Importância do Cálculo Mental na Educação Matemática: Estratégias e Melhoria no Desempenho, Resumos de Pedagogia

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ARTIGO PDE 2010

“CÁLCULO MENTAL: mantendo as habilidades em trabalhar as operações fundamentais ”

Autor: Olga do Nascimento Caldas^1 Orientador: Doherty Andrade^2

RESUMO

Neste trabalho, apresentamos uma discussão sobre as atividades de cálculo mental desenvolvidas com os alunos do oitavo ano de uma escola pública. Fazemos também uma discussão como o cálculo mental pode ser utilizado como ferramenta para desenvolvimento da capacidade de realizar cálculos sem o uso de instrumentos com o objetivo de melhorar o desempenho dos alunos na aprendizagem dos conteúdos matemáticos que requerem habilidade e agilidade na solução de operações envolvendo as operações fundamentais. Visamos também colaborar com a prática docente para que possa tornar o ensino dos conteúdos básicos da matemática mais acessível aos estudantes, para uma aprendizagem mais evidente e duradora, tornando-os mais independentes nas suas práticas que exijam a realização de cálculos de sua vida cotidiana.

Palavras-chave: cálculo, operações, aprendizagem.

(^1) Supervisão e Orientação Escolar, Ciências, Instituto de Educação de Maringá. (^2) Doutor em Matemática, Universidade Estadual de Maringá, Professor.

Sem precisarmos aprofundar no assunto, pois verificamos que nas atividades comuns e em transações comerciais diárias é frequente o uso de cálculos simples de porcentagens, pois vivemos rodeados de conceitos como juros, impostos, poupança, aplicações financeiras, produção, etc..

A escola pública, que tem a missão de atender a diversidade da população não pode distanciar-se de seu papel, pois os sujeitos da educação básica têm o direito garantido constitucionalmente a uma educação de qualidade e não apenas de quantidade. Passamos pelo desafio da inclusão dos jovens nas escolas, mas ainda precisamos vencer o obstáculo da qualidade, assim o principal objetivo é dar reais oportunidades para que todos tenham acesso ao ensino de qualidade e ao conhecimento produzido pela humanidade através da aprendizagem dos conteúdos das disciplinas escolares. Assim, o nosso desafio é conciliar quantidade com qualidade.

Muitos fatores interferem na qualidade do ensino, mas não podemos dizer que o fator econômico é o único responsável pela má qualidade do ensino brasileiro, pois como exemplo, podemos citar a China, no último Pisa (Programa Internacional de Avaliação de Alunos) o teste de educação mais conceituado do mundo, que pode sim haver educação de alto nível em cenário de pobreza, pois Xangai que tem nível de renda per capita muito parecida com a brasileira apareceu em primeiro lugar em todas as disciplinas estudadas, enquanto o Brasil não ficou nem entre os cinquentas melhores.

Os profissionais da educação sabem e trabalham neste sentido, que é necessário encontrar caminhos que nos levem a desenvolver um ensino de qualidade, propiciando ao aluno conhecimentos matemáticos básicos essenciais a todo cidadão, como contar, medir, calcular, resolver problemas, construir estratégias, argumentar logicamente, analisar e interpretar criticamente as informações, etc., os quais são indispensáveis para o engajamento no mundo do trabalho e nas relações sociais, culturais e políticas do mundo em que vivemos.

Nesse trabalho relatamos as experiências realizadas com algumas atividades que ajudaram o aluno a resolver mentalmente, questões simples envolvendo as

operações fundamentais visando manter as habilidades dos conhecimentos adquiridos nas séries anteriores de forma rápida, principalmente com desenvoltura, melhorando assim a aprendizagem de novos conhecimentos.

Vygotsky (1991) ensina que “o aprendizado adequadamente organizado resulta em desenvolvimento mental e põe em movimento vários processos de desenvolvimento que, de outra forma seriam impossíveis de acontecer”. Assim entendemos que cabe ao professor, que tem o conhecimento específico, a tarefa de organizar o aprendizado para propiciar o desenvolvimento mental dos alunos.

