Calculo 3 - Professora liliana - Universidade Estadual do Norte Fluminense - Eng metalúrgica, Notas de aula de Cálculo Avançado

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UENF

Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro

CCT-LCMAT

Laboratório de Ciências Matemáticas

Cálculo Diferencial e Integral III

Liliana A. L. Mescua

Rigoberto G. S. Castro

Março de 2019

• 1 Funções Vetoriais
  • 1.1 Função Vetorial de Variável Real
    • 1.1.1 Continuidade e Derivabilidade de uma Curva Parametrizada
    • 1.1.2 Propriedades da derivada de curvas parametrizadas
  • 1.2 Funções Vetoriais de Varias Variáveis
    • 1.2.1 Campos Vetoriais
  • 1.3 Exercícios
• 2 Parametrização
  • 2.1 Parametrização de Curvas
  • 2.2 Coordenadas Polares
    • 2.2.1 Gráfico de uma Equação Polar
  • 2.3 Exercícios
• 3 Integrais de Linha
  • 3.1 Comprimento de Arco
  • 3.2 Integral de Linha de uma Função Escalar
  • 3.3 Integral de Linha de um Campo Vetorial
  • 3.4 Campos Conservativos. Independência da Trajetória
    • 3.4.1 Construção de uma Função Potencial
  • 3.5 Exercícios
• 4 Integrais Múltiplas
  • 4.1 Integrais Duplas
    • 4.1.1 Integrais Duplas sobre um Retângulo
    • 4.1.2 Integral Dupla pelo Método de Riemann
    • 4.1.3 Integrais Iteradas
    • 4.1.4 Integração sobre Regiões mais Gerais
    • 4.1.5 Área e Volumen
  • 4.2 Integrais Triplas
    • 4.2.1 Integrais Triplas sobre um Paralelepípedo Retangular
    • 4.2.2 Integração Triplas sobre Regiões mais Gerais
  • 4.3 Exercícios
• 5 Transformação ou Mudança de Coordenadas
  • 5.1 Mudança de Variáveis na Integral Dupla
    • 5.1.1 Mudança em Coordenadas Polares
  • 5.2 Mudança de Variáveis na Integral Tripla
  • 5.3 Mudança de Coordenadas Cilíndricas
  • 5.4 Mudança de Coordenadas Esféricas
  • 5.5 Teorema de Green
  • 5.6 Exercícios
• 6 Integrais de Superfície
  • 6.1 Parametrização de Superfícies
    • 6.1.1 Superfícies de Revolução
  • 6.2 Área de Superfícies
  • 6.3 Integral de Superfície de uma Função Escalar
  • 6.4 Integral de Superfície de uma Função Vetorial
  • 6.5 Exercícios
• 7 Teoremas de Stokes e Gauss
  • 7.1 Teorema de Stokes
  • 7.2 Teorema de Gauss (Teorema da Divergência)
  • 7.3 Exercícios

Capítulo 1

Funções Vetoriais

Para 𝑛 ∈ N, 𝑛 > 1 definamos o conjunto

R𝑛^ = {𝑥 = (𝑥 1 , 𝑥 2 ,... , 𝑥𝑛) / 𝑥𝑖 ∈ R, ∀𝑖}

Em Cálculo II vimos que uma função escalar é aquela que a cada elemento 𝑥 de seu domínio 𝐷 (𝐷 ⊂ R𝑛) associa um único número real 𝑧 = 𝑓 (𝑥). Simbolicamente, escrevemos

𝑓 : 𝐷 ⊂ R𝑛^ → R

O objetivo nesta capítulo será estender o nosso estudo para funções cujo contradomínio (imagem) é R𝑚.

1.1 Função Vetorial de Variável Real

Um primeiro exemplo muito importante de uma função vetorial é dado pela definição de curva parametrizada que nada mais é do que uma função vetorial de variável real, deno- tada por:

𝛼 : 𝐼 ⊂ R −→ R𝑚^ (1.1) 𝑡 −→ 𝛼(𝑡) = (𝑥 1 (𝑡), 𝑥 2 (𝑡), 𝑥 3 (𝑡),... , 𝑥𝑚(𝑡))

cujo domínio é um intervalo 𝐼 em R e o contradomínio é R𝑚. Curvas parametrizadas são utilizadas para se modelar 𝑚 quantidades (posição de um objeto, trabalho, capital de em- presa, etc) que variam no tempo. A variável 𝑡 é chamada de parâmetro e 𝑥 1 = 𝑥 1 (𝑡), 𝑥 2 = 𝑥 2 (𝑡), 𝑥 3 = 𝑥 3 (𝑡),... , 𝑥𝑚 = 𝑥𝑚(𝑡), são chamadas de equações paramétricas da curva 𝛼.

