Universidade do Estado do Rio de Janeiro C´alculo I e C´alculo Diferencial I - Professora: Mariana G. Villapouca Aplica¸c˜oes da Derivada Aula 23 - Teorema do Valor M´edio

Teorema de Rolle e Teorema do Valor M´edio Teorema 1 (de Rolle). Se f ´e cont´ınua em [a, b], deriv´avel em (a, b) e f (a) = f (b), ent˜ao existe um c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.

a c b

f (a) = f (b)

f

demonstra¸c˜ao:

Se f for constante em [a, b], ent˜ao f ′(x) = 0, ∀x ∈ (a, b).
Suponhamos, ent˜ao, que f n˜ao ´e constante em [a, b]. Como f ´e cont´ınua em [a, b], pelo Teorema do Valor Extremo, existem x 1 , x 2 ∈ [a, b] tais que f (x 1 ) 6 f (x) 6 f (x 2 ), ∀x ∈ [a, b] isto ´e, f (x 1 ) e f (x 2 ) s˜ao, respectivamente, os valores m´ınimo e m´aximo globais de f em [a, b], logo, pelo Teorema de Fermat, f ′(x 1 ) = 0 e f ′(x 2 ) = 0. Agora, como f n˜ao ´e constante em [a, b], ent˜ao f (x 1 ) 6 = f (x 2 ) e ainda como, por hip´otese, f (a) = f (b), ent˜ao x 1 ∈ (a, b) ou x 2 ∈ (a, b). Portanto, existe um c ∈ (a, b) (x 1 ou x 2 ) tal que f ′(c) = 0.

Teorema 2 (do Valor M´edio (T.V.M.)). Se f ´e cont´ınua em [a, b] e deriv´avel em (a, b), ent˜ao existe um c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = f^ (b) b^ −−^ fa^ ( a).

a c b

f (a)

f (^) reta de inclina¸c˜ao f (b) b−−fa (a)

reta tangente ao gr´afico de f no ponto c f (b)

demonstra¸c˜ao: Defina h(x) = f (x) − f (a) − f^ (b b)^ −−^ fa^ (a)(x − a). Temos que

h ´e cont´ınua em [a, b] (pois f o ´e)
h ´e deriv´avel em (a, b) (pois f o ´e)
h(a) = h(b) (pois h(a) = f (a) − f (a) − f^ (b) b^ −−^ fa^ (a)(a − a) = 0 e h(b) = f (b) − f (a) − f (b) − f (a) b − a (b^ −^ a) =^ f^ (b)^ −^ f^ (a)^ −^ f^ (b) +^ f^ (a) = 0) Logo, pelo Teorema de Rolle, existe um f (b) − f (a) c ∈ (a, b) tal que h′(c) = 0. Assim, como h′(x) = f ′(x) − b − a , ent˜ao 0 = h′(c) = f ′(c) − f^ (b) b^ −−^ fa^ ( a)⇒ f ′(c) = f^ (b) b^ −−^ fa^ (a).

Proposi¸c˜ao 1. Se f ′(x) = 0, ∀x ∈ (a, b), ent˜ao f ´e constante em (a, b). demonstra¸c˜ao: Sejam x 1 < x 2 em (a, b). Assim, como [x 1 , x 2 ] ⊂ (a, b), ent˜ao

f ´e cont´ınua em [x 1 , x 2 ]
f ´e deriv´avel em (x 1 , x 2 )

logo, pelo Teorema do Valor M´edio, existe um c ∈ (x 1 , x 2 ) tal que f ′(c) = f^ (x x^22 ) −−^ fx^1 (x^1 ). Por outro lado, por hip´otese f ′(c) = 0, pois c ∈ (a, b). Portanto, 0 = f ′(c) = f^ (x x^2 ) 2 −−^ fx^ ( 1 x^1 ) ⇒ f (x 2 ) − f (x 1 ) = 0 ⇒ f (x 2 ) = f (x 1 ). Como os pontos x 1 e x 2 foram tomados de maneira arbitr´aria, temos que f ´e constante.

Corol´ario 1. Se f ′(x) = g′(x), ∀x ∈ (a, b), ent˜ao existe um K ∈ R constante tal que f (x) = g(x) + K, ∀x ∈ (a, b). demonstra¸c˜ao: Seja h(x) = f (x) − g(x). Temos que h′(x) = f ′(x) − g′(x) = 0, ∀x ∈ (a, b). Logo, pela Proposi¸c˜ao acima, h ´e constante em (a, b), isto ´e, existe um K ∈ R tal que h(x) = K, ∀x ∈ (a, b), isto ´e, f (x) = g(x) + K, ∀x ∈ (a, b).