Estudos recentes relacionados à neurociência, principalmente dos pesquisadores do Centro de Pesquisas Integradas da Ciência e Tecnologia do Futuro da Universidade de Tohoku, no Japão, destacam a matemática como veículo propulsor e facilitador das sinapses cerebrais, destacando que o cálculo básico realizado mentalmente pode desenvolver o cérebro do estudante, fazendo novos impulsos elétricos cerebrais, aumentando assim, a inteligência (I Simpósio Nacional de Ensino de Ciência e Tecnologia-2009-UFTPR).

Um dos objetivos de nossa proposta no presente trabalho foi a de organizar o conteúdo relacionado às operações fundamentais de maneira que levasse o aluno a dominar de forma consciente e não mecânica as técnicas operatórias. Assim sendo, vemos a necessidade de que sejam aplicadas atividades práticas na sala de aula de modo que proporcione ao aluno o desenvolvimento das habilidades de trabalhar mentalmente com operações fundamentais.

Nesse trabalho, o enfoque foi “cálculo mental”, popularmente conhecido como conta de cabeça, isto é, sem fazer nenhuma notação escrita. Para algumas pessoas, significa a repetição de memória das tabuadas e que só alguns possuem essa capacidade, outras afirmam que, cálculo mental é sinônimo de cálculo decorado, como saber de memória os resultados da tabuada da multiplicação e de outras operações. Outros pensam em alguma habilidade especial, algum talento que poucas pessoas possuem. Há ainda os que acreditam que se trata de um conhecimento matemático como outros, que pode e deve fazer parte dos conteúdos programáticos de matemática das escolas.

O cálculo mental aparece também em situações para as quais necessitamos de cálculos exatos. Para essa forma de realizar operações aritméticas, há um universo inesgotável de estratégias a serem utilizadas, dentre elas a decomposição, composição e associação.

Quando realizamos um cálculo mentalmente, sempre usamos cálculos intermediários que facilitam a compreensão das regras que determinam os algoritmos do cálculo escrito. Resolver um cálculo mentalmente exige do sujeito a elaboração de estratégias que a maioria das vezes não é ensinada nas escolas. O sujeito desenvolve essa habilidade de forma natural. Porém, os conceitos embasadores das estratégias para a resolução de um cálculo mental são aprendidos nos primeiros anos escolares.

Na realização do cálculo mental podemos constatar que um mesmo cálculo pode ser realizado de diferentes formas. Pode-se escolher o que melhor se adapta àquela determinada situação problema, considerando os números e as operações que necessitam ser realizadas. Desta forma, cada situação de cálculo mental se coloca como um problema em aberto, onde pode ser solucionada de diferentes maneiras, sendo necessário ao sujeito recorrer a procedimentos originais, construídos por ele mesmo, a fim de chegar ao resultado. A satisfação do sujeito frente à criação de suas próprias estratégias de cálculo mental favorece a efetivação de atitudes mais positivas frente à Matemática. Conforme pontuam Mendonça, Lellis (1989):

“Enfrentar e vencer desafios aumenta a autoconfiança das pessoas. E quando ocorre a invenção de um novo processo de cálculo (novo, ao menos para aquela turma) parece que todos repartem a sensação de que a Matemática não é inatingível. Cada aluno começa a sentir-se capaz de criar, nesse domínio. Além de tudo isso, é perceptível o aumento da capacidade do aluno de concentrar-se e estar atento nas aulas em decorrência da prática continuada do cálculo mental” (Mendonça, Lellis,1989:p.52).