A representação mais importante de uma curva parametrizada é o seu traço.

Definição 1.1. (Traço de uma curva parametrizada). Seja 𝛼 : 𝐼 ⊂ R → R𝑚^ uma curva parametrizada. O traço de 𝛼 é o conjunto 𝒞 = {𝛼(𝑡), 𝑡 ∈ 𝐼} ⊂ R𝑚^ (também chamado de curva 𝒞). Para cada instante de tempo 𝑡, 𝛼(𝑡) é um ponto de R𝑚. O traço de uma curva parametrizada 𝛼 nada mais é do que união de todos estes pontos de 𝒞.

Se por exemplo, 𝛼(𝑡) representa a posição de um objeto no instante de tempo 𝑡, o traço da curva representa, neste caso, a trajetória do objeto.

Exemplo 1.1. Suponha que a posição de um objeto (um ponto material) movendo-se no plano R^2 seja descrita pela curva parametrizada

𝛼 : R → R^2 (1.2) 𝑡 → 𝛼(𝑡) = (1 + 𝑡, 3 − 2 𝑡)

𝑎) Qual é a posição inicial do objeto?. 𝑏) Qual é a posição do objeto no instante de tempo 𝑡 = 1? 𝑐) O objeto passa pela origem (0, 0)?. 𝑑) Faça o esboço da trajetória do objeto.

Sol.: 𝑎) A posição inicial do objeto é a posição do objeto no instante de tempo 𝑡 = 0. Assim, para sabermos a posição inicial do objeto basta calcularmos

𝛼(0) = (1 + 0, 1 − 2 .0) = (1, 3)

𝑏) Para sabermos a posição do objeto no instante de tempo 𝑡 = 1 basta calcularmos

𝛼(1) = (1 + 1, 1 − 2 .1) = (2, 1)

𝑐) Queremos saber se existe um instante de tempo 𝑡 tal que 𝛼(𝑡) = (1 + 𝑡, 1 − 2 .𝑡) = (0, 0). Como o sistema (^) ⎧ ⎨ ⎩

não possui solução, segue-se que o objeto nunca passa pela origem (0, 0).

𝑑) Para fazer um esboço do gráfico da curva parametrizada 𝛼 vamos tentar determinar uma equação nas variáveis cartesianas 𝑥 e 𝑦 satisfeita pelos pontos 𝛼(𝑡).

Assim, (^) ⎧ ⎨ ⎩

(0, 1). Mas ao invés de tentar obter um esboço do traço de 𝛽 através de alguns poucos pontos, vamos utilizar a mesma técnica desenvolvida no exercício resolvido anterior, isto é, vamos tentar obter uma equação nas variáveis 𝑥 e 𝑦 que é satisfeita pelos pontos 𝛽(𝑡), com 𝑡 ∈ R. Escrevendo: 𝑥 = cos 𝑡 𝑦 = sen 𝑡

⇒ 𝑥^2 + 𝑦^2 = cos^2 𝑡 + sen^2 𝑡 = 1

Portanto, o traço da curva 𝛽 é a circunferência de centro na origem (0, 0) e raio 1.

Figura 1.2: 𝒞 é o traço da curva 𝛽(𝑡) = (cos 𝑡, sen 𝑡).

