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Baixe Boulos, Geometria Analitica Um Tratamento Vetorial - 3.Ed e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity!
São Paulo Brasil Argentina Colômbia Costa Rica Chile Espanha Guatemala México Peru Porto Rico Venezuela PREFÁCIO À PRIMEIRA EDIÇÃO PREFÁCIO À TERCEIRA EDIÇÃO... NOTAÇÃO E NOMENCLATURA .. “a. 2. Ec = =. 5. x. EN 7 = N o 8 9. o 4 A 4 Rr qr Bum SOMA DE VETORES .. PRODUTO DE NÚMERO REAL POR VETOR. SOMA DE PONTO COM VETOR APLICAÇÕES GEOMÉTRICAS DEPENDÊNCIA LINEAR ... MUDANÇA DE BASE . PRODUTO ESCALAR ORIENTAÇÃO DE Vº PRODUTO VETORIAL PRODUTO MISTO SISTEMA DE COORDENADAS . EQUAÇÕES DE RETA E PLANO ... A B INTERSEÇÃO DE RETAS E PLANOS A B c D POSIÇÃO RELATIVA DE RETAS E PLANOS A B Ee D EQUAÇÕES DE RETA EQUAÇÕES DE PLANO ......... INTERSEÇÃO DE DUAS RETAS... INTERSEÇÃO DE RETA E PLANO. INTERSEÇÃO DE DOIS PLANOS ... EQUAÇÕES DE RETA NA FORMA PLANAR POSIÇÃO RELATIVA DE RETAS POSIÇÃO RELATIVA DE RETA E PLANO Posição RELATIVA DE PLANOS FEIXES DE PLANOS . te. ie. 20. 21. 22. 28. 24. 25. Sumário — vii PERPENDICULARIDADE E ORTOGONALIDADE.... A PERPENDICULARIDADE E ORTOGONALIDADE ENTRE RETAS .. B VETOR NORMAL 4 UM PLANO ... C PERPENDICULARIDADE ENTRE RETA E PLANO... D PERPENDICULARIDADE ENTRE PLANOS... MISCELÂNEA DE EXERCÍCIOS MEDIDA ANGULAR A MEDIDA ANGULAR ENTRE RETAS B MEDIDA ANGULAR ENTRE RETA E PLANO ... €C MEDIDA ANGULAR ENTRE PLANOS... D SEMI-ESPAÇO ... DISTÂNCIA... A DISTÂNCIA ENTRE PONTOS... DISTÂNCIA DE PONTO A RETA .. DISTÂNCIA DE PONTO A PLANO .... DISTÂNCIA ENTRE RETAS ... mona DISTÂNCIA ENTRE RETA E PLANO... F DISTÂNCIA ENTRE PLANOS ... MUDANÇA DE SISTEMA DE COORDENADAS ELIPSE, HIPÉRBOLE, PARÁBOLA A DEFINIÇÕES E EQUAÇÕES REDUZIDAS .. FORMA E EXCENTRICIDADE ... REGIÕES DO PLANO DETERMINADAS POR ELIPSE, HIPÉRBOLE E PARÁBOLA ...... 316 RETAS SECANTES, TANGENTES E NORMAIS... PROPRIEDADE DE REFLEXÃO MÉTODOS DE CONSTRUÇÃO DEFINIÇÕES ALTERNATIVAS rIonmoo am SEÇÕES CÔNICAS. ORIGEM DOS NOMES ELIPSE, HIPÉRBOLE E PARÁBOLA ........ 346 EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES... Cônicas .. A DEFINIÇÃO DE CÔNICA. m TRANSLAÇÃO E ELIMINAÇÃO DOS TERMOS LINEARES .. o ROTAÇÃO E ELIMINAÇÃO DO TERMO QUADRÁTICO MISTO . D IDENTIFICAÇÃO E ESBOÇO DE UMA CÔNICA.... SUPERFÍCIE ESFÉRICA A EQUAÇÕES DE UMA SUPERFÍCIE ESFÉRICA .... B INTERSEÇÃO E POSIÇÃO RELATIVA DE RETA E SUPERFÍCIE ESFÉRICA... C INTERSEÇÃO E POSIÇÃO RELATIVA DE PLANO E SUPERFÍCIE ESFÉRICA............. 387 o INTERSEÇÃO E PÓSIÇÃO RELATIVA DE SUPERFÍCIES ESFÉRICAS .. QUÁDRICAS . ELIPSÓIDE. > HIPERBOLÓIDE ...... PARABOLÓIDE... QUÁDRICA CILÍNDRICA QUÁDRICA CÔNICA ... umoom SOBRE A NOMENCLATURA E A CLASSIFICAÇÃO DAS QUÁDRICAS E TABELA-RESUMO ÃO ESTUDANTE GEOMETRIA: INTUIÇÃO E RIGOR Geometria... nove letras que assustam! Pelo menos essa é a impressão que nos têm deixado anos seguidos de magistério e contacto com estudantes como você, recéin-ingressos no curso superior. Pois um dos nossos objetivos é alterar esse estado de coisas. Pode ser que as circunstâncias que cercaram a sua passagem pelo curso secundário — e a de milhares de colegas seus — não tenham sido favoráveis ao aprendizado da Geometria, pode ser até que você tenha tido muito pouco contacto com ela; isso não o impede de usar com sucesso duas armas importantes nesta batalha pelo aprendizado da Geometria Analítica: sua inteligência e sua intuição. Em outras palavras: ignorância* cura-se! A primeira arma, poderosíssima, tem sua eficácia