apostila matematica financeira, Notas de estudo de Matemática

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PROFESSORA: MICHELLE CRISTINA DUARTE

Disciplina: Matemática Financeira

APOSTILA DE

MATEMÁTICA FINANCEIRA

CURSO: CIÊNCIAS CONTÁBEIS

1º SEMESTRE – 2007

1. Conceitos básicos

A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar uma operação financeira.

1.1 Capital O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado.

1.2 Juros Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste período estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco , que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.

1.3 Diferença entre juro e taxa de juro O juro entendido como uma remuneração do capital é sempre expresso em valor numa determinada moeda. Ex: R$ 10,00 (dez reais); US$ 20,00 (vinte dólares), etc.

A taxa de juro, normalmente representada pela letra ( i ), é um índice que aplicado sobre o capital determina sua remuneração num determinado período de tempo (dias, meses, anos) que é representado pela letra ( T ). Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere: 8 % a.a. - (a.a. significa ao ano) 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).

Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %: 0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês) 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)

Observação: para simplificar as fórmulas matemáticas será usada a forma unitária, assim, quando a taxa, por exemplo, for 5%, o ( i ) na fórmula será substituído por 0,05.

Professora Michelle Cristina Duarte

No sistema de juro simples o mesmo não incide sobre o juro de períodos anteriores. Ou seja, não há cálculo de juros sobre juros.

Fórmula para o cálculo do juro simples

Onde: J = juros C = capital i = taxa T= número de período (tempo). Exemplos de juros simples: 1 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 2 anos. Temos: Primeiro: verificar as unidades da taxa e do período (elas devem ser iguais). Capital: C = R$ 40.000, Taxa: i = 0,36 a.a Período: T= 2 anos Logo: J = 40.000,00. 0,36. 2 Juros = R$ 28.800,

2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.

Temos:

Primeiro: verificar as unidades da taxa e do período (elas devem ser iguais). Capital: C = R$ 40.000, Taxa: i = 0,36 a.a F 0E 0 como 1 ano tem 360 dias, logo a taxa i = 0,36/360 = 0,001 a.d.

Período: T= 125 dias

Logo: J = 40.000,00. 0,001. 125

Juros = R$ 5.000,

3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?

Temos imediatamente: Professora Michelle Cristina Duarte

Primeiro: verificar as unidades da taxa e do período (elas devem ser iguais). Juros: J = R$ 3.500, Taxa: i = 1,2 % a.m = 0,012 a.m F 0E 0 como 1 mês tem 30 dias, logo a taxa i = 0,012/30 = 0, a.d. Período: T= 75 dias Logo: 3500,00 = C. 0,0004. 75 C. 0,03 = 3500, C = R$ 116.666,

4 - Calcular os juros simples de R$ 1.200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. Temos:

Primeiro: verificar as unidades da taxa e do período (elas devem ser iguais). Capital: C = R$ 1.200, Taxa: i = 0,13 a.t F 0E 0 como 1 trimestre tem 90 dias, logo a taxa i = 0,13/90 = 0,00144 a.d. Período: T= 4 meses e 15 dias F 0E 0 135 dias

Logo: J = 1.200,00. 0,00144. 135 Juros = R$ 234,

Exercícios de juros simples:

01)A que taxa anual um investimento renderá em 5 anos juros equivalentes a 4/5 desse mesmo

investimento? R.16% a.a

2) Durante quanto tempo R$ 22.500,00 a 4% a.m. renderá R$ 27.000,00 de juros? R. 2

anos e 6 meses

3) Calcular o capital que, aplicado durante 3 anos e 9 meses a 4% a.m., produz R$

8.062,50 de juros. R. R$ 4.479,

4) Achar o capital que rende R$ 6.696,40 de juros em 2 anos, 7 meses e 24 dias a 36% a.a.

R. 7019,

5) Calcular os juros de uma aplicação de R$ 180.000,00 a 36% a.a., pelo prazo de um

trimestre. R. R$ 16.200,

6) Calcular a taxa de R$ 5.000,00 em 1 ano e 6 meses, que tenha produzido juros de R$

675,00. R. 9% a.a

7) A que taxa um capital de R$ 2.500,00 em 2 anos e 6 meses para produz juros de R$

1.250,00? R. 20% a.a

Professora Michelle Cristina Duarte

2 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? Objetivo: M = 2.C Dados: i = 150 % a.a = 1,5 a.a Fórmula: M = C (1 + i.T) Desenvolvimento: 2C = C (1 + 1,5 T) 2 = 1 + 1,5 T T = 2/3 ano = 8 meses

3 - Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.