É muito importante verificarmos que ao realizar o cálculo mental ocorre a reflexão sobre o significado dos cálculos intermediários, facilitando a compreensão

das regras que determinam os algoritmos do cálculo escrito. Desta forma, o constante exercício e a sistematização dos procedimentos de cálculo mental, podem vir a favorecer, ao longo do tempo, como estratégias de resolução e controle do cálculo escrito, conforme pontuam as orientações dos PCN-Parâmetros Curriculares Nacional (BRASIL, 1998) para o trabalho com cálculo mental no ensino fundamental. Vamos encontrar nesse documento, na parte referente aos dois últimos ciclos, várias menções aos cálculos mentais, associados aos cálculos escritos, exatos e aproximados, bem como à calculadora. No que diz respeito aos procedimentos sobre números e operações no terceiro ciclo do Ensino Fundamental, o primeiro tópico proposto enfatiza precisamente:

“Cálculos (mentais ou escritos, exatos e aproximados) envolvendo operações – com números naturais, inteiros e racionais -, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos nelas envolvidos, utilizando a calculadora para verificar e controlar resultados” (BRASIL, 1998, p. 71).

As estratégias cognitivas desenvolvidas a partir da utilização do cálculo mental em situações práticas favorecem a generalização numérica, a imaginação e a memorização. Parra (1996), ao discutir a importância do cálculo mental no ensino da Matemática, defende que o trabalho com o cálculo mental habilita para uma forma de construção do conhecimento que vem a favorecer uma melhor relação do aluno com a própria Matemática. Trata-se de um processo de resolução dos problemas de maneira criativa, na busca de diferentes formas de resolução e não fixados em um único algoritmo capaz de dar conta da resolução.

Devemos constatar que as estratégias desenvolvidas durante o cálculo mental possibilitam reflexões sobre as propriedades dos números, divisibilidade, multiplicidade, exercícios mentais de composição e decomposição de números, enfim, pode-se trabalhar vários conceitos aritméticos e aplicá-los a situações reais de cálculo.

As pesquisas que discutem o assunto têm mostrado que a habilidade para o cálculo mental, em situações escolares, é construída a partir da resolução de uma

3. “O trabalho de cálculo mental habilita para uma maneira de construção do conhecimento que, ao nosso entender, favorece uma melhor relação do aluno com a matemática” (Parra,1996:p.198).

Situações com cálculo mental propiciam aos alunos articularem o que sabem com o que necessitam aprender. Além disso, trata-se de um dos meios mais eficazes para o estabelecimento de uma relação mais pessoal do aluno com o conhecimento matemático, evitando as dificuldades que algumas pessoas apresentam diante da Matemática.

4. O trabalho com o cálculo mental (“cálculo pensado”) deve ser acompanhado de um aumento progressivo do cálculo mecânico (algoritmos). Parra (1996) acredita que o cálculo mental represente uma via de acesso para a compreensão e construção de algoritmos, através da observação de regularidades e construção de leis. Parra (1996) defende a importância de situações que propiciem uma reflexão sobre o cálculo realizado, a fim de envolver os alunos, gradualmente, na resolução de cálculos dos mais fáceis para os mais difíceis e neste sentido ressalta que:

Um dos primeiros requisitos é que os alunos comecem a tomar consciência dos procedimentos que utilizam; eles necessitam saber o que é que sabem (no sentido de ter disponível este conhecimento) e como podem apoiar-se no que sabem para obter outros resultados (...) Os cálculos que eram uma ferramenta para resolver situações e expressar o que havia sido feito, tornam-se objeto de reflexão (Parra,1996:p.216).

Tratando ainda sobre o cálculo mental Parra (1996) ressalta como sendo um caminho particularizante, no qual cada problema é novo e na resolução dos mesmos há que se ter consciência de que para uma mesma situação determinados cálculos são mais simples que outros e, para uma eficiente aplicação em suas aulas, o professor necessita:

• ter bem claro para si quais são os conhecimentos que a cada nível deve estar disponíveis para cada aluno, a fim de tornar possível a abordagem e a aquisição de novos conhecimentos;

• dispor de ferramentas que lhe permitam diagnosticar os conhecimentos de seus alunos;
• conhecer propostas didáticas através das quais consiga inserir em suas aulas, os avanços dos conhecimentos de seus alunos. (Parra, 1996: p. 202).