progressivamente aumentada à medida que você se dedica ao estudo, à resolução de exercícios, ao aprimoramento de seus conhecimentos. Uma inteligência modesta aliada a muito trabalho, fregiientemente, pode mais que uma inteligên- cia brilhante e vadia. Quanto à segunda arma, é uma faca de dois gumes. Não se concebe o estudo da Matemática — e particularmente o da Geometria — sem o auxílio da intuição. Isso levaria antes à memorização que ao entendimento. Nem seropre, porém, a confiabilidade da intuição é satisfatória (principal- mente entre iniciantes), e isso pode ter consegiiências desastrosas. Faça você mesmo um teste: imagine uma moeda de 10 centavos, com um barbante amarrado à sua volta, bem ajustado. Imagine também um barbante amarrado e bem ajustado em volta da Terra, à altura do Equador (haja imaginação!) Se aumentarmos em 1 metro o comprimento de cada um dos dois barbantes, eles deixarão de estar bem ajustados; haverá então uma folga entre a moeda e seu barbante, assim como entre a Terra e seu barbante. Pergunta-se: qual é a folga maior? Se você já está desconfiado e não quer dar a resposta óbvia com medo de errar, responda a esta outra pergunta: a folga entre a Terra e seu barbante é suficiente para deixar passar um gato? E a folga entre a moeda e seu barbante? Respostas no final. Mas, voltando ao que dizíamos a respeito da intuição: é preciso também saber a hora, e até que ponto ela deve ser usada. Pela sua própria natureza subjetiva, as idéias intuitivas exigem uma confirmação formal, precisa, rigorosa, não fosse a Matemática a ciência exata por excelência. E é nesse momento que devemos adotar uma atitude cética, como verdadeirós advogados do diabo, em relação à nossa intuição. Mesmo que estejamos prontos a apostar que um determinado fato é verdadeiro, só devemos aceitá-lo como tal após uma demonstração rigorosa. * Ignorância = falta de conhecimento! x — Geometria Analítica — um tratamento vetorial A intuição seria, pois, como o garimpeiro que com sua bateia descobre pedras em bruto — as idéias — cuja ganga pode ou não ocultar valiosos diamantes; o raciocínio lógico faria por seu turno o papel do perito, do ourives, que seleciona as gemas preciosas e rejeita aqueias que não têm valor. METODOLOGIA j Como toda ciência, a Geometria tem seus métodos — vários — de estudo. Em outras palavras, pode-se estudar a Geometria adotando diferentes pontos de vista, diversos enfoques. Conforme o método utilizado, encontra-se maior ou menor dificuldade em abordar este ou aquele tópice, e por esse motivo é de interesse conhecer vários desses métodos. Ainda de acordo com o método utiliza- do, atribuem-se diferentes nomes às disciplinas de Geometria. Apenas para ilustrar essc aspecto, citemos três exemplos: 1, Geometria axiomática (ou Geometria de Posição): é o estudo da Geometria sistematizado por Euclides (cerca de 300 a.€.), em seus “Elementos”, mediante o encadeamento lógico de axiomas, definições e teoremas. 2. Geometria Descritiva: É o estudo da Geometria pelo método mongeano (Gaspard Monge, 1746-1818), que consiste em considerar não os entes geométricos propriamente ditos, mas suas projeções sobre dois planos previamente fixados, e por meio do estudo dessas proje- ções (utilizando a épura) tirar conclusões sobre aqueles entes geométricos. 