Exemplo 1.3. Faça um esboço do traço da curva parametrizada

𝛽 : [0, ∞) → R^2 (1.4) 𝑡 → 𝛽(𝑡) = (𝑡 cos 𝑡, 𝑡 sen 𝑡)

Sol.: Para cada 𝑡 ∈ [0, ∞),

𝛽(𝑡) = (𝑡 cos 𝑡, 𝑡 sen 𝑡) = 𝑡(cos 𝑡, sen 𝑡)

Note-se que ao multiplicarmos o ponto (cos 𝑡, sen 𝑡) pertencente a circunferência de centro (0, 0) e raio 1, por 𝑡, o raio deixa de ser 1 e fica sendo 𝑡. Isto é, a medida que variamos o ângulo 𝑡, mudamos o valor do raio para 𝑡. Assim o traço da curva 𝛽 tem a forma

Para encontrar a equação cartesiana da curva 𝛽(𝑡) fazemos 𝑥 = 𝑡 cos 𝑡 e 𝑦 = 𝑡 sen 𝑡, as quais estão relacionadas pela equação:

𝑥^2 + 𝑦^2 = 𝑡^2 ou equivalentemente 𝑡 =

𝑥^2 + 𝑦^2 > 0.

Figura 1.3: 𝒞 é o traço da espiral 𝛽(𝑡) = (𝑡 cos 𝑡, 𝑡 sen 𝑡).

Portanto, a equação cartesiana é

𝑦 =

𝑥^2 + 𝑦^2 sen

𝑥^2 + 𝑦^2

da qual é muito difícil obter informações geométricas a partir desta formulação implícita.

Exemplo 1.4. A hélice é o traço da curva parametrizada

𝛼 : R → R^3 (1.5) 𝑡 → 𝛼(𝑡) = (cos 𝑡, sen 𝑡, 𝑡)

Sol.: De fato, considerando que: (^) ⎧ ⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪ ⎩

𝑥 = cos 𝑡 𝑦 = sen 𝑡 𝑧 = 𝑡

segue-se que 𝑥^2 + 𝑦^2 = cos^2 𝑡 + sen^2 𝑡 = 1, isto é, as duas primeiras coordenadas de 𝛼(𝑡) satisfazem a equação da circunferência de centro na origem e raio 1. Concluímos que o traço da curva 𝛼 está contido no cilindro circular reto 𝑥^2 + 𝑦^2 = 1 em R^3 e que a altura 𝑧 = 𝑡 cresce com o tempo 𝑡.

Quando 𝑡 = 0 temos que 𝛼(0) = (1, 0) e 𝛼′(0) = (0, 1).

Mais ainda, 𝛼(𝑡) · 𝛼′(𝑡) = (cos 𝑡, sen 𝑡) · (− sen 𝑡, cos 𝑡) = 0.

Figura 1.5: Vetor derivada 𝛼′(𝑡) = (− sen 𝑡, cos 𝑡).

1.1.2 Propriedades da derivada de curvas parametrizadas

Sejam as seguintes funções: 𝛼 : R → R𝑚, 𝛽 : R → R𝑚, ℎ : R → R. Então:

1. (𝛼(𝑡) ± 𝛽(𝑡))′^ = 𝛼′(𝑡) ± 𝛽′(𝑡)
2. (ℎ(𝑡)𝛼(𝑡))′^ = ℎ′(𝑡)𝛼(𝑡) + ℎ(𝑡)𝛼′(𝑡)
3. (𝛼(𝑡) · 𝛽(𝑡))′^ = 𝛼′(𝑡) · 𝛽(𝑡) + 𝛼(𝑡) · 𝛽′(𝑡)

5. (‖𝛼(𝑡)‖)′^ = 𝛼(𝑡)^ ·^ 𝛼

‖𝛼(𝑡)‖ , se^ 𝛼(𝑡)^ ̸= 0. Lembre que^ ‖𝑣‖^ =^

6. (︀ 𝛼(︀ ℎ(𝑡))︀)︀ ′^ = 𝑑𝑡𝑑 (︀𝛼(︀ ℎ(𝑡))︀)︀ = 𝛼′(︀^ ℎ(𝑡))︀ · ℎ′(𝑡) = 𝑑𝑡𝑑𝛼(︀ ℎ(𝑡))︀ · 𝑑𝑡𝑑ℎ(𝑡).

1.2 Funções Vetoriais de Varias Variáveis

Definição 1.2. Seja 𝐹 : R𝑛^ → R𝑚^ uma aplicação cujo domínio é R𝑛^ e cuja imagem é um conjunto de vetores de R𝑚. Podemos representar 𝐹 pelas funções coordenadas. Em outras palavras, existem funções 𝑓 1 , 𝑓 2 ,... , 𝑓𝑚 tais que

𝐹 (𝑋) = (𝑓 1 (𝑋), 𝑓 2 (𝑋),... , 𝑓𝑚(𝑋)),

onde 𝑋 = (𝑥 1 , 𝑥 2 ,... , 𝑥𝑛) ∈ R𝑛^ e cada função 𝑓𝑖 : R𝑛^ → R.