Atualmente, a Neurociência ao lado dos grandes pensadores como Piaget, Vygotsky, Wallon, tem contribuído para entendermos como se dá aprendizagem, quando se afirma que o cérebro se modifica em contato com o meio durante toda a vida do ser humano, sendo importante no processo de aprendizagem a emoção, a motivação, a atenção, plasticidade cerebral e finalmente a memória.

A memória, que está mais relacionada a capacidade de realizar os cálculos mentais, estudos mostram que ela é mais efetiva quando um conhecimento novo é associado a um outro conhecimento já adquirido. Estudos da neurociência explicam que a ativação de circuitos ou redes neurais se dá em sua maior parte por associação, onde uma rede de neurônios é ativada por outra e sucessivamente.

Quanto mais frequentemente acontece essa ativação em rede, mais estáveis e fortes se tornam as conexões sinápticas e mais fácil é a recuperação da memória. Isso se dá por repetição da informação ou, de forma mais eficaz, pela associação do novo dado com conhecimentos já desenvolvidos.

Médicos e doutores do Instituto de Ciências Biomédicas da Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Ramon M. Cosenza e Leonor B. Guerra, afirmam que “... Podemos simplesmente decorar uma nova informação, mas o registro se tornará mais forte se procurarmos criar ativamente vínculos e relações daquele conteúdo com o que já está armazenado em nosso arquivo de conhecimentos”. (in, Nova Escola, n. 253, 2012, p.55).

Recente trabalho realizado por Heitor Antonio Gonçalves, em Tese de Doutorado pela Universidade Federal Fluminense, destaca que:

Assim, com base nos ensinamentos de Parra (1996), trabalhamos com os alunos algumas estratégias do cálculo mental, revendo os seguintes conteúdos básicos:

• adições do tipo: a + b = 10; a+b = 100; a+b = 1000;
• subtrações do tipo: 10 – a = b; 100 – a = b;
• contar de 100 em 100 a partir de qualquer número;
• Múltiplos de 10;
• Múltiplos dos primeiros números: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...
• Divisões e multiplicações especiais x 2; ÷ 2;
• Dobros e metades de números de um, dois três e quatro algarismos; -triplos e terços;
• Regras do Sistema de Numeração decimal;
• Propriedades das operações fundamentais (comutativa, associativa, elemento neutro, elemento inverso, etc.);
• Composição e decomposição dos números;
• diferentes maneiras de encontrar um produto, como por exemplo: 6 x 12 = 3 x 2 x 12 ou, = 6 x 2 x 6 ou = (6 x 10) + ( 6 x 2), etc.;
• somas e subtrações com medidas do tipo: tempo (ano, mês, dia, semana, horas, minutos, segundos), comprimento (quilômetro, metro, centímetro, milímetro), área (quilômetros quadrados, metros quadrados, centímetros, quadrados), capacidade (litro, mililitro), massa (tonelada, quilograma, grama), ângulos mais usuais (30º, 45º, 60º, 90º);
• estimativa de resultados de divisão de números naturais;
• comparação de frações com números inteiros;
• aproximações e arredondamento de resultados das quatro operações;
• frações mais comuns de números inteiros;
• dobros e metades de frações;
• dobros e metades de números decimais;
• somas e subtrações de frações mais comuns;
• somas e subtrações de decimais simples;
• enquadramento de décimas entre dois números;
• cálculos de potências;

• cálculos da raiz quadrada de números quadrados perfeitos;
• estimativa das raízes quadradas não exatas de números naturais.

Todos os conteúdos básicos acima citados foram repassados de forma rápida, dada a maturidade dos alunos de oitavo ano, além disso, dispúnhamos de pouco tempo para a aplicação do trabalho.

Segundo PARRA (1996), a construção paralela e vinculada do cálculo pensado e do cálculo autônomo requer que sejam executadas, sistematicamente atividades de memorização de repertórios e regras com um trabalho coletivo, lento e detalhado, de aprendizagem do cálculo mental pensado, que se apoia na comparação de diversos procedimentos utilizados por diferentes alunos, regra básica para que o professor possa organizar o ensino visando alcançar as finalidades propostas para o cálculo mental.