3. Geometria Analítica: é o estudo da Geometria pelo método cartesiano (René Descartes, 1596-1650), que em última análise consiste em associar equações aos entes geométricos, e do estudo dessas equações (com o arxílio da Álgebra, portanto) tirar conclusões a respeito daqueles entes geométricos. Vê-se do exposto acima que, se a ferramenta básica para o estudo da Geometria Axiomática é a Lógica, a Geometria Descritiva, por sua vez, utiliza fundamentalmente o Desenho, enquanto a Geometria Analítica encontra na Álgebra seu aliado mais importante. Não apenas a Álgebra Ele- mentar, como também -— e talvez esta seja a grande novidade para você — a Álgebra Vetorial, Os vetores desempenham portanto um papel especial neste curso, como logo ficará evidente. Observe também — prosseguindo nesta rápida comparação entre os métodos — que, se do ponto de vista da Geometria Descritiva, conhecer ou determinar um plano, por exemplo, é conhecer ou determinar sua épura, do ponto de vista da Geometria Analítica trata-se de conhecer ou determinar sua equação. Agora, uma observação final: não temos « pretensão de que esta ex posição tenha ficado abso- lutamente clara para você; é necessário — e insistimos nisso — que de tempos em tempos você volte a lê-la, tentando, a cada estágio do seu aprendizado, entendê-la melhor. Os autores Resposta. As folgas são as mesmas (cerca de 16 em). Um gato passa, portanto, entre u Terra é scu barbante e entre a moeda e seu barbante com a mesma facilidade! Justificativa: seja C uma circunferência de raio r; seu comprimento é 2r. Seja Cy uma circunferência de comprimento 2x7 + | e raio 1. Então 2xr + 1 = 2zr,, donde r, —r= H27. Isso mostra que a folga, ou seja, a diferença r, - 7, não depende de r, e sen valor é 1/27, aproximadamente 0,16 unidados de comprimento. xii — Geometria Analitica - um tratamento vetorial à É comum, e perfeitamente compreensível do punto de vista psicológico, que o estudante se sinta gratificado quando consegue resolver, com facilidade, um grande número de exercícios. Fica a impressão de que aprendeu bastante, o que pode ser enganoso. Muitas vezes, isso apenas com- prova que já se conhecia o assunto (nada de novo foi aprendido). Uma atitude madura com relação aos exercícios propostos é reconhecer neles um instrumento facilitador da aprendizagem (nunca um fim em si mesmo), rejeitando a visão maniqueísta de que “acertar é bom, errar é ruim”. Com fregiiência aprende-se mais com os erros que com os acertos, e foi essa a perspectiva que norteou a elaboração dos exercícios. Contamos com a cumplicidade do professor para indicar a seus alu- nos quais são os mais apropriados para a obtenção de melhores resultados. Existem exercícios para todos os gostos: desde os bem fáceis (úteis para fixar conceitos e exemplificar o uso de fórmulas ou propriedades), passando pelos teóricos (que servem para complementas o texto, alivi- ando-o de detalhes, ou para dar informações que serão utilizadas posteriormente), até chegar aos mais difíceis, que desafiam e abrem horizontes. Estes são assinalados com wma seta de cor cinza (os medianamente difíceis) ou preta (os bem difíceis). É claro que essa classificação, por refletir a no: opinião, é subjetiva. Ao resolver um exercício, o estudante deve basear-se na teoria desenvolvida até alí. Naqueles do tipo Verdadeiro ou Falso, porém, quando não for pedida a justificativa da escolha, poderá base- ar-se exclusivamente na sua intuição. Fornecemos, no final do livro, respostas para a maioria dos exercícios: ora uma resolução completa, ora um simples resultado, ora uma indicação de procedi- mento eficaz, ora uma rápida sugestão. 