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Limites infinitos
Dada uma fun¸c˜ao f (x), dizemos que seu limite tende a infinito quando x → x 0 se os valores de f (x) ficarem cada vez maiores `a medida que aproximamos x de x 0. E escrevemos
lim x→x 0 f (x) = +∞ (1)
Um limite infinito significa que a fun¸c˜ao n˜ao tem limite. Da mesma forma, se os valores de f (x) forem negativos, e se tor- narem muito grandes em m´odulo, dizemos que a fun¸c˜ao tende a menos infinito.
xlim→x 0
f (x) = −∞ (2) O mesmo vale para os limites laterais.
Exemplo: Calcule os limites de f 1 (x) = 1/x e de f 2 (x) = 1/x^2 quando x → 0.
Ass´ıntota vertical
Uma fun¸c˜ao f (x) tem uma ass´ıntota vertical em x = x 0 se pelo menos um dos limites laterais quando x → x 0 tender a mais ou menos infinito.
Exemplo: Ache a equa¸c˜ao da ass´ıntota da fun¸c˜ao
f (x) =
2 x x − 4
Propriedades dos limites
Sejam duas fun¸c˜oes, cujos limites
lim x→x 0 f (x) (3)
xlim→x 0
g(x) (4)
2
xlim→x 0
f (x) = lim x→x 0
h(x) = L (6) ent˜ao
xlim→x 0
g(x) = L (7) Exemplo: Calcule o limite de x^2 sen (1/x) quando x → 0
Defini¸c˜ao precisa de limite
A defini¸c˜ao precisa de limite, que deve ser utilizada para verificar se existe o limite de uma determinada fun¸c˜ao, ´e dada abaixo.
Seja uma fun¸c˜ao f (x) definida em um intervalo aberto I que contenha o n´umero x 0 (f (x) n˜ao precisa ser definida em x 0 ). Di- zemos que o limite de f (x) quando x tende a x 0 existe e ´e igual a L,
xlim→x 0
= L (8)
se para todo n´umero qualquer > 0, existir um outro n´umero qualquer δ > 0 tal que
se 0 < |x − x 0 | < δ ent˜ao |f (x) − L| < (9) Para ilustrar essa id´eia, vamos verificar se existe o limite de f (x) = 2x + 3 quando x → 5.
Continuidade
Uma fun¸c˜ao f (x) ´e dita continua em um ponto x = x 0 se
4
xlim→x 0
f (x) = f (x 0 ) (10)
para que isso seja verdade, basicamente temos trˆes condi¸c˜oes:
- a fun¸c˜ao f (x) est´a definida em x 0 ,
- limx→x 0 f (x) existe
- ambos os anteriores tˆem o mesmo valor.
Podemos utilizar a defini¸c˜ao anterior para um intervalo de va- lores , e assim, podemos dizer simplesmente que uma fun¸c˜ao ´e cont´ınua, se ela for cont´ınua em todos os pontos de seu dom´ınio. Verifique em quais pontos a fun¸c˜ao abaixo n˜ao ´e cont´ınua.
f (x) =
x^2 , x < 1 x^2 , 1 < x ≤ 2 x , 2 ≤ x ≤ 3 x^2 , x = 3 x , x ≥ 3
Verifique se a fun¸c˜ao f (x) = 5 x (^2) +x+ 1+3x− 2 x^2 tem ass´ıntotas horizon- tais, e em caso afirmativo ache a equa¸c˜ao da ass´ıntota.
Limites infinitos no infinito
Existem casos em que fazemos a vari´avel x aumentar indefinida- mente e como consequˆencia o mesmo ocorre com f (x). Nesses casos, dizemos que o limite de f (x) quando x → ∞ ´e infinito.
x→lim+∞ f^ (x) = +∞.^ (15) O mesmo pode ser dito para qualquer combina¸c˜ao de −∞ e +∞,
x→lim+∞ f^ (x) =^ − ∞,^ (16) x→−∞lim f^ (x) =^ − ∞,^ (17) lim x→−∞ f (x) = + ∞. (18)
Exemplo: O que acontece com as fun¸c˜oes f 1 (x) = −x^2 e f 2 (x) = x^3 quando fazemos x → +∞ e x → −∞?
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Exerc´ıcios:
Se¸c˜ao 2.6 → P´ag 127: 13-24, 39-42.
A derivada tamb´em pode ser entendida como taxa de varia¸c˜ao da vari´avel y em rela¸c˜ao a x. Ou seja, para o exerc´ıcio anterior, podemos dizer que a taxa de varia¸c˜ao de y em rela¸c˜ao a x quando x = 2 ´e ...
Exerc´ıcios:
Se¸c˜ao 2.7 → P´ag: 5-8, 15-20, 28, 29, 44.
A derivada como uma fun¸c˜ao
Vimos como calcular a derivada de uma fun¸c˜ao f (x) em um ponto espec´ıfico x 0. Se pensarmos que a derivada pode ser calculada em infinitos pontos de f (x), ent˜ao podemos pensar em calcular a forma geral de f ′^ para qualquer ponto, ou seja f ′(x), ao inv´ez de pensar na derivada calculada a cada ponto,
f ′(x) = lim ∆x→ 0
f (x + ∆x) − f (x) ∆x
Da forma definida acima podemos interpretar f ′(x) como uma nova fun¸c˜ao, derivada a partir de f (x). Vamos estudar por exem- plo a fun¸c˜ao f (x) = x^2 + 1 e sua derivada.
Exerc´ıcio: Calcule a derivada de f (x) = x^3 − x, esboce os gr´aficos e interprete-os.
Derivadas de ordem superior
Se a derivada de uma fun¸c˜ao f (x) tamb´em for diferenci´avel, po- demos derivad´a-la mais uma vez, ou seja, podemos calcular a deri- vada de f ′(x), e assim teremos f ′′(x). A segunda derivada tamb´em pode ser representada por f ′′, d
(^2) f dx^2 , fxx, D
(^2) f (x).
O mesmo racioc´ınio pode ser utilizado para derivadas de ordem mais alta como: f ′′′, d
(^4) f dx^4 , fxxxxx, D
(^5) f (x).
Exemplo: calcule a derivada segunda de f (x) = |x|, de f (x) = x^3 − x e de f (x) = x^2 + 1.
Exerc´ıcios:
Se¸c˜ao 2.8 → p´ag 148: 1-11, 35-38, 41-44.
Revis˜ao → p´ag 151: 3-12, 23, 24, 29-32.
