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INSTITUTO FEDERAL DE ALAGOAS
CAMPUS PALMEIRA DOS ´INDIOS
Exerc´ıcios - Introdu¸c˜ao ao C´alculo
Encontre uma fun¸c˜ao que tenha por ass´ıntotas verticais x = 1 e x = 3, e por ass´ıntota horizontal y = 1
Defina precisamente a) lim x→∞ f (x) = L b) lim x→−∞ f (x) = L c) lim x→∞ f (x) = ∞ d) lim x→∞ f (x) = −∞
Calcule
a) (^) x→−∞lim^2 x
2 x^2 + 1 b) (^) x→−∞lim^2 x (^2) − x + 5 4 x^3 − 1 c) lim x→∞ √^32 xx^ + 4 (^2) − 5
Ache as ass´ıntotas horizontais de: a) f (x) = √xx (^2) + b) xy^2 − 2 y^2 − 4 x = 0 Nos exerc´ıcios de 5 a 8, prove que (usando a defini¸c˜ao precisa) lim x→∞ f (x) = 1
f (x) = (^) xx− 1
- f (x) = x x^22 −+1^1
- f (x) = (^2) x^2 +3x
- f (x) = xx^22 +2− 1 x
- Prove que (^) x→−∞lim^82 x −+ 3 1 = 4, mostrando que para todo ε > 0 existe um n´umero N < 0, tal que se x < N ent˜ao (^) ∣∣ ∣∣^8 x^ + 3 2 − 1 −^4
∣∣ < ε. Nos exerc´ıcios de 10 a 13, a che uma equa¸c˜ao da reta tangente a curva dada, no ponto indicado.
y = x^2 − 4 x − 5; (− 2 , 7)
y = x^2 − x + 2; (2, 4)
y = 18 x^3 ; (4, 8)
y = − √^8 x ; (4, −4)
Ache uma equa¸c˜ao da reta tangente a curva y = 2x^2 +3 qu ´e paralela a reta 8x−y+3 = 0.
Ache uma equa¸c˜ao da reta tangente a curva y = 2 − 13 x^2 que ´e perpendicuar a reta 3 x + y = 4.
Usando a defini¸c˜ao calcule a derivada das seguintes fun¸c˜oes a) f (x) = 8 − x^2 b) f (x) = (^) x^1 + c) f (x) = 23 xx+3− 2 d) f (x) = x^2 + 4
Se g ´e diferenci´avel em a e f (x) = (x − a)g(x), ache f ′(a).
Se g ´e diferenci´avel em a e f (x) = (x^2 − a^2 )g(x), ache f ′(a).
Prove que n˜ao h´a reta que passe pelo ponto (1, 5) e seja tangente a curva y = 4x^2
Prove que n˜ao h´a reta que passe pelo ponto (1, 2) e seja tangente a curva y = 4 − x^2
Se f, g e h s˜ao fun¸c˜oes e ϕ(x) = f (x)g(x)h(x), prove que se f ′(x), g′(x) e h′(x) existirem, ent˜ao ϕ′(x) = f ′(x)g(x)h(x) + f (x)g′(x)h(x) + f (x)g(x)h′(x)
Uma bola de bilhar ´e atingida e movimenta-se em linha reta. Se s cm for a distˆancia da bola a sua posi¸c˜ao inicial ap´os t segundos, ent˜ao s = 100t^2 + 100t. Com qual velocidade a bola atingir´a a tabela da posi¸c˜ao que est´a a 39 cm?
a) Encontre (^) t→∞p(t) b) Encontre a taxa de espalhamento do boato. 27 Prove que a) a derivada de uma fun¸c˜ao par ´e uma fun¸c˜ao par. b) a derivada de uma fun¸c˜a ´ımpar ´e uma fun¸c˜ao par. 90
- Use a regra da cadeia e a regra do produto para dar uma prova da regra do quociente. (Sugest˜ao: escreva f (x)/g(x) = f (x)[g(x)]−^1 )
- a) Se n for um interio positivo, prove que d dx(sen
n(x) cos(nx)) = nsenn− (^1) (x) cos((n + 1)x)
b) Encontre uma f´ormula para a derivada de y = cosn(x) cos(nx)
- Use a regra da cadeia para mostrar que, se θ for medido em graus, ent˜ao d dθ (sen(θ)) =^
π 180 cos(θ)
- a) Escreva |x| = √x^2 e use a regra da cadeia para mostra que d dx(|x|) =^
x |x| b) Se f (x) = |sen(x)|, encontre f ′(x). Onde f n˜ao ´e diferenci´avel? c) Se g(x) = sen(|x|), encontre g′(x). Onde g n˜ao ´e diferenci´avel?
