Aula 01 Estatística, Notas de aula de Direito

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Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes - Aula 01

AULA 01: Medidas de Posição e Dispersão

SUMÁRIO PÁGINA

Medidas de Posição Central 2 Medidas de Dispersão 10 Medidas Separatrizes e Simetria 17 Tabelas de Frequências e medidas de posição e dispersão 27 Lista de Exercícios resolvidos em aula 70 Gabarito 86

E aí pessoal? Firmes no propósito? É muito importante que vocês não desanimem antes de um edital! Rumo à Receita!

V L w /

Dica de um concurseiro A sua rotina de estudos deve ser regrada como uma vida de monge. Não entendam mal, não estou falando em quantidade, mas em regularidade. Por exemplo, se você tem 2 horas livres para estudar, você vai estudar 2 horas todos os dias! Faça chuva ou faça sol, você vai estudar as suas duas horas! Seja "quadrado”!

Prontos? Então, vamos logo!

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1. Medidas de Posição Central

Na última aula nós estudamos como resumir dados por meio de tabelas, gráficos e diagramas. Porém, muitas vezes, pode ser útil resumir todas as informações que temos em um número.

Uma forma utilizada para tanto, são as famosas medidas de posição! No nosso caso, vamos estudar as medidas de tendência central.

Olha, as medidas de tendência central vão te dar uma ideia dos valores aproximados em torno do qual as observações se agrupam. Há diversos tipos de medidas de tendência central, tais como a mediana, a moda, a média aritmética, a média geométrica e a média harmônica.

Para estudarmos estas medidas, vamos nos basear no seguinte rol exemplificativo:

Rol: 10, 15,24,2 4,24, 29,29,3 6, 36,45,

Vamos começar com a média! Mais especificamente, a média aritmética.

Pessoal, todo mundo já deve ter ouvido falar na média aritmética, sendo que a maior parte das pessoas refere-se a mesma como, simplesmente, média. Isso não é à toa, pois essa é a forma mais comum de expressar uma média.

Mais simples, impossível! Voltando ao nosso exemplo, para calcularmos a média, basta somarmos todas as observações e dividirmos este somatório pelo número total de observações (no nosso exemplo, 11).

No nosso exemplo:

M édia = 10 + 15 + 24 + 24 + 24 + 29 + 29 + 36 + 36 + 45 + 65= 30, 63 11

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Se quisermos uma fórmula para o caso da média aritmética calculada com as frequências:

Vou deixar a cargo de vocês encontrarem a fórmula para o caso em que estivermos usando frequências relativas.

Beleza? Mas, este não é o único tipo de média!

Outra média, mas que nos dá resultados diferentes da anterior é a média geométrica.

Você calcula a média geométrica do nosso exemplo assim:

Média Geométrica = 10 - 15- 24- 2 4- 2 4- 2 9- 29 - 3 6- 3 6- 45- 65

Ou, de forma mais genérica, no caso de n observações:

Percebe? Você vai tirar uma raiz n-ésima do produto de uma série de n elementos. Isso é média geométrica.

Mais uma? A média harmônica.

Para o nosso exemplo:

Média Aritm é tica = Tjfi n^ -^ x{) =! ( f i- x{) Z/í

Média Geom é trica = vsJx1 - x2 -.

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Já que vocês gostam tanto de generalizações:

Média Harmônica = X i X 2 Xft

-“Professor, eu entendi, mas porque você está falando só superficialmente das médias geométrica e harmônica”?

Pelo seguinte, meu querido aluno: não cai muito em prova!

Obs. Relação entre as médias

Uma das coisas mais cobradas com relação aos tipos de médias é a relação entre elas no que se refere à magnitude de cada resultado.

Pode-se provar que , para um determinado rol de valores :

Calcule cada uma das médias para o nosso exemplo, você perceberá que isso é verdade.

Ok? Vamos partir para outra medida de posição central : a moda!

^ \ 2 p a t e n t o! ------ A moda é definida como a realização mais frequente do conjunto de valores observados.

Voltemos ao nosso exemplo. Perceba que a observação que tem valor igual à 24 é a que aparece a maior quantidade de vezes ao longo da série. Essa é a moda!

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Média Aritmética > Média Geométrica > Média Harmônica

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Portanto, como temos 11 observações em nosso exemplo, a mediana será a observação número = 6.

-"Tudo bem professor, mas e se o número de observações for par”?

Boa pergunta! Se o número de observações for par, não há observação que divide a série em duas partes iguais! Neste caso, você vai tirar uma média aritmética das duas que dividem!

Não entendeu? Vamos lá, suponha que nosso rol contenha mais uma observação:

Neste caso, temos 12 observações, portanto não há uma única variável que divida o rol em duas partes iguais. Assim, para encontrar a observação:

Portanto, a nossa mediana está emalgum ponto entre a sexta e a sétima observação.