Os alunos chegaram a produzir resultados pelos seus próprios meios, pouco, mas de forma satisfatória, ante o tempo empregado no desenvolvimento das atividades. Foram trabalhadas com os alunos as seguintes atividades:

1 – Relacionadas à adição: 1.1 – Uso da propriedade comutativa: explicando que: 3 +7 é mais fácil iniciar com 7 → 7 + 3 = 10; 6 + 18 = 18 + 6 = 24. 1.2– Somando os iguais: 7 + 8 = 7 + 7 + 1 = 14 + 1 = 15. 1.3- Apoiando-se no número 10: 7 + 8 = 7 + 3 + 5 = 10 + 5 = 15. 1.4– Relacionando uma parcela com um número redondo: 23 + 39 = 23 + 40 – 1 = 63 – 1 = 62; 152 + 680 = 152 + 700 – 20 = 852 – 20 = 832. 1.5 - Decompondo uma das parcelas e associando convenientemente: 123 + 36 = 123 + 30 + 6 = 153 + 6 = 159; 25 + 37 = 20 + 5 + 30 + 7 = 20 + 30 + 5 + 5 + 2 = 50 + 10 →+ 2 = 62; 285 + 123 = 200 + 100 + 80 + 20 + 5 + 3 = 300 + 100 + 8 = 408. 1.6- Soma das parcelas ou do algarismo de suas unidades: 36 + 74 = 74 + 6 + 30 = 80 + 30 = 110.

3.3 – Propriedade associativa: 35 x 2 = 7x5x2=7x(2x5)=7x10=70.

3.4 – Multiplicação por múltiplos de 10: 12x10=120; 12x100=1200;12x1000= etc.

Para auxiliar os alunos no trabalho com a tabuada propomos atividades como confeccionar a tabuada, montar réguas de Neper, multiplicar com as mãos, etc..

4 – Relacionadas à divisão:

Para a divisão, empregamos a reversibilidade com relação à multiplicação. Observando as propriedades cabíveis na divisão, verificando que não valem as mesmas propriedades da multiplicação.

É de fundamental que o aluno compreenda o mecanismo da propriedade da divisão, qual seja: se multiplicando os fatores obtêm-se um produto então é possível obter um dos fatores dividindo o produto pelo outro fator.

Também, trabalhamos com os alunos a divisão por múltiplos de 10, quando o dividendo também é múltiplo de 10, caso em que eliminamos zeros conforme o caso. 230:10=23; 2300:100=23; 23000; 1000=23. Ainda aplicamos mais algumas estratégias como: 4.1) Decomposição: 369:3=(300+60+9):3=100+20+3=123; 115:5=(100+10+5):5=20+2+1=23.

4.2) Busca do resultado por tentativas: 108:9=(9x10=90→108-90=18→9x2=18) →108:9=12.

5 – Arredondamentos:

Ainda, explicamos para os alunos que em algumas situações, não há necessidade de saber o resultado exato, basta ter um valor aproximado, como sendo uma estimativa. Exemplo: 396:17 ~ 400:20=20.

6 – Mínimo múltiplo comum:

É muito útil saber calcular o mínimo múltiplo comum, sendo muito importante no trabalho com frações. Principalmente, quando temos que fazer operações envolvendo frações ou na resolução de problemas e desafios. Os alunos sentem muitas dificuldades em realizar cálculos do MMC, mas trabalhamos regras práticas como: Para calcular o m.m.c. entre dois números, devemos primeiro verificar se o maior é divisível pelo menor, se for, o maior é o m.m.c. Caso não seja, vamos tentando com o dobro, o triplo, o quádruplo, etc., e dividimos sempre pelo menor, deu exato, o m.m.c. é o dobro, o triplo, quádruplo, etc., do número maior.

Exemplos: m.m.c. (12, 4) → 12:4 é divisão exata. Logo m.m.c. (12,4)=12; m.m.c.(7,2) → 7:2 não é divisão exata →14:2 é divisão exata. Logo m.m.c. (7,2)=14.