M = R$ 72.960,

Exercícios: 01- Que capital deve ser aplicado para gerar um montante de R$130,00 em três meses com taxa de juro de 10% ao mês?

02- Que taxa deve ser aplicada sobre o capital de R$ 100,00 para gerar um montante de R$ 130,00 em três meses?

03- Durante quanto tempo deve ficar aplicado o capital de R$ 100,00 para gerar um montante de R$ 130,00 com taxa de juros de 10% ao mês?

04- Qual o juro de um capital de R$ 500,00 aplicado por 10 meses a uma taxa de 7% ao mês? (350,00)

05- Qual o juro e o montante acumulado em um ano a uma taxa de 10% ao mês a partir de uma aplicação de R$ 325,00?(j = 390,00 e M = 715,00)

06- Qual o montante acumulado em 18 meses a uma taxa de 0,10% ao dia a partir de um principal de R$ 1.000,00?(1.540,00)

07- Qual o montante acumulado em 120 dias a uma taxa de 24% ao ano a partir de um principal de R$ 5.000,00?(5.400,00)

08- Qual o capital necessário para se obter um montante de R$ 970,00 daqui a três semestres a uma taxa de 5% ao mês?(510,52)

09- Qual o capital necessário para se obter um montante de R$ 1.070,00 daqui a três anos a uma taxa de 0,7% ao mês? (854,63)

10- Qual o capital necessário para se obter um montante de R$ 2.000,00 daqui a 18 meses a uma taxa de 7,5% ao ano?(1.797,75)

Professora Michelle Cristina Duarte

11- Qual o juro simples recebido em uma aplicação de R$ 5.000,00 a uma taxa de 2% ao mês pelo período de 15 dias?(50,00)

12- Foi efetuado um único deposito de R$ 570,00 em uma aplicação financeira. Após dois anos seu saldo era de R$ 775,20. Qual a taxa de juro recebida? (1,5% am)

13- A que taxa devemos aplicar um capital de R$ 100,00 para que ele duplique em 20 meses? (5% ao mês)

14- Fizemos uma dívida de R$ 10.000,00 para aquisição de um automóvel. Não foi efetuado nenhum pagamento e após 5 meses ela estava em R$15.000,00. Qual a taxa de juro cobrada? (10% am)

15- Durante quanto tempo devemos aplicar um capital para que ele quadruplique de valor a uma taxa de 10% a.m?(30 meses) 16- Uma pessoa emprega seu capital a 8% a.a. e, no fim de 3 anos e 8 meses, recebe capital e juros reunidos no valor de R$ 38.800. Qual o capital empregado? R. R$ 30.000,

17- Qual o capital que depois de 8 meses, à taxa de 11 1/2%a.a. , dá um montante de R$ 12.920,00? R. R$ 12.000,

18- No fim de 3 anos, à 9% a.a., o capital acumulado foi de R$ 2.540,00. Qual foi o juro e qual era o capital inicial? R R$ 2.000,00 e R$ 540,

19- Achar o capital que, empregado a juros simples, à taxa de 2/5% a.m., produz, no fim de um ano, 3 meses e 5 dias, o montante de R$ 159.100,00. R. 150. 20- Uma pessoa empregou certo capital a 6% a.a.. Depois de um ano e meio, retirou capital e juros e empregou tudo a 8% a.a., retirando no final de dois anos e meio, o montante de R$ 26.160,00. Determinar o capital inicial. R. R$ 20.000,

21- Por quanto tempo se deve empregar um capital para que, à taxa de 10% a.a., o montante seja igual ao triplo deste capital? R. 20 anos 22- A que taxa se deve colocar R$ 800,00, em 2 anos, para render 88,00 de juros? R. 5,5%

Professora Michelle Cristina Duarte

Exemplos de desconto Comercial (“Por fora”): 1 - Uma duplicata de R$ 100,00 foi quitada três meses antes do vencimento com taxa de desconto comercial simples de 10% ao mês. Pergunta-se: a) qual o valor do desconto? b) por quanto ela foi quitada? Dados: Valor Nominal: N = R$ 100, Taxa: i = 0,10 a.m Período: T= 3meses a) qual o valor do desconto? Temos: d = N. i. T d = 100,00. 0,10. 3 d = R$ 30,00 ............ Valor do desconto

b) por quanto ela foi quitada?