-"Mas, este ponto não existe”!

Existe sim! Trata-se do ponto médio entre a sexta e a sétima observação! No nosso caso, a sexta e a sétima observação tem valor igual à 29, assim:

n + 1 2 No nosso exemplo:

12 + 1

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Então, nossa mediana tem valor igual à 29.

Certo? Vamos estudar agora algumas propriedades destas medidas de posição.

1.1 Propriedades das medidas de posição central

A ideia desta seção consiste no conceito de operador estatístico.

Por meio de um operador estatístico pode-se aplicar determinada operação a um conjunto de dados.

Por exemplo, podemos aplicar o operador "média aritmética” em um conjunto de dados o que nos dará como resultado a aplicação da seguinte operação no rol:

Mé dia Aritmética = X = 2Xj n

Percebe como funciona? Chame o conjunto de dados de X, assim, se aplicarmos o operador "média aritmética”:

Mé dia(X) = 30,

Trata-se tão somente de uma forma simplificada de representar a aplicação de uma determinada operação a um conjunto de dados. Isso nos será muito útil em explicações posteriores.

Nesta seção, iremos estudar como o operador média responde a determinadas operações, tal como a multiplicação de todas as observações por um valor fixo qualquer, por exemplo.

Assim, vamos a estas propriedades.

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Qual é a média?

M édia = 6 1, 27

Que é o mesmo resultado anterior multiplicado por 2.

Para uma constante a:

Média(a ■X) = X ■a

Tente para o caso da divisão!

2. Medidas de Dispersão

As medidas de dispersão visam tornar a avaliação do conjunto de dados por meio de estatísticas-resumo mais próximas da realidade. A simples observação da média não nos diz muita coisa sobre um conjunto de dados, a título d eilustração, observe o seguinte rol de dados:

Rol: 9; 10; 50 Rol: 22; 24

A média para ambos os rols será de 23

Suponha que você não consiga visualizar o rol, mas só o resultado da média. Você acha que esta medida resumo explica bem como os dados estão dispostos?

Claro que não! Isso porque há uma intensa variabilidade dentro do conjunto de dados no primeiro rol, o que não ocorre no segundo.

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Um exemplo bem fácil pode ser detido da análise de um caso de tiro ao alvo! Suponha que você dê dois tiros, se você acertar ambos no alvo, na média, você acertou no alvo. Agora, se você der dois tiros e um deles ficar 50 metros acima do alvo, enquanto o segundo ficar 50 metros abaixo, na média, você acertou no alvo. Qual o problema do argumento? Você não levou em conta a variabilidade!

-"Bom, então eu devo encontrar uma medida que mostra o quanto as observações estão desviando da média”.

Essa é a ideia! Você pode pensar que uma "média dos desvios de cada observação com relação à média” pode nos ajudar a identificar quando há uma intensa variabilidade nos dados.

Porém, isso não é possível. Pois, a soma dos desvios de uma série com relação à média sempre é igual à zero!

Vamos ao exemplo do nosso primeiro rol de dados:

Rol: 9; 10; 50

Agora, chamando cada observação de xt e a média da série de x, calculemos o somatório dos desvios com relação à média, de forma que:

! ( xí - x ) = i 9 - 23) + ( 10 - 23) + (50 - 23) = 0

Viram? Isso não é uma coincidência. Isso ocorre sempre!

-”O que fazer então”?

Bom, podemos "trapacear”, criando formas alternativas de mensurar este desvio.

Uma delas é a medida "desvio médio”:

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No nosso caso:

Desvio Padrão = I^ 2(Xj - x ) 2 n 19,^^06

Perceba que o valor fica mais próximo do desvio médio, permitindo uma comparação mais acurada.

Pessoal, muitas vezes fica difícil calcular a variância em uma prova, já que você tem pouco tempo. Portanto, precisamos de uma maneira mais fácil e direta, assim, pode-se provar que:

Variãncia = média dos quadrados —quadrado da média

-“Não entendí”!

Bom, vamos ao nosso famoso exemplo. Primeira coisa, vamos fazer uma tabela com as observações e seus valores ao quadrado:

Observações (^) Quadrados 9 81 10 100 50 2500 Média 23 893,

Agora use nossa fórmula:

Vari ãncia = média dos quadrados —quadrado da média = 893,66 —529 = 364,

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Ora, mas esta não é a variância? Exatamente! Dá na mesma, mas, vai por mim, isso vai te ajudar demais na resolução de provas. Portanto, decore!

2.1 Propriedades da variância e do desvio padrão

Pessoal, tal como eu fiz no caso da média, não vou ficar derivando as propriedades da variância e do desvio padrão, apenas decorem!

