Aula 17 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática, Notas de aula de Direito

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Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17

Aula 17:

4. Trigonometria.

SUMARIO

I. Ângulos............................................................................................... 2 II. Ciclo trigonométrico. ......................................................................... 2 III. Seno, Cosseno e T an g en te .............................................................. 5 111.1 S e n o ............................................................................................ 5

111.2 C o s se n o. ..................................................................................... 6

111.3 Relação Fundam ental. .................................................................. 7 111.4 Tangente. .................................................................................. 12 111.5 Valores notáveis. ...................................................................... 14

111 .6 Ângulos Complementares, Suplementares, Replementares e

Explementares. .................................................................................. 15 IV. Secante, Cossecante e C otangente. ................................................. 18 V. Outras Relações Trigonométricas Im portantes. ................................ 21 VI. Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo. .......................... 25 VII. Mais Questões Comentadas............................................................ 32 VIII. Lista das Questões A presentadas.................................................. 34

Olá, Pessoal, como estão os estudos?

Hoje o assunto é Trigonometria!

Assim como sobre o tema Geometria Básica, eu também não tenho o compromisso de varrer toda a teoria de Trigonometria. Se assim fosse, este nosso curso deveria durar, pelo menos, mais um ano. Não! Nós não temos esse tempo todo para a prova!

Por essa razão, nossa Aula de hoje será focada nas fórmulas que caem em prova e na Resolução de exercícios e eu vou pontuar os assuntos e fórmulas que julgo mais importantes para a sua prova! Como eu sempre falo, este não é um curso de doutorado em Matemática; este é um curso voltado para sua aprovação no concurso da Receita! E eu te espero lá! Um forte Abraço! Vamos começar?

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Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17

I. Ângulos

Os ângulos podem ser medidos em graus(°) ou radianos(rad). A relação entre essas unidade de medida é a seguinte:

na prova!^ CAIU^180 o^ = n r a d

é importantíssimo que você saiba realizar esta conversão! Veja como fazer: Exemplo: Converta 45° em radianos.

É muito simples. Basta fazer uma regra de três simples:

1 8 0 ° ------------------- n rad

4 5° ------------------- x

n n

x = ----- = — rad

II. Ciclo trigonométrico

O ciclo trigonométrico nada mais é do que um círculo de Raio = 1, com dois eixos ortogonais que passam pelo seu centro. Estes eixos dividem o ciclo trigonométrico em 4 quadrantes.

9 0 o n 2

• Ok, Professor. Mas para que serve este tal "ciclo trigonométrico"?
• O ciclo trigonométrico é nosso GRANDE AMIGO no estudo da trigonometria.

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Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 Questão 1: ESAF - AFC (STN)/STN/Contábil/ Se um arco mede a graus, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por a + k 3600, onde k é um número inteiro. Por outro lado, se um arco mede a radianos, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por a + 2 kn , onde k é um número inteiro. Um móvel A, partindo do ponto de origem dos arcos de uma circunferência trigonométrica, percorreu um arco de 1690 graus. O móvel B, partindo deste mesmo ponto de origem, percorreu um arco de 35rc/8 radianos. Desse modo, pode-se afirmar que o móvel: a) A deu 4 voltas no sentido anti-horário e parou no I quadrante. b) A deu 4 voltas no sentido horário e parou no III quadrante. c) B deu 2 voltas completas no sentido anti-horário e parou no I quadrante. d) B deu 2 voltas completas no sentido horário e parou no I quadrante. e) independente do número de voltas, os móveis A e B pararam no primeiro quadrante. SOLUÇÃO: Para s a b e r q u a n ta s vo ltas o m ó v e l A deu, b a sta d iv id ir a q u a n tid a d e de g ra u s que ele se d e slo co u p o r 360°.

O u seja, o m ó v e l A d e u 4 vo ltas co m p le ta s no se n tid o a n ti-h o rá rio , o que co rre s p o n d e a 4 - 3 6 0 = 1.440° e a n d o u m a is 1 .6 9 0 - 1.440 = 2 50°. S e ele a n d o u m a is 2 5 0 ° a p ó s a s 4 voltas, ele p a ro u no 3 ° quadrante.

