Aula - 01 - Derivada - e-Antiderivada, Notas de aula de Matemática

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Aula – 1

Derivada e Antiderivada

P(x 1 ,y 1 ) Q(x 2 ,y 2 ) y 1 y 2 x 1 x 2 x y x y O coeficiente angular da reta s é dado por: x y x x y y tg       2 1 2 1  s

P(x 1 ,y 1 )= Q(x 2 ,y 2 ) y 1 y 2 x 1 = x 2 x y

 Definição: Dada uma curva y=f(x), seja P(x 1 ,y 1 ) um ponto sobre ela. A inclinação da reta tangente à curva no ponto P é dada por: Quando o limite existe. Fazendo , podemos escrever a equação acima como: 2 1 2 1 1

( ) lim lim (^2 1) x x f x f x x y m x Q P x x 

 

x  x  x

2 1 x f x x f x m x x (^) 

 

( ) lim 1 1 0 1

 Exemplo:  (^) Usando a definição de coeficiente angular de uma reta, temos: x f x x f x m x x (^) 

 

( ) lim 1 1 0 1 x x x x x x x x x m x x (^) 

 

( ) lim 1 2 1 1 2 1 2 1 0 1 x x x x x m x x (^) 

 

( ) lim 2 1 0 1 2 2

( ) lim 1 1 0 1

  x x x x x m x x

 A reta Tangente  (^) Portanto, a inclinação da reta tangente à curva no ponto (x 1 ,y 1 ) é m(x 1 ) = 2x 1 -2. 2 1 2 y  x  x 

Pierre de Fermat

 Exemplo-1)  (^) Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva y=x^2 no ponto (1,1).  (^) Utilizando a definição, temos que:  Basta aplicar os pontos na regra que define a função. x f x x f x f x x (^)       ( ) ( ) ' ( ) lim 1 1 0 1

 Exemplo-2)  (^) Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva y=x^3 +2x no ponto (x, x^3 +2x).  (^) Utilizando a definição, temos que:  Basta aplicar os pontos na regra que define a função. x f x x f x f x x (^)       ( ) ( ) ' ( ) lim 1 1 0 1

lim 3 3 2 3 2 ( 3 3 2 ) lim 3 3 ( ) ( ) 2 2 2 lim [( ) 2 ( )] [ 2 ] lim ( ) ( ) '( ) lim 2 2 2 0 2 2 0 3 2 2 3 3 0 3 3 0 0                                             x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x x f x f x x x x x x Portanto, a derivada de y=x 2 no ponto P=(x,x 2 ) é igual a 2x. Simbolicamente: para f(x)=x 2 , f ‘(x)=2x (ou, y’=2x).

 Derivada  Diferenciar uma função é obter sua derivada. Por exemplo:  (^) Obtemos 1 derivando x;  (^) Obtemos x derivando ;  (^) Obtemos x (^2) derivando ;  (^) Obtemos x (^3) derivando ;  Em geral,  (^) Obtemos xn (^) derivando 2 2 x 3 3 x 4 4 x 1 1   n x n

 Derivada  (^) Dada a tabela abaixo:  (^) Derivar uma função implica em encontrar a função que preenche a terceira coluna a partir da segunda.  Significa, portanto, aplicar a definição de Fermat ou as regras de derivação aprendidas na disciplina de Cálculo I. x y x f(x)? dx dy

Gottfried Wilhelm von Leibniz

 Antiderivada  (^) A operação do Cálculo integral consiste no problema de determinar uma antiderivada para uma função. Assim, sabemos que:  (^) x é a antiderivada de 1;  (^) é a antiderivada de x;  (^) é a antiderivada de x (^2) ;  (^) é a antiderivada de x (^3) ;  (^) Em geral:  é a antiderivada de xn. 2 2 x 3 3 x 4 4 x 1 1   n x n