Definição 1.3. Dizemos que 𝐹 é contínua em 𝑋 0 ∈ R𝑛^ se cada função coordenada 𝑓𝑖 é contínua em 𝑋 0. Em outras palavras:

𝑋^ lim→𝑋 0 𝐹^ (𝑋) =^ 𝐹^ (𝑋^0 )^ ⇔^ 𝑋lim→𝑋 0 𝑓𝑖(𝑋) =^ 𝑓𝑖(𝑋^0 ),^ para^ 𝑖^ = 1,^2 ,... , 𝑚.^ (1.7)

Exemplo 1.6. Seja 𝐹 : R^2 → R^3 definida por 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥𝑦, 𝑥 + 𝑦, 𝑥^2 ). 𝐹 é contínua em (0, 0) ∈ R^2?

Sol. De fato, 𝐹 é contínua em (0, 0) porque cada função coordenada 𝑓 1 (𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦, 𝑓 2 (𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦, 𝑓 3 (𝑥, 𝑦) = 𝑥^2 é contínua em (0, 0). Assim, observa-se que 𝐹 é contínua em todo R^2.

Definição 1.4. Seja 𝐹 : R𝑛^ → R𝑚^ tal que 𝐹 (𝑋) = (𝑓 1 (𝑋), 𝑓 2 (𝑋),... , 𝑓𝑚(𝑋)). Supo- nhamos que as derivadas parciais de cada função coordenada 𝑓𝑖 (𝑖 = 1, 2 ,... , 𝑚) existem. Definimos e denotamos a matriz das derivadas parciais por

𝐷𝐹 (𝑋) = 𝐽𝐹 (𝑋) = 𝜕 𝜕((𝑓𝑥^11 , 𝑓, 𝑥^22 ,... , 𝑓,... , 𝑥𝑚𝑛)) =

𝜕𝑥 1 (𝑋)^

𝜕𝑥 2 (𝑋)^...^

𝜕𝑓^ 𝜕𝑥𝑚^ (𝑋)

2 𝜕𝑥 1 (𝑋)^

𝜕𝑥 2 (𝑋)^...^

.^ 𝜕𝑥𝑚^ (𝑋)

𝜕𝑥 1 (𝑋)^

𝜕𝑥 2 (𝑋)^...^

𝜕𝑥𝑚^ (𝑋)

𝑚𝑥𝑛 que é chamada a Matriz Jacobiana de 𝐹.

Para o exemplo anterior onde 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥𝑦, 𝑥 + 𝑦, 𝑥^2 ) possui suas funções coordenadas diferenciáveis temos que a matriz Jacobiana é dada por:

𝐽𝐹 (𝑋) = 𝜕(𝑓 𝜕^1 (, 𝑓𝑥, 𝑦^2 , 𝑓) 3 )=

3 𝑥 2 Observação 1.1. Se 𝐹 : R𝑛^ → R𝑚, então:

Representação gráfica de campos vetoriais

A função vetorial dada por 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑓 1 (𝑥, 𝑦), 𝑓 2 (𝑥, 𝑦)) define um campo vetorial em R^2. Para representá-lo, introduzimos um sistema de coordenadas no plano 𝑥𝑦 e selecionamos alguns pontos (𝑥, 𝑦) do plano e desenhamos os vetores a eles associados preferencialmente com a origem do vetor no próprio ponto.

Exemplo 1.7. Seja 𝐹 : R^2 → R^2 tal que 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦). Para cada ponto (𝑥, 𝑦) no plano, 𝐹 (𝑥, 𝑦) é simplesmente seu vetor posição. Neste caso, 𝐹 (𝑥, 𝑦) aponta diretamente a partir da origem e tem comprimento

𝑑 = ‖𝐹 (𝑥, 𝑦)‖ =

𝑥^2 + 𝑦^2 = 𝑑(︀ (0, 0), (𝑥, 𝑦))︀.