4. BREVE DESCRIÇÃO DOS CAPÍTULOS Os doze primeiros capítulos ocupam-se da Álgebra Vetorial. O conceito de vetor é definido no Capítulo 1, e os Capítulos 2, 3 e 4 tratam da soma de vetores, da multiplicação de número real por q vetor e da soma de ponto com vetor. Objetivando mostrar o poder dessa ferramenta e apresentar técnicas e procedimentos, o Capítulo 5 traz, sob a forma de exercícios, várias aplicações dos vetores à Geometria, em especial à Geometria Plana. A teoria prossegue com dependência linear i (Capítulo 6), base e mudança de base (Capítulos 7 e 8), e produto escalar de vetores (Capítulo 9. No Capítulo 10 é apresentado algebricamente o conceito de orientação de Vê, cuja caracterização geométrica é deixada para o Apêndice O; isso torna mais curto o caminho para se chegar aos produtos vetorial e misto (Capítulos 11 e 12). O Capítulo 13 inicia o estudo da Geometria Analítica em dimensão três, introduzindo o con- ceito de sistema de coordenadas. As diversas formas de equações de reia e plano são apresentadas no Capítulo 14. Em seguida, são abordados os temas interseção (Capítulo 15), posição relativa (Capítulo 16), perpendicularidade e ortogonalidade de retas e planos (Capítulo 17). O Capítulo 18, constituído exclusivamente de exercícios, visa a fazer um balanço do aprendizado até este ponto, antes de prosseguir com medida angular e distância entre retas e planos (Capítulos 19 e 20), temas t que encerram o que se pode considerar a segunda parte do livro. O Capímilo 21 trata da mudança de sistema de coordenadas, útil nos Capítulos 23 a 26. O Capímio 22 merece um comentário especial. As curvas planas elipse, hipérbole e parábola ; constituem magpífico monumento da Geometria e atestam categoricamente a excelência da mate- mática praticada pelos gregos na Antigliidade. Scu estudo pormenorizado forneceria material para um livro, não para um capítulo. Tantas são as maravilhas que elas encerram, que não resistimos ao seu canto de sereia: prazerosamente, fomos acumulando material, e de repente nos vimos às voltas com a difícil tarefa de selecionar o que deveria ser excluído. Como cada escolha representava uma perda, quase tudo foi mantido, o que explica o tamanho do capítulo. O bê-á-bá foi reunido na Prefácio — xiii Seção A, onde se definem as três curvas, se deduzem suas equações reduzidas e se apresentam seus principais elementos geométricos. A Seção B trata da excentricidade e sua relação com à forma das curvas. Essas duas seções encerram o material normalmente ensinado em um curso deste nível. Que o restante do Capítulo 22 seja visto, pois, como bônus: separação do plano por elipses, hipérboles e parábolas, retas tangentes, secantes e normais, propriedades de reflexão, métodos de construção, definições alternativas, é a origem dos nomes elipse, hipérbole e parábo- ta. Parte desse material pode ser útil na proposição de trabalhos extras, ou na preparação «de peque- nos projetos de iniciação científica. No Capítulo 23 apresenta-se o conceito geral de cônica e utilizam-se translações e rotações para obter a equação reduzida e reconhecer uma cônica qualquer. Os três últimos capítulos reto- mam o ambiente tridimensional, com o estudo das superfícies esféricas (Capítulo 24), das quádricas (Capítulo 25), e das superfícies cilíndricas, cônicas e de rotação (Capítulo 26). 