III–PARTICIPAÇÃO DO GTR

Uma menção importante foi a participação dos professores, no Grupo de Trabalho em Rede (GTR), quando juntos abordamos o tema, e convém destacar as opiniões que contribuíram para o presente estudo. Durante a aplicação das atividades que envolvem cálculo mental, discutimos da seguinte forma:

Olá Cursista,

Já iniciei efetivamente a implementação do projeto na escola. Selecionei alguns alunos da sétima série e no contra turno tenho trabalho de perto com eles e tenho verificado a dificuldade de realizar os cálculos mentalmente. Estou incentivando-os a

Participante 3

“Estou tentando aplicar as sugestões de atividades envolvendo cálculo mental, e o que percebo é que, os alunos quando começam praticar cálculo mental sentem-se mais seguros, mais interessados nos conteúdos, os conteúdos passam a ser mais significativos, eles acompanham o processo de resolução e quando chegam na resposta correta sozinhos sentem-se recompensados”.

Participante 4

“Estou procurando trabalhar a implementação Pedagógica durante as minhas aulas nas sétimas séries, verificando com os alunos que é possível trabalhar o cálculo mental em algumas situações, tornando alguns cálculos mais simples e rápidos. Percebo que alguns alunos apresentam muitas dificuldades em realizar cálculos mentalmente, pois não possuem alguns requisitos necessários”.

Participante 5

“Realmente, nossos alunos precisam mesmo de requisitos básicos necessários para a realização de cálculo mental. Um deles, podemos dizer que é a memorização da tabuada. Não só da multiplicação, mas da adição, subtração e divisão. Se conseguirmos fazer com que pelo menos a metade deles consigam memorizar a tabuada, já é meio caminho andado”.

Participante 6

“Professora a proposta do calculo mental é muito importante os alunos se interessam muito quando veem o professor realizar os cálculos em sala rapidamente e de maneira eficiente, gosto de lançar desafios para os alunos e ver se eles conseguem calcular mais rápido que o professor, claro que uso operações simples mas faço eles perceberem que o calculo mental da um resultado imediato para as situações, apresento para eles a maneira que uso nas diferentes operações alguns acham que é impossível mas encontro também alunos que gostam do desafio e se

interessam pelos cálculos, seria bom se todos os professores incentivassem o calculo mental e deixassem calculadora apenas para operações mais complicadas, na prática incentivamos uma coisa que até os nossos colegas não praticam”.

Participante 7

“Apliquei as atividades do projeto, com os alunos da oitava série da escola onde trabalho, apesar do grupo ser grande, obtive resultados surpreendentes, concordo com alguns colegas quando citam que o melhor seria em horário em contra turno e com um grupo pequeno de alunos, mas na escola onde trabalho com a 7ª série ou 8º ano à tarde não tem espaço para o trabalho. Notei que o aluno que não compreendia como resolver a divisão, mesmo usando os dedos da própria mão poderia chegar ao resultado sem nenhuma anotação escrita, somente com o uso do cálculo mental, foi surpreendente a questão da potência quando durante a aplicação das atividades do projeto, descobriram que somando chegavam ao mesmo resultado.”

A participação dos cursistas foi muito proveitosa, quando apresentaram suas considerações sobre o cálculo mental. Verificamos as dificuldades, mas por outro lado, os resultados observados no pouco espaço de tempo, foram significativos para os alunos envolvidos, pois todos ficavam mais interessados, refletindo desse modo, na aprendizagem de outros conteúdos.

IV–CONCLUSÃO

A aritmética mental é uma valiosa ferramenta, porém o conhecimento de tabuadas com as operações básicas é fundamental. Não é possível o aluno de sétima série ou oitavo ano, fazer cálculos mais elaborados sem que antes tenha memorizado os cálculos mais simples como a adição, subtração, multiplicação e divisão, envolvendo números até 100.

Finalmente, observamos que estratégias de composição e decomposição exigem dos alunos um conhecimento completo do sistema de numeração decimal,