Para s a b e r q u a n ta s vo ltas o m ó v e l B deu, b a sta d iv id ir a q u a n tid a d e de ra d ia n o s q ue ele se d e s lo c o u p o r 2n. 5n

O u seja, o m ó v e l B d e u 2 vo ltas c o m p le ta s , o q ue co rre sp o n d e a 2 n = 4n e a n d o u m a is ■^35 tc^ - 4 n = 3n^. S e ele a n d o u m a is ■3n ■ a p ó s a s 2 voltas, ele p a ro u 8 8 8 no 1° qu a d ra n te, p o is - < 8 2

G ab arito: Letra C

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III. Seno, Cosseno e Tangente

III.1 Seno No ciclo trigonométrico, o seno é o eixo vertical. Repare que ele varia de - 1 a +1, porque o Raio do ciclo trigonométrico é igual a 1. Veja:

Questão 2: ESAF - AFC (STN)/STN/Contábil-Financeira/ A expressão dada por y = 3 sen x + 4 é definida para todo número x real. Assim, o intervalo de variação de y é

a) -1 < y < 7 b) -7 < y < 1 c) -7 < y < - d) 1 < y < 7 e) 1 < y < 7 SOLUÇÃO: A função seno varia de -1 a 1. O m enor valor de y ocorrerá quando sen x=-1; y= 0 m aior valor de y ocorrerá quando sen x=+1; y= 1 < y < 7 Gabarito: Letra E

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Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 III.3 Relação Fundamental

A seguir, apresentamos a relação fundamental da trigonometria que você TEM QUE SABER para sua prova!!!! Ela é importantíssima e cai em TODA PROVA de Trigonometria que se preza:

sen2x + cos2x = 1

Questão 4: ESAF -TFC/ Se x é um arco do segundo quadrante e sen x = 4/5, então cos x é: a ) -5/ b) 5/ c) ± 3/ d) 3/ e ) -3/5 __________________________________________________ SOLUÇÃO: Aplicando a Relação Fundamental: sen2x + cos2x =

^ + cos2x = Resolvendo a equação, cosx = + — Como a questão fala que x é um arco do 2° quadrante, seu cosseno só pode ser negativo.

cosx = — Gabarito: Letra E

Questão 5: ESAF -Processo Seletivo Simplificado/ Se x é um arco do segundo quadrante e sen x = 1/2, então tg x é: a)^ i^ ■ b)

vf c) _V3 3

d) V2 2 e) (^13)

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Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 SOLUCAO: Aplicando a Relação Fundamental: sen2x + cos2x = 1

^ + cos2x = 1 Resolvendo a equação, cosx = Como a questão fala que x é um arco do 2° quadrante, seu cosseno só pode ser negativo. cosx = —V 3 /

Gabarito: Letra C

senx -V 3

Questão 6: ESAF/MPOG/ Sabendo que x é o ângulo correspondente a um arco do segundo quadrante, e que tangente de x é igual a -12/5, então o seno de x é igual a:

a) 12/ b) -14/ c) 13/ d) 10/ e) -12/ SOLUÇÃO: Aplicando a Relação Fundamental: sen2x + cos2x = 1 senx —

cosx = senx 12

sen2x + ( — senx^ = 1

V12 1

senx = +

Como x pertence ao segundo quadrante, o seno deve ser positivo = 12/13.

Gabarito: Letra A

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Estratégia rC O N C U R S O S n n r ii r >; n <: Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 Como o produto senxcosx pode assumir valores entre -1 e 1, para eu garantir que (2+y)senxcosx seja igual a 0 sempre, (2+y) tem que ser igual a 0. O valor de y que torna a expressão nula é:

Questão 9: ESAF - Oficial de Chancelaria/MRE/ Sabendo que x = 3sent e y = 4cost, então, uma relação entre x e y, independente de t é dada por:

a) 16y2- 9x2= 144 b) 16x2-9y2= 144 c) 16y2+9x2= 144 d) 16x2+ 9y2= 144 e) 9y2- 16x2= 144 SOLUÇÃO:

