Aula - 03 - Integral - Definida, Notas de aula de Matemática

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Integral Definida

 (^) Determinar uma área sob a curva de uma função (que se traduz na operação conhecida como integral definida), é um procedimento que guarda estreitas relações com a operação de desvendar a primitiva de uma função (integral indefinida).  (^) Vamos procurar entender o procedimento que possibilita este cálculo.  (^) Na antiguidade o cálculo da área de certas figuras era obtido por aproximação. A área de uma figura mais complexa era determinada a partir do cálculo de áreas de figuras mais simples.

 Método de Exaustão de Arquimedes Para um polígono de n= lados Para um polígono de n= lados Para um polígono de n= lados ...

 Método de Exaustão de Arquimedes  (^) O perímetro do polígono é p n=n.bn;  (^) A área total é dada por: 2 . 2 .

.. b n n n n t b h p h A n A  n 

 Método de Exaustão de Arquimedes  (^) No caso acima n=8, mas se n cresce cada vez mais, isto é, n, o polígono Pn vai se aproximando cada vez mais do círculo;  (^) Enquanto o perímetro P n se aproxima do comprimento do círculo (que é 2r), a altura hn vai se aproximando do raio r.  Logo, em termos matemáticos, isto é traduzido da seguinte maneira: 2 2

lim r r r A n n      

 Área sob uma curva  (^) Especificado o intervalo [a,b], procedemos a divisão em n subintervalos onde os pontos a=x 0 e b=xn.

 Área sob uma curva  (^) x i=xi-xi-1 é o comprimento de cada intervalinho [xi-1, xi].  Esse intervalo pode ser tão pequeno quanto se queira e o ponto médio desse intervalo é definido por ci.

 Área sob uma curva  (^) Seja y=f(x) uma função contínua no intervalo [a,b]. A área sob a curva de f(x) é definida por:  A integral definida está associada ao limite da definição acima.  Definição  (^) Seja f uma função definida no intervalo [a,b] e P uma partição qualquer de [a,b]. A integral definida de “a” até “b” denota-se por:       n i i i x A f c x i 1 0 lim ( ).        n i i i b a x f x dx f c x i 1 0 ( ) lim ( )

 Área sob uma curva  Se existe, dizemos que f é integrável em [a,b].  (^) Quando a função f é contínua e não-negativa em [a,b], a definição da integral definida coincide com a definição da área. Portanto, neste caso, a integral definida é a área da região sob o gráfico de f de “a” até “b”.  (^) Observação: sempre que utilizamos [a,b] supomos a < b.  (^) Se a>b, então se a integral à direita existir;  (^) Se a=b e f(a) existir, então,  b a f (x) dx  b a f (x) dx    a b b a f (x)dx f(x) dx ( )  0  a a f x dx

 Teorema Fundamental do Cálculo  (^) Se F(x) é uma primitiva de f no intervalo [a,b], então:

f ( x)dx F(x) F(b) F(a )

b a b a

 Exemplo  (^) Calcule a área da região sob o gráfico da função f(x)=x- x^2.

 Bibliografia utilizada:  (^) Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person Education. São Paulo, 1992.  Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva. São Paulo, 2006.  Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo,

 Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach. Springer-Verlag. New York, 1979.  Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics. Dover, 1990.