑏 2 𝑗 + 𝑎𝑖 3 𝑏 3 𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑝 𝑏𝑝𝑗

p

k=

Onde, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 e 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛.

Exemplo 1. Sejam 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 (^) 2×3 e 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 (^) 3×2, 𝐶 = 𝑐𝑖𝑗 (^) 3×1e 𝐷 = 𝑑𝑖𝑗 (^) 2×2 Verifique se é

possível ocorrer a multiplicação e caso seja possível dê a ordem da matriz resultante, nas operações entre as matrizes indicadas abaixo:

a) 𝐴𝐵

Para que seja possível a multiplicação, o número de coluna da matriz 𝐴 tem que ser

igual ao número de linhas da matriz B e a matriz resultante terá ordem igual ao número de linhas da coluna 𝐴 e o número de colunas da matriz 𝐵( conforme definição), logo:

𝐴2×3. 𝐵3×2 = 𝐴𝐵2×

c) 𝐴. 𝐶

. 2 −^1

d) 𝐷. (𝐴 + 𝐵)

e) 𝐶^2 − 𝐴𝑇^. 𝐵

𝐶^2 = 𝐶. 𝐶 = 2 −^1

. 2 −^1

= 3 −^5

𝐴𝑇^. 𝐵 = −^1 3

= −^11 −^5

𝐶^2 − 𝐴𝑇^. 𝐵 = 3 −^5

− −^11 −^5

𝐶^2 − 𝐴𝑇^. 𝐵 = 14 0

Propriedades da Multiplicação Matricial

a) Em geral 𝑨. 𝑩 ≠ 𝑩. 𝑨 Notas: 1. Além de ser diferentes pode acontecer que, um membro pode estar definido e o outro não.

2. Até podem ser iguais. ( Os casos especiais serão estudados mais adiante)

b) Se 𝐴, 𝐵 𝑒 𝐶 têm ordens (formas) apropriadas, então 𝑨 𝑩𝑪 = 𝑨𝑩 𝑪

c) Se 𝐴, 𝐵 𝑒 𝐶 têm ordens (formas) apropriadas, então 𝑨 𝑩 + 𝑪 = 𝑨𝑩 + 𝑨𝑪

d) Se 𝐴, 𝐵 𝑒 𝐶 têm ordens (formas) apropriadas, então 𝑨 + 𝑩 𝑪 = 𝑨𝑪 + 𝑩𝑪

e) Se 𝐴 𝑒 𝐵 têm ordens (formas) apropriadas e 𝛼 ∈ 𝑅, então 𝑨 𝜶𝑩 = 𝜶(𝑨𝑩)

f) Se 𝐴 𝑒 𝐼 têm formas apropriadas, então 𝑨𝑰 = 𝑰𝑨 = 𝑨

g) Se 𝑨 𝑒 𝟎 são têm formas apropriadas, então 𝟎𝑨 = 𝟎 e 𝑨𝟎 = 𝟎 (onde a matriz 0 é a matriz nula)

Nota: Pode ocorrer 𝑨𝑩 = 𝟎 sem que 𝑨 ou 𝑩 sejam nulas.

h) 𝑨𝑩 𝑻^ = 𝑩𝑻𝑨𝑻

1.8.1 Potências inteiras não negativas de uma matriz quadrada A de ordem n.

1. Se 𝒑 é um número inteiro positivo, definimos então 𝑨𝒑^ = 𝑨. 𝑨. ⋯. 𝑨 𝒑
2. Se 𝒑 = 0, definimos também 𝑨𝟎^ = 𝑰𝒏

Propriedades. Seja 𝑨 uma matriz de ordem n , 𝒑 ≥ 𝟎 e 𝒒 ≥ 𝟎, então

a) 𝑨𝒑𝑨𝒒^ = 𝑨𝒑+𝒒

b) (𝑨𝒑)𝒒^ = 𝑨𝒑𝒒

Cuidado! Em geral 𝑨𝑩 𝒑^ ≠ 𝑨𝒑𝑩𝒑^. Só ocorre a igualdade no caso em que 𝑨𝑩 = 𝑩𝑨.