Gabarito: Letra D

Y cost = 4

Aplicando a Relação Fundamental: sen2t + cos2t = 1

1 6 x 2 + 9y2 = 144 Gabarito: Letra D

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Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 Questão 10: ESAF - AFC (STN)/STN/Contábil-Financeira/ O sistema dado pelas equações (x sen a - y cos a = -cos 2 a [x cos a +y sen a = sen 2 a

possui duas raízes, x e y. Sabendo-se que "a" é uma constante, então a soma dos quadrados das raízes é igual a

a) 1 b) 2 c) 4 d) sen n e) cos n __________________________________________________ SOLUÇÃO: Comecemos a questão elevando ambas as equações ao quadrado: (xsena — ycosa ) 2 = ( —cos 2 a ) x 2sen2a — 2xysenacosa + y 2cos2a = co s22 a ( í)

(xcosa + ysena)2 = (sen2a) x 2cos2a + 2xysenacosa + y 2sen2a = sen22a (ii)

Somando (i) e (ii): x 2sen2a + x 2cos2a + 2xysenacosa — 2xysenacosa + y 2sen2a + y 2cos2a = sen22 a + cos22a x 2{sen2a + cos2a) + 2 xysenacosa — 2 xysenacosa + y 2{sen2a + cos2a) = sen22 a + cos22a Mas, pela relação fundamental: sen2a + cos2a = 1 sen22 a + cos22a = 1

Ficamos com: x 2 - 1 + y 2 -1 = x 2 + y 2 = 1 Esta já é a soma do quadrado das raízes Gabarito: Letra A

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Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 Quando cosx=0, senx=-1 (substituindo em (i)) e: senx — 1 tqx = ------ = = indeterm inada cosx 0

Quando cosx=-3/5, senx=4/5 (substituindo em (i)) e: senx 4 tdX = 7 ^ = = 3/^ = ~

Gabarito: Letra A

Questão 12: ESAF - AFT/MTE/ Seja y um ângulo medido em graus tal que 0° < y < 180° com y £ 90°. Ao multiplicarmos a matriz abaixo por a, sendo a £ 0, qual o determinante da matriz resultante? (^1) tg y 1 a (^) tg y 1 cosy seny cosy a) a cos y. b) a 2 tg y. c) a sen y. d) 0. e) -a sen y.

SOLUÇÃO:

Calculando o determinante da matriz original: (^1) tgy 1 a (^) tgy 1 = aseny + cosytgy + cosytgy — cosytgy — seny — acosytgy cosy seny cosy

Mas: seny

Logo, nosso determinante fica: aseny + seny + seny — seny — seny — aseny = 0

Quando multiplicamos a matriz por uma constante (a), o determinante fica multiplicado por esta mesma constante elevada à ordem da matriz.

det = a 3 ■ 0 = 0

Gabarito: Letra D

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Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 III.5 Valores notáveis

Resumindo

Ângulo

em graus

Ângulo

em

radianos

Sen Cos Tg

0° ou 0 ou 2n 0 1 0

30° n^^1 V3 V

45° n^ V2 V2 1

60° n^ V3 1 V

90° n^ 1 0 --

2

180° n 0 -1 0

270° 3 n^ -1^0 --

___ 2 ___

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Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 Ângulos Replementares são aqueles cuja soma é igual a 360°, digamos 0 e 36üo-0. Para achar o valor do seno e do cosseno do ângulo replementar a um ângulo 0 dado, recorremos também ao ciclo trigonométrico. Repare que o sen0 é igual ao negativo do seno de (360-0) e o cos0=cos(360-0):

Ângulos Explementares são aqueles cuja diferença é igual a 180°, digamos 0 e 18O°+0. Deixo a seu encargo as conclusões acerca do seno e do cosseno do ângulo 18O°+0!