5. Os APÊNDICES Os apêndices, identificados por letras sugestivas do seu conteúdo em vez de números, estão dispostos em ordem alfabética no final do livro. Por seu caráter didático, recomendamos vivamen- te aos estudantes que leiam com atenção os Apêndices RE, SF e VT no exato momento em que forem solicitados a fazê-lo. Os Apêndices €, EV e O, por sua vez, complementam os capítulos de que se originaram, e estão em um patamar superior de sofisticação teórica, cabendo ao professor sugerir aos seus alunos o momento mais adequado para à leitura. O material neles contido pode servir também como tema de trabalhos complementares e projetos de iniciação científica. No Apêndice €, apresentamos o teorema de classificação geral das cônicas, utilizando lingua- gem c notação matriciais (além de proporcionar concisão, isso faz com que o estudante comece a familiarizar-se com a linguagem que encontrará brevemente na Álgebra Lincar). O Apêndice EV sistematiza e exemplifica a resolução de alguns tipos de equações e sistemas de equações veto- riais. No Apêndice O aborda-se a complexa questão da orientação de Vº sob um ponto de vista geométrico elementar. A propriedade de que duas bases são concordantes se, e somente se, uma delas é variação da outra é demonstrada com o auxílio da técnica elementar de diagonalização de matrizes por escalonamento. No Apêndice RE, analisamos uma situação do quotidiano e sua ana- logia com o conceito de celação de equivalência, com o objetivo de facilitar a sua compreensão por parte do estudante. O Apêndice SF apresenta resoluções alternativas para dois exercícios resolvi- dos no Capítulo 16, e o Apêndice VT traz planificações para que o estudante construa um modelo de um prisma triangular que se decompõe em três tetracdros de volumes iguais, ilustrando assim o método utilizado no Capítulo 12 para calcular volumes de tetraedros, 6. PRÉ-REQUISITOS São pressupostos os resultados da Geometria Euchidiana, salvo quando se pretenda demons- trar algum deles com o auxílio dos novos conceitos e técnicas aqui apresentados. Também, se espera do leitor familiaridade com alguns conceitos da Álgebra Elementar, em particular com determinantes, matrizes e sistemas lineares. s Os autores. São Paulo, agosto de 2004. Neste capítulo introduz-se o conceito de vetor. Após uma abordagem intuitiva, apresentam-se a defini- ção formal de vetor como classe de equipolência de segmentos orientados e as definições, nomen- clatura e propriedades básicas pertinentes. Existem grandezas, chamadas escalares, que são caracterizadas por um número (e a unidade correspondente): 50 dm? de área, 4 m de comprimento, 7 kg de massa. Qutras, no entanto, Teque- rem mais do que isso. Por exemplo, para caracterizarmos uma força ou uma: velocidade, precisa- mos dar a direção, a intensidade (ou módulo) e o sentido. Tais grandezas são chamadas vetoriais. Na Figura 1-1 (a), a flecha descreve com clareza uma força ascendente de 4 N, na direção que forma 60 graus com a horizontal. [E 8, Uma força de 4N Flechas de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido (a) tb) Figura 1-1 Vamos adotar o seguinte ponto de vista: duas flechas de mesmo comprimento, mesma direção (isto é, paralelas) e mesmo sentido (Figura 1-1 (b)) caracterizam a mesma grandeza vetorial, Um caso que ilustra bem esse ponto de vista é o de um corpo sólido em movimento de translação. Em cada instante, as velocidades (vetoriais) dos pontos do corpo são todas iguais. Então, das flechas que caracterizam essas velocidades, qual seria a escolhida para ser a velocidade do corpo num dado instante? Como nenhuma tem preferência, que tal escolher todas, ou melhor, o conjunto de todas elas? Aqui está o germe da noção de vetor. Tal conjunto seria o vetor velocidade do sólido no instante considerado. 