Exemplo1. Dada a matriz 𝐴 = 1 −^2 3 2

. Calcule: a) 𝐴^0 , b) 𝐴^2 e c) 𝐴^3.

a) 𝐴^0 = 𝐼 2 = 1 0 0 1

b) 𝐴^2 = 𝐴. 𝐴 = 13 − 22. 13 − 22 = −^5 −^6 9 − 2

c) Aplicando a propriedade associativa da multiplicação matricial, temos 𝐴^3 = 𝐴. 𝐴. 𝐴 = 𝐴. 𝐴. 𝐴 = 𝐴^2. 𝐴 = 𝐴. 𝐴^2 Neste caso, constatamos a comutatividade e podemos fazer uso dela,

𝐴^3 = 𝐴^2. 𝐴 = −^5 −^6

. 1 −^2

= −^23 −^2

𝐴^3 = 𝐴. 𝐴^2 = 1 −^2

. −^5 −^6

= −^23 −^2

6) 2C+F – G

7) 3(𝐶 − 𝐸)𝑇^ − 2 𝐶𝑇

8) Determinar a matriz X, tal que 2 X  A  3 B , nos casos:

a) 𝐴 = 2 4 0 1

e 𝐵 = −^1 − 2 1

b) 𝐴 =

e 𝐵 =

9. Sejam as matrizes

e 0 3 5

A B

e  um número real,

encontre as matrizes indicada abaixo. a) 𝐴 − 𝜆𝐼 2.

b) 𝐵 − 𝜆𝐼 3

10. Sejam

e.

A B

Calcule: a) 𝐴𝐵 e b) 𝐵𝐴

Obs.:

Se 𝒂 e 𝒃 são números reais, então 𝒂𝒃 = 𝟎 só é válido se 𝒂 ou 𝒃 for zero. Este resultado, no entanto, não é válido para matrizes. Se 𝒂 e 𝒃 são números reais, então 𝒂𝒃 = 𝒃𝒂. Esta Propriedade (COMUTATIVA), no entanto, não é válido para matrizes.

11. Sejam

, B= e

A C

. Calcule: a) 𝐴𝐵 e b) 𝐴𝐶

Obs.: Se a, b e c são números reais para os quais ab = ac e a  0 , então b = c ,

isto é podemos cancelar 𝒂. No entanto esta propriedade não é válida para as matrizes. No exemplo constatamos que 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 e 𝐵 ≠ 𝐶.

12. Se

, B= , C= e D=

A

   ^ ^ ^ ^ ^ 

 ^ ^ ^ ^ ^ 

Encontre as matrizes indicadas abaixo: 𝐴𝐵 , 𝐴𝐶 e 𝐴𝐷.

13) Verifique a propriedade associativa A BC ( ) ( AB C ) através do cálculo de ambos

os membros da igualdade, nos casos:

a)

, e C=

A B

b)  

2 1 , B= e C=

A

14. Seja

A

. Encontre a matriz 2 A^3^  3 A^2  4 A  5 I 2.

15) Faça as operações 𝐴𝐵 e 𝐵𝐴 e note que AB  BA  I ,quando isto acontece dizemos

que as matrizes 𝐴 𝑒 𝐵 são Inversas (estudaremos este assunto no capítulo seguinte).

a) 

e

A B

b)

A B

 ^ ^  ^  

16. Faça as operações indicadas e note as matrizes  

A e  

B são

inversas e reflita sobre as operações dos itens b e c.

a) 

Note que AB  BA  I ,

b)

Observe que 𝐴. 𝑋 = 𝑌

c)^16

Enquanto que a matriz 𝐵 que é a inversa da matriz 𝐴, ao multiplicar a matriz 𝑌 resulta

na matriz 𝑋.

17. Faça as operações indicadas e note as matrizes

e

são

inversas e reflita sobre as operações dos itens b e c.

4. 3 𝐶 − 2 𝐸 = 42 − 511 −−^65

5. 2(𝐴 − 𝐵)𝑇^ − 3 𝐴𝑇^ = −^8

6. Operações não definidas.

7. 3(𝐶 − 𝐸)𝑇^ − 2 𝐶𝑇^ =

8. a) 𝑋 = −^

5 2

5 2 − 3 1

c) 𝑋 =

7 2 −^2 −^2 3 2

1 2 −^

3 2 5 2 0 −^

1 2 .

9. a) 𝐴 − 𝜆𝐼 2 = −^3 −^ − 𝜆 1 2 − 𝛾^4

b) 𝐵 − 𝜆𝐼 3 =

10. a) 𝐴𝐵 = 0 0 0 0

b) 𝐵𝐴 = −^8 −^16 4 8

11. a) 𝐴𝐵 = 8 5 16 10

b) 𝐴𝐶 = 8 5 16 10

Note que 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 e 𝐵 ≠ 𝐶.

12. 𝐴𝐵 = 25 −^10

𝐴𝐶 = 25 −^10

13. a) 𝐴 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 𝐶 = 32 51 − 2 − 17

b) 𝐴 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 𝐶 = − 3

14. 2. 𝐴^3 + 3. 𝐴^2 + 4. 𝐴 + 5𝐼 2 = 419 1926

15. a) 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼 = 10 01.

b) 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼 =

Logo as matrizes 𝐴 e B são matrizes inversas ou seja 𝐵 = 𝐴−^1.

16. a) 𝐼 2 = 1 0 0 1

b) 22 32

c) 1 3

17. a) 𝐼 3 =

b)

c)

18. Será feito em classe.