Segue um resumo dessas principais relações:

CAIU na prova!

cos(90° - 0) = senO

sen( 90° — 0) = cosO

sen( 180° — 0) = senG

q í s(180o- 0) = -cosO

tflf(180° — 0) = —tg

sen( 360° - 0) = -senO

cos(360° - 0) = cosO

tg{ 360° — 0) = —tgx

sen( 180° + 0) = -senO

cos(180° + 0 ) = -cosO

íg(180° + 0 ) = tgO

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Questão 13: ESAF - EPPGG/ 28- Sabe-se que o seno de 60° é igual a (31/ 2 )/2, e que cosseno de 60° é igual a 1/2. Sabe-se, também, que o seno do dobro de um ângulo X é igual ao dobro do produto do seno de X pelo cosseno de X. Assim, a tangente do ângulo suplementar a 60° é: a) - 1/ b) - ( 3 / c) 3 / d ) (3%)/ e) - (31/ 2 )/2 _______________________________________________ SOLUCAO: A questão quer saber a tangente de 1 8 0 o-6 0 o. Da fórmula, sabemos que: tg{ 1 80 — 0) = —tg

Logo, tg( 1 80 — 60) = —tg 6

Mas, tg 6 0 ° =

Gabarito: Letra B

t g {1 8 0 - 6 0 ) = -V 3

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Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 Pela relação fundamental eu calculo o cosseno: sen2x + cos2x = 1 V cosx = + ■ “ 2 Os possíveis valores para a tangente de x são:

2 V t^x = 7 v f = ± T ± 2 Marcamos a letra B pois ela representa uma das possíveis respostas.

Gabarito: Letra B

Q u e s t ã o 1 5 : E S A F / T F C / 1 9 9 5 S i m p l i f i c a n d o a e x p r e s s ã o ( s e n a ■ t g a ■ c o s s e c a ) / ( c o s a ■ c o t g a ■ s e c a ) , o b t é m - s e : a ) o b ) 1 c ) se n 2a d ) sec2a e ) t g 2a SO L U Ç Ã O : sena ■ tga ■ cosseca COSa ■ COt^a ■ Seca

sena ■ sena^ ■ 1 çpna

_____ cosa sena _

cosa ■ cosa^ ■^1 cosa sena cosa

sena ■ sena^ ■^1 ______ cosa sena _ cosa ■ cosa^ ■^1 ~ sena cosa sena _ ------ = tga ■ tga = tg 2a cosa

Gabarito: Letra E

Q u e s t ã o 1 6 : E S A F / E s p e c i a l i s t a e m P o l. P ú b l i c a s e G e s t ã o G o v e r n a m e n t a l / M P O G / 2 0 0 2 S a b e - s e q u e a f u n ç ã o i n v e r s a d a f u n ç ã o s e n o é a f u n ç ã o c o s s e c a n t e e q u e o s e n o d o d o b r o d e u m a r c o é d a d o p o r s e n 2 x = 2 s e n x c o s x. S a b e n d o - s e q u e x é u m a r c o d o s e g u n d o q u a d r a n t e e q u e o c o s s e n o d a m e t a d e d e s t e a r c o é ig u a l a 1 / 3 , e n t ã o a c o s s e c a n t e d e x v a l e : a )

b )

c )

d ) e )

-2V

3 -2V 3 V 3 3 2V

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Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 SOLUCAO: X é um arco do segundo quadrante, ou seja: cosx < 0 senx > 0 A questão também nos informa que: sen2x = 2 senx ■ cosx cos{x/2 ) = 1 / 3

A questão quer saber: 1 cossecx = ------ senx

Vamos trabalhar com a fórmula que o enunciado nos deu do seno de 2x, mas vamos transformá-la um pouco pois nós não estamos interessados em calcular sen2x e sim senx. X X senx = 2 sen ■ cos • 2 2 Note que a questão já nos deu o valor de cos(x/2). Usaremos a relação fundamental para descobrir o sen(x/2). sen2x / 2 + cos2x / 2 = 1 x 2 V s e n (? ) = ± — Agora, vem um pulo do gato da questão. Como x é um arco do 2° quadrante, (x/2) só pode ser um arco do 1° quadrante. Logo, seu seno é positivo. Disto concluímos que: x 2 V s e n (? ) = + — Então,

2 a/2 1 4 a/ senx = 2 ■ ■ = 3 3 9 Como a questão quer saber 1 9 9V cossecx = ------ = = senx 4 V 2 °

Esta resposta não aparece nas opções. Por isso, foi anulada.

Gabarito: Anulada

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