2 — Geometria Analítica — um tratamento vetorial Intuitivamente, flecha é um segmento para o qual se fixou uma orientação, isto é, escolheu-se um sentido, e, por isso, nada melhor do que o conceito de segmento orientado para formalizar essa idéia. Na Figura 1-1 (b), a flecha da esquerda tem sentido de A para B. Repare que, para conhecer a flecha, basta conhecer os pontos 4 e B, e a ordem: primeiro À, depois B. O que pretendemos neste capítulo é, partindo do conceito de segmento orientado, apresentar formalmente os vetores, nossa principal ferramenta no estudo da Geometria. As cinco proposições aqui cuunciadas têm um forte caráter intuitivo, c É importante que você perceba isso (faça dese- nhos!). A maioria das demonstrações, no entanto, são cheias de detalhes e apresentam graus eleva- dos de dificuldade e abstração. A fim de preservar a objetividade e a clareza da exposição (e para não “assustar” o leitor já no primeiro capítulo), optamos por omitir tais demonstrações. Um segmento or) jentado é vim par ordenado (A,B) de pontos-do espaço. A é a prigem e.B é a-extremidade do segmento orientado (A,B). Um segmento orientado | do fpo | . (4,476 é chamado segmento orientado nulo. ] d | j Observe que, se A = 2, então (4,5) é diferente de (8,4). (a) Os segmentos oxientados (A,B) e (C,D) são de mesmo: corbprimento, se 08 fégo. *. . méntos geométricos AB e CD têm. comprimentos iguais, (b) Se.os segmentos: orientádos (A,B) e (CD) não são nulos, cles:são de mesma : “*: “Bireção, ou paralelos, se'os. ségmentos geoinétricos, AB e CD são paralelos. tistó, inclui à caso em que.AB é CD são 'colineares). Pia tc). Suponhamos que-(A;B) & (CD sejam paralelos. e” Nó-caso em que as retas AB e CD'são distintas, os segmentos orieniados (A;B): “e (CD) são-de mesmo sentido te os ségnientos g geométricos, AC e BD téri + “interseção vazia. Sehão, (4,8) e (C, D) são de sentido contrário (Figura 1 2) É e No caso em que as retas AB e CD'coincidem, tomemos (E, E) tal que: pertença àreta AB, e. (EF ) e (4,B) sejani de. mesmo sentido, de: acordo 'é com Os critério anterior (veja a Figira 1-3). Então, Os segmentos orientados. (A,B) e (C,D) são de, TRêsmo, sentido se (E;F) e (C,D)-são de, imesmo sentido: se hão; (4.B) e (CD) são-de sentido contrário. c Segmentos orientados Segmentos orientados de mesmo sentido de sentido contrário Figura 1-2 4— Geometria Analítica — um tratamento vetorial Figora 14 1-3 (a) Faça um desenho ilustrando a propósição anterior no casa em que A, B, Ce D'são colineares. (b) Prove que (A,8) - (C,0) = (BA) - (D.C). (0) Prove que (AB) - (C,D) = (CA) - (0,8). Dado o segmento orientado (A,B), a glasse de equipolência de (A,Byé o onjunto & todos os ségmentos orientados equipolentes-a (4,B)..O segmento orientado (AB); . chamado representante da classe. , ' ne Devido ao Exercício 1-2, todos os segmentos orientados pertencentes a uma classe de equipó- lência são eguipolentes entre si. O próprio (A,B) é um deles, pela propriedade reflexiva. Note que, se (C,D) pertence à classe de equipolência de (A.8), então (4,3) pertence à classe de equipolência de (C,D), devido à propriedade simétrica, Na verdade, essas duas classes coinci- dem, pois quem for equipolente a (C,0) será equipolente a (4,5), e vice-versa (propriedade transi- tiva). Em outras palavras, qualquer segmento orientado pertencente a uma classe de equipolência pode ser considerado seu representante, e cada segmento orientado é representante de uma única classe de equipolência. “Ser representante de” ou “pertencer a” uma classe de equipolência signi- ficam, portanto, a mesma coisa. «Um vetor é úma eu Eequipolência-de segmentos ori mento. oriehtado, "6 Vetor. que: tem (455) como representam será-i Quando não sequer destacar nenbuim tepresentante “emicâpecial; úsamase te “nas minúsculas com uma seta (EM; a/B, x et). O conjunto: de 5 indicado. por 2.