Figura 1.6: Campo Vetorial 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦).

É conveniente lembrar que os vetores de um campo vetorial são infinitos e que não podemos representar todos. Assim, a seleção dos pontos deve ser tal que nos dê informações sobre o comportamento do campo em geral.

Exemplo 1.8. Seja 𝐹 : R^2 → R^2 tal que 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (−𝑦, 𝑥), neste caso tem-se um campo vetorial bidimensional 𝐹 (𝑥, 𝑦) que representam um campo de velocidade de uma roda em movimento, (𝑥, 𝑦) · 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦) · (−𝑦, 𝑥) = −𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 = 0.

Assim, 𝐹 (𝑥, 𝑦) é tangente ao círculo que passa pelo ponto (𝑥, 𝑦), tem comprimento 𝑟 = √︀ 𝑥 (^2) + 𝑦 (^2) e aponta na direção anti-horária.

Figura 1.7: Campo Vetorial 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (−𝑦, 𝑥).

1.3 Exercícios

1. Determine o domínio das funções vetoriais: 𝑎) 𝐹 (𝑡) = (𝑡^2 , √𝑡 − 1 , √ 5 − 𝑡) 𝑏) 𝐹 (𝑡) = (𝑡 𝑡^ −+ 2^2 , sin 𝑡, ln(9 − 𝑡^2 )

𝑑) 𝐹 (𝑡) = ( (^) cos^1 𝑡, |𝑡|, 𝑡 − 3)

2. Determine em que pontos as funções vetoriais 𝐹 são contínuas e deriváveis. Justifique 𝑎) 𝐹 (𝑡) = (5𝑡^2 , 3 𝑡 + 1, 2 − 𝑡^3 ) 𝑏) 𝐹 (𝑡) = ((1 − 𝑡)^2 , sin 𝑡, 3 − 𝑡^2 )

𝑑) 𝐹 (𝑡) = (𝑡 ln 𝑡, |𝑡 − 1 |, tan 𝑡)

3. Determine o Jacobiano de todos os exercícios do item 1 e as derivadas dos exercícios 𝑎) e 𝑏) do item 2.
4. Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana. 𝑎) 𝑥 = 2 − 3 𝑡, 𝑦 = − 4 𝑡, 𝑡 ∈ 𝑅 𝑏) 𝑥 = 2𝑡, 𝑦 = − 3 , 𝑧 = 1 + 3𝑡, 𝑡 ∈ 𝑅 𝑐) 𝑥 = −𝑡, 𝑦 = 𝑡, 𝑧 = 𝑡^2 , 𝑡 ∈ [− 1 , 1]

𝑑) 𝑥 = 3 sin 2𝑡, 𝑦 = 3 cos 2𝑡, 𝑡 ∈ [0, 𝜋] 𝑒) 𝑥 = 2 sin^2 𝑡, 𝑦 = 3 cos^2 𝑡, 𝑡 ∈ 𝑅 𝑓 ) 𝑥 = sec 𝑡, 𝑦 = 2 tan 𝑡, 𝑡 ∈ (︀ − 𝜋 2 , 𝜋 2 )︀

5. Faça um esboço das curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais: 𝑎) 𝐹 (𝑡) = (cosh 𝑡, sinh 𝑡), 𝑡 ∈ R 𝑏) 𝐹 (𝑡) = (1 + cos 𝑡, 3 − sin 𝑡), 𝑡 ∈ [0, ∞) 𝑐) 𝐹 (𝑡) = (𝑡, |𝑡|), 𝑡 ∈ 𝑅 𝑑) 𝐹 (𝑡) = (𝑎 cos 𝑡, 𝑏 sin 𝑡), 𝑡 ∈ [0, 2 𝜋)

𝑒) 𝐹 (𝑡) = (5 sen 𝑡, 𝑡^2 ), 𝑡 ∈ [−𝜋, 𝜋] 𝑓 ) 𝐹 (𝑡) = (1 + √𝑡, 𝑡^2 − 4 𝑡), 𝑡 ∈ [0, 5] 𝑔) 𝐹 (𝑡) = (𝑒−𝑡^ + 𝑡, 𝑒𝑡^ − 𝑡), 𝑡 ∈ [− 2 , 2] ℎ) 𝐹 (𝑡) = (2 cos 𝑡, 𝑡 − cos 𝑡), 𝑡 ∈ [0, 2 𝜋)

6. Ilustre o campo vetorial 𝐹 dado, esboçando vários vetores típicos do campo.

Capítulo 2

Parametrização

2.1 Parametrização de Curvas

O movimento de uma partícula descreve uma trajetória, que podemos representar por uma curva no plano ou no espaço. Para cada instante 𝑡, podemos considerar suas coordenadas em função do tempo t, isto é, 𝑥 = 𝑥(𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡) e 𝑧 = 𝑧(𝑡).

