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Fundac¸˜ao Centro de Ciˆencias e Educac¸˜ao Superior a Distˆancia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸˜ao Superior a Distˆancia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 - GABARITO – Geometria Anal´ıtica I - 2020-
C´odigo da disciplina: Matem´atica e Engenharia de Produ¸c˜ao EAD 01052 F´ısica EAD 01078
Considere o paralelogramo ABDC dado na figura abaixo, o vetor
CB = (4, 2), o ponto m´edio M = (2, 0) da diagonal BC do paralelogramo ABCD e r a reta que passa por C e B para respon- der `as quest˜oes 1, 2 e 3.
Quest˜ao 1 [1,0 ponto]: Encontre as coordenadas dos v´ertices C e B.
Solu¸c˜ao:
Num sistema de eixos coordenados OXY podemos escrever as coordenadas dos pontos B e C da forma B = (b 1 , b 2 ) e C = (c 1 , c 2 ).
Assim as coordenadas do vetor
CB e do ponto m´edio M s˜ao:
−−→ CB = (b 1 − c 1 , b 2 − c 2 ) = (4, 2) e M = (
b 1 + c 1 2
b 2 + c 2 2
) = (2, 0), gerando os seguintes sis-
temas de equa¸c˜oes:
b 1 − c 1 = 4 b 1 + c 1 2
b 2 − c 2 = 2 b 2 + c 2 2
Resolvendo os sistemas obtemos: b 1 = 4, b 2 = 1, c 1 = 0, c 2 = − 1 e as coordenadas dos v´ertices pedidos s˜ao: B = (4, 1) e C = (0, −1)
Quest˜ao 2 [1,0 pontos]: Encontre as equa¸c˜oes param´etricas da reta u perpendicular `a reta r e passa por M.
Solu¸c˜ao:
Para encontrar as equa¸c˜oes param´etricas da reta u devemos encontrar primeiramente um vetor pa- ralelo a esta reta, como u deve ser perpendicualar a r ent˜ao o vetor paralelo `a reta u deve ser perpendicular ao vetor paralelo da reta r.
Um vetor paralelo para r ´e dado pelo vetor
CB = (4, 2) e assim um vetor perpendicular ao vetor
CB ‖
r ´e dado pelo w~ = (− 2 , 4) pois como podemos verificar pelo produto interno 〈(4, 2), (− 2 , 4)〉 = 0
Logo as equa¸c˜oes param´etricas da reta u a qual passa por M s˜ao:
r:
{ x = 2 − 2 t y = 4t ∀t ∈ R
Quest˜√ ao 3 [1,5 pontos]: Encontre as equa¸c˜oes cartesianas das retas s paralela `a reta r que distam 5 de r.
Solu¸c˜ao:
Primeiramente encontraremos a equa¸c˜ao cartesiana da reta r, como vimos no problema anterior um vetor perpendicular para a reta r ´e dado pelo vetor w~ = (− 2 , 4) assima equa¸c˜ao cartesiana de r ´e
r : − 2 x + 4y + c = 0
para encontrar o valor de c substituimos as coordenadas do ponto M o qual est´a contida na reta r
−2(2) + 4(0) + c = 0 ⇐⇒ c = 4 =⇒ r : − 2 x + 4y + 4 = 0
Como as retas s devem ser paralelas a r ent˜ao o vetor w~ ´e tamb´em perpendicular a s
Assim a equa¸c˜ao cartesiana das retas s ´e dado parcialmente pela forma:
s : − 2 x + 4y + d = 0.
Para encontrar o valor de ”d” usamos a formula da distˆancia entre duas retas e temos
|d − 4 | √ 22 + 4^2
5 ⇐⇒ |d − 4 | = 10
=⇒ d = 14 e d = − 6
assim: s : − 2 x + 4y + 14 = 0 e s : − 2 x + 4y − 6 = 0
Considere as retas : r : x − y + 4 = 0 e s : −x + 1 = 0 para responder `as quest˜oes 4, 5 e 6.
Quest˜ao 4 [1,5 pontos]: Determine as equa¸c˜oes cartesianas das retas bissetrizes de r e s.
Solu¸c˜ao:
Sejam l′^ e l′^ as bissetrizes das retas r e s. Ent˜ao:
P = (x, y) ∈ l ∪ l′^ ⇐⇒
x − y + 4 √ 12 + (−1)^2
−x + 1 √ (−1)^2 + 0^2
⇐⇒
x − y + 4 √ 2
−x + 1 1 ⇐⇒ x − y + 4 = ±
2(−x + 1)
{ l : (1 +
2)x − y + 4 −
l′^ : (1 −
2)x − y + 4 +
- A curva que limita a regi˜ao R 1 ´e a reta r : x = 1, a regi˜ao R 1 ´e o semiplano do lado esquerdo da reta excluindo a pr´opria reta r.
- A curva que limita a regi˜ao R 2 ´e a reta s : x − y = − 4. O ponto (a, b) = (1, −1) pertence `a reta s 1 perpendicular a s que passa pela origem e o n´umero c = x − y aumenta se avan¸ca ao longo dessa reta seguindo o sentido da origem (0, 0) para o pontos de coordenadas (a, b). A regi˜ao R 2 est´a determinado por todos os pares ordenados tal que c > − 4. Assim a regi˜ao R 2 encontra-se abaixo da reta excluindo a pr´opria reta s.
- A curva que determina a regi˜ao R 3 ´e dada pela equa¸c˜ao do c´ırculo C : x^2 + y^2 − 2 x − 10 y + 22 = 0 a qual ´e um c´ırculo, onde primeiramente temos que determinar o centro e o raio. Completando quadrados temos:
x^2 + y^2 − 2 x − 10 y + 22 = 0 ⇐⇒ x^2 − 2 x + 1 − 1 + y^2 − 10 y + 25 − 25 + 22 = 0 ⇐⇒ (x − 1)^2 + (y − 5)^2 − 1 − 25 + 22 = 0 ⇐⇒ (x − 1)^2 + (y − 5)^2 = 4
Assim o c´ırculo ´e de centro c = (1, 5) e raio 2. Os pontos do plano cujas coordenadas satisfazem a equa¸c˜ao (x − 1)^2 + (y − 5)^2 = c formam um
c´ırculo de centro (1, 5) e raio
c. Assim um ponto que pertence `a regi˜ao R 3 se, e somente se, o ponto pertence a um c´ırculo de raio
c > 2 , estando assim no exterior do c´ırculo, excluido o mesmo c´ırculo.
- A regi˜ao final R = R 1 ∩ R 2 ∩ R 3
Para encontrar os pontos de interse¸c˜ao P e Q. Observemos que P = s ∩ C e Q = r ∩ C de- vemos resolver os seguintes sistemas de equa¸c˜oes
P :
{ x − y = − 4 (x − 1)^2 + (y − 5)^2 = 4
{ x − y = − 4 (y − 4 − 1)^2 + (y − 5)^2 = 4
{ x − y = − 4 2(y − 5)^2 = 4
{ x − y = − 4 y = ±
=⇒ P = (−