º... . ao : Deve estar claro que, se os segmentos orientados (4,8) e (C,D) são equipolentes, então os vetores AB e CD são iguais. Cuidado para não usar a expressão “vetores equipolentes”, pois'a equipolência é uma relação entre segmentos orientados, não entre vetores. Observe na Figura 1-5 o símbolo u próximo à tlecha, significando que o segmento orientado (A,B) é um representante do vetor a isto é,u= AB, Esta será a prática adotada para indicar vetores em uma figura; dote que um vetor, pela sua própria natureza, não pode ser desenhado: o que se desenha é uma flecha, correspondente a um de seus representantes. Capitulo 1 — Vetor — 5 Bfistoicio Vo 4 Prove que: (a) AB = CD «» AC = BD (b) BE=AÉ = EC=AB Num primeiro momento, você pode achar complicado q conceito de vetor tal como o defini- mos. Afinal, uma classe de equipolência de segmentos orientados não é algo que faça parte do seu dia-a-dia, Mas não se preocupe: do ponto de vista prático, as coisas são bem simples. Para descre- ver um vetor em que você esteja pensando, basta descrever um de seus representantes, que é um segmento orientado (você pode fazer isso desenhando uma flecha, por exemplo). Outro aspecto importante é a ampla liberdade que você tem na escolha do representante do vetor. Você só precisa respeitu o comprimento, a direção e o sentido — a posição é são um é coerente com o que dizíamos no início do capítulo a respeito do movimento dc translação de um corpo sólido: nenhuma das flechas tinha preferência sobre as demais. Uma leitura atenta do Apên- dice RÉ vai ajudá-lo a entender melhor. Recomendamos que você faça isso agora. Para resumir, pondo de lado por um momento o rigor matemático, eis uma frase que pode alimentar sua intuição: vetor “é” uma flecha que pode ser colocada em qualquer posição do espa- ço, desde que se preservem seu comprimento, sua direção e seu sentido, Essa é a idéia que está por trás da parte (a) da proposição seguínie. Propósição. (a) “É dado um vetor 7 qualquer. Escolhido arbitrariamente um ponto P, existe um | segmento or orientado representante de x com origem 2; isto é, existe um ponto-B-tak; ” que 4 = PB. . (b) Tal tepresentante (e; portanto, o ponto! B) é único, isto é, PA=PBSA=B. As próximas definições estabelecem a nomenclatura básica relativa aos vetores. ' Vetor nulo és o vetor que tem como. fepresentante um segmento orientado nulo. E indicido por O Os representantes do vetor nulo são todos os segmentos orientados nulos, ou seja, do tipo (AA), com origem e extremidade coincidentes (pois, como já dissemos, equipolente a um seg- mento orientado nulo, só outro segmento orientado nulo). Definição . Se (4,8) é representante de um vetor u, vetor oposto de u, indicado por. «E 60 vetor: que.tem (B,4), ou qualquer segmento orientado 'equipolente a (B, 4), como represem- ? tante gua” 1-5). Portanto,” ir Do ABBA O e o Também aqui, para sermos rigorosos, deveríamos mostrar que a definição não depen- «e da escolha do representante (4,8). Reflita um pouco sobre isso. 