Logo, o Valor Atual: Temos: d = N – A

30,00 = 100,00 – A A = R$ 70,00 ............ Valor atual (valor com desconto)

Podemos resolver o exercício acima utilizando o seguinte conceito: d = N – A ............... A = N – d A = N – N. i. T A = N ( 1 – i. T)

b) por quanto ela foi quitada?

A = N. (1 – i. T) A = 100. (1 – 0,10. 3) A = 100. (1 – 0,30) A = 100. (0,70) = R$ 70,00 ............... Valor atual (valor com desconto) a) qual o valor do desconto? E, o Valor do desconto : d = N – A = 100,00 – 70,00 = R$ 30,

2.1.2 Desconto Racional (“Por dentro”)

Professora Michelle Cristina Duarte

O desconto racional ou “por dentro” equivale ao juro simples calculado sobre o valor atual do título. É denominado d´ e neste tipo de desconto a base de cálculo é o valor Atual (A):

d´ = A. i. T como d = N – A logo, A = N – d`

d= (N – d) .i. T

d= N.i.T – d.i.T

d+ d.i.T = N.i.T

d`(1 + i.T) = N.i.T

Onde: d` = desconto Racional (“Por dentro”) N = Valor Nominal i = taxa T= número de período (tempo).

Exemplos de desconto Racional (“Por dentro”):

1 – Determinar o desconto racional de um título de valor nominal equivalente a 135 u.m., pago 2 meses antes do vencimento a 1% ao mês.

Dados: Valor Nominal: N = 135

Taxa: i = 0,01 a.m Período: T= 2meses

Temos:

Logo:

d`= 2,65 u.m

EXERCÍCIOS:

1) Um título de R$ 7.300,00 é descontado por fora, em 60 dias, a 5,5% a.m., quanto sofre de desconto? Resp. 803

2) Qual é o desconto comercial de um título de R$ 8.000,00, a 6% a.m., em 1 ano e 3 meses? Resp. R$ 7.

3) A que taxa anual foi descontado um título de R$ 2.000,00 em 75 dias, sabendo que houve desconto por fora de R$ 325,00? Resp. 78% a.a.

4) Um título de R$ 2.000,00, descontado por fora, a 6% a.m., que valor líquido produz em 3

Professora Michelle Cristina Duarte

Período: T= 5meses Temos: Logo: ou i (^) j = 2,22 % a.m

2.2.2 Cálculo da Taxa do desconto em função da taxa do juro e do prazo do vencimento do título De forma inversa, quando se sabe a taxa de juros simples pode ser calculada a taxa de desconto comercial simples equivalente a essa taxa de juros com a seguinte fórmula:

Onde: ij = Taxa de Juros id = Taxa de descontos

Exemplo: Qual a taxa de desconto comercial simples equivalente à taxa de juros simples de 5% a.m. num período de 9 meses?

Dados: Taxa de juros: ij = 0,05 a.m

Período: T= 9 meses

Temos: Logo: id = 0,03448 ou 3,448% a m Assim, a taxa de juros simples de 5% a.m. equivale à taxa de desconto comercial simples de 3,448% a.m. com antecipação de 9 meses.

**EXERCÍCIOS:

1. Calcular a taxa mensal que produz juros equivalentes ao desconto comercial de 5% a.m., pelo prazo de 90 dias. Resp. 5,88% ao mês**

2) Determinar a taxa trimestral que produz juros equivalentes ao desconto comercial de 12% ao trimestre, durante 6 meses. Resp. 15,79% ao trimestre

3) Qual é a taxa mensal de juros equivalentes ao desconto comercial de 5% a.m., pelo prazo de 60 dias? Resp. 5,55% ao mês

4) Calcular a taxa semestral de desconto comercial equivalente aos juros de 14% a.s., pelo prazo de 1 ano. Resp. 10,94% a.s.

5) Encontrar a taxa mensal de desconto equivalente ao juro de 6% a.m., pelo período de 120 dias. Resp. 4,839% a.m Professora Michelle Cristina Duarte

6) Que taxa mensal de juros se torna equivalente ao desconto comercial de 5% a.m., durante 4 meses. Resp. 6,25% a.m.

7) Calcular a taxa mensal de juro equivalente a 3,85% a.m., correspondente ao desconto por fora durante 8 meses. Resp. 5,563% a.m.

8) Certa pessoa emprega metade de seu capital a juros, durante 2 anos, à taxa de 5% a.a., e metade durante 3 anos, à taxa de 8% a. a. obtendo assim, rendimento total de R$2.040. Qual o seu capital? Resp. 12.

Professora Michelle Cristina Duarte