Em geral as curvas não sempre estão dadas na sua forma paramétrica, então é conveniente parametrizar-las.

Exemplo 2.1. Quando uma bola é arremessada, as única forças atuantes sobre a bola são a resistência do ar e a gravidade. Se desprezamos a resistência do ar, a única força que resta sobre a bola é a da gravidade, ou seja, seu peso atuando na direção vertical.

Assim, como não há forças atuando na horizontal, pela 2 𝑎^ Lei de Newton, temos que a aceleração nessa direção é nula, logo 𝜕^2 𝑥 𝜕𝑡^2 = 0^ =⇒^ 𝑥(𝑡) =^ 𝑥^0 +^ 𝑣𝑥𝑡 onde 𝑣𝑥 é a componente constante da velocidade na direção horizontal e 𝑥 0 é o deslocamento horizontal inicial da bola.

Na direção vertical, devido a ação da gravidade, existe a força peso. Aplicando a 2 𝑎^ Lei de Newton nessa direção e supondo a bola de massa 𝑚 = 1, obtemos que:

𝑚𝑎 = 𝜕

𝜕𝑡^2 =^ −𝑔^ =⇒^ 𝑦(𝑡) =^ 𝑦^0 +^ 𝑣𝑦𝑡^ −^

𝑔𝑡^2

onde 𝑣𝑦 é a componente da velocidade inicial na direção vertical e 𝑦 0 é o deslocamento vertical inicial da bola.

Concluímos das equações obtidas acima que, uma parametrização para a trajetória da bola é 𝛼(𝑡) =

2 2

= (𝑥^0 , 𝑦^0 ) +^ 𝑡(𝑣𝑥, 𝑣𝑦) +^ 𝑡

2

Exemplo 2.2. Seja 𝒞 uma curva de R^2 , descrita por uma função contínua, definida explici- tamente pela relação 𝑦 = 𝑓 (𝑥), 𝑥 ∈ 𝐼 ⊂ R

Então, uma parametrização natural de 𝒞 é

𝛼(𝑡) = (𝑡, 𝑓 (𝑡)) com 𝑡 ∈ 𝐼

Exemplo 2.3. Do exemplo anterior, segue que uma parametrização natural para:

A reta 𝑦 = 2𝑥 − 2 , é 𝛼(𝑡) = (𝑡, 2 𝑡 − 2) com 𝑡 ∈ R e para a curva 𝑦 = sen 𝑥, é 𝛽(𝑡) = (𝑡, 𝑡 sen 𝑡) com 𝑡 ∈ R

(a) 𝛼(𝑡) = (𝑡, 2 𝑡 − 2) (b) 𝛽(𝑡) = (𝑡, 𝑡 sen 𝑡)

Exemplo 2.4. Sejam 𝛼(𝑡) = (𝑡, 𝑡^2 ) e 𝛽(𝑡) = (𝑡^2 , 𝑡^4 ), 𝑡 ∈ R equações paramétricas das curvas 𝒞 1 e 𝒞 2 respectivamente. Elas possuem a mesma equação cartesiana, embora sejam curvas diferentes.

Sol.: De fato, para 𝒞 1 temos que sua equação paramétrica é ⎧ ⎨ ⎩

𝑦 = 𝑡^2 ,

⇒ 𝑥 = √𝑦 ⇒ 𝑦 = 𝑥^2. (2.1)

Para 𝒞 2 sua equação paramétrica é ⎧ ⎨ ⎩

𝑥 = 𝑡^2 ,

𝑦 = 𝑡^4 ,

⇒ 𝑡^2 = √𝑦 ⇒ 𝑦 = 𝑥^2 , 𝑥 ≥ 0. (2.2)