1. Ao somar (diminuir) qualquer valor fixo das observações utilizadas para cálculo da variância (Var) ou de seu respectivo desvio padrão (DP), o resultado ficará inalterado.

Veja pessoal, vamos pegar nosso exemplo:

Rol: 9; 10; 50

Agora vamos diminuir 3 de cada observação:

Rol: 6; 7; 47

Agora, calcule a variância (nova média igual à 20):

Variância = I ( X j - x ) 2=^ (6 -^2 0) 2 + (7 -^2 0) 2 + (47 -^2 0) 2^ = 1 9 6 + 1^ 69 + 72 9= 3 64, 66 n 3 3

Ora, deu na mesma! O mesmo pode-se dizer do desvio padrão, pois se trata de raiz quadrada do mesmo número. Isso também vale sempre!

Para quem gostou de analisar as propriedades com base em operadores, para um dado valor fixo a:

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Para quem quiser um jeitinho fácil de lembrar, ao multiplicar as observações de uma série por x, a variância ficará multiplicada por x2 e o desvio padrão por x porque:

Obs. Coeficiente de Variação

Conceito simples e que sempre cai em prova. Pessoal, o desvio padrão é muito afetado pelo valor absoluto dos dados analisados, o que dificulta a comparação de duas séries com valores muito diferentes. Assim, costuma-se utilizar o conceito de coeficiente de variação (cv):

Entenderam? Divida o desvio padrão calculado de cada série pela sua respectiva média aritmética. Este conceito permite comparações entre os desvios padrões de séries com valores muito diferentes.

Guarde isso, pois cai muito!

Beleza pessoal? Vão tomar uma água e voltem logo para continuarmos com as medidas separatrizes.

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Não está satisfeito? Então veja em forma de operadores:

Var(a • X) = a2 • Var{X) DP{a- X) = a- DP( X)

DP(X)

H

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3. Medidas separatrizes e assimetria

Outra forma de visualizar uma distribuição e de podermos representa-la é por meio de suas medidas separatrizes , isso é observações que "separam” os dados de uma série de forma bem específica. Isso é feito por meio dos percentis.

Percentil de ordem p significa o valor da observação que não é superado por p% das observações da série.

Nós já estudamos uma medida deste tipo: a mediana. Ela divide o conjunto de dados em duas partes iguais, tal que metade das observações possuirá valores menores do que ela e metade terá valores maiores. Na verdade, ela é um percentil de ordem 50.

Outro exemplo de medida separatriz é o quartil. Os quartis são as observações que dividem a série em quatro partes iguais.

Os quartis separam uma série de dados em quatro partes iguais, de forma que o primeiro quartil é o valor que não é superado por 25% das observações. Na mesma linha, o segundo quartil coincide com a mediana, possuindo valor que não é superado por 50% das observações, enquanto que o terceiro quartil tem valor superior a 75% das observações.

Outro exemplo: os decis. Estes dividem a série de dados em 10 partes iguais! Por exemplo, o 1° decil possui valor que não é superado por 10% das observações. E por, aí vai.

Mas, apesar de existirem infinitas possibilidades de percentis, o que nos interessa, para fins de prova, são a mediana e os quartis. Já estudamos a mediana, portanto, vamos nos aprofundar nos quartis.

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Gente, se cair na prova, o que não é comum, encontre a mediana geral! Após encontrar a mediana, encontre as medianas para cada parcela da mediana geral. Por que isso? Porque a mediana da metade dos dados corresponde ao 1° e 3° quartil. Como fazer isso? Tal como fizemos neste exemplo aqui em cima!

Viram? Tranquilo não?

O que é interessante é que o conceito de quartil é comumente utilizado com o intuito de averiguar o grau de simetria de uma distribuição!

Para que isso fique claro precisamos estudar o conceito de distância interquartil ou amplitude interquartil.

A distância interquartil (d q) é uma medida da diferença de valores entre o terceiro (ç3) e o primeiro quartil _{q1)_

dq — Ç 3 Çl

Esta medida nos dá uma ideia do grau de dispersão de uma série, pois quanto maior este resultado menor é a concentração dos valores da série ao redor da mediana.

A ideia de distribuição simétrica tem a ver com a distância entre os diversos quartis e as observações extremas das séries estudadas.

-"Como assim, professor”?

Simples. O que nós queremos dizer com distribuição simétrica é que o que ocorre com os valores à direita da mediana deve ser “semelhante” ao que ocorre com os valores à sua esquerda.

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Um exemplo de distribuição simétrica é a distribuição normal ou gaussiana (tem a forma de um “sino”):

Olha só, divida o gráfico em duas partes iguais. Como? Encontre o valor da mediana.

Frequência

Perceba que o lado esquerdo é muito semelhante ao esquerdo. Essa é a ideia de simetria.

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