Baixe Cálculo A e Solucionário - cala- 8-4 e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity!
8.4 – EXERCÍCIOS – pg. 344
Nos exercícios de 1 a 14, encontrar o comprimento de arco da curva dada.
- y = 5 x − 2 , − 2 ≤ x ≤ 2
2
2
2
2
2
2
2
2
u c
dx dx x
s f x dx
b
a
− − −
∫ ∫
∫
3
2 y = x − , 1 ≤ x ≤ 2
3
1
y ′^ = x
x dx x dx
dx
x
x dx
x
s
3
1
2
1
2
1 3
2
2
1 3
2
3 2 2
1 3
2
− ∫
∫ ∫
−
∫
2
3 3
2 2
2 3
3 3
2
2
1
2
3 3
2
3
1
2
1
2
1 3
2
x
x
x x dx
- ( ) 2
3 2 2 3
y = + x , 0 ≤ x ≤ 3
y ( 2 x ). 2 x 2
( )
( )
( ) 3 12 3
3 3
0
(^33)
0
2
3
0
2
3
0
2 4
3
0
2 2
∫
∫
∫
∫
x
x x dx
x dx
x x dx
s x x dx
3
2 3
2 3
2 x + y = 2
y sen t
x t
3
3
2 cos
( )
24 .cos 24.
4 6. cos cos
4 36 cos 36 cos
2
0
2 2
0
2
0
2 2 2 2
2
0
4 2 4 2
u c
sent sent tdt
sent t t sent dt
s tsent sent tdt
∫
∫
∫
π π
π
π
2
4
8
x
y = x + , 1 ≤ x ≤ 2
3 3 2 8
y ′^ = x + − x
( ) 4
4 2
4
8 4
4
4 8 4
4
8 4 2
2
4
y
y
y
y y
y
y y y
y
y y
y
y
( )
3
3
1
3 1
3
1
2 2
3
1
2
4
3
1
4
4 2
−
− ∫ ∫
∫
y y
dy y y dy y
y
dy y
y s
- ( )
x x y e e
− = + 2
de ( 0 , 1 )a
−
1 e e
( )
x x y e e
− ′ (^) = − 2
( )
( )
( )
dx
e e
e e dx
e e dx
e e e e dx
s e e dx
x x
x x
x x
x x x x
x x
∫
∫
∫
∫
∫
−
−
−
− −
−
1
0
2 2
1
0
2 2
1
0
2 2
1
0
2 2
1
0
2
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
0
1
0
1
0
2
1
0
2 2
1
0
2
2
sen h
e e
e e
e e dx
e dx e
e dx e
dx e
e
x x
x x
x x
x x
x
x
−
−
−
−
∫
∫
∫
∫
- y = ln x , 3 ≤ x ≤ 8
x
y
dx x
x dx x
s ∫ ∫
8
3
(^82)
3
2
( )
dx ( t ) tdt
x t
x t
x t
2
1 2
2
1 2
2 2
2 2
∫
∫ ∫
∫
4
6
4
6
4
6
2
2 2
4
6
2
2
cos
cos
cos 1
π
π
π
π
π
π
π
π
ecx dx
sen
dx dx sen x
sen x x
dx sen x
x s
x
ln 2 6 2
ln
ln
1 ln 2 2
ln
ln cos cot
4
6
u c
ec gx
π
π
3
y = x , de P 0 ( 0 , 0 )ate P 1 ( 4 , 8 )
2
1
y ′= x
( 10 10 1 ).. 27
2
3
4
0
2
3
4
0
u c
x
s xdx
∫
3
y = x + de P 0 ( 0 , 2 )ate P 1 ( 1 , 6 )
2
1 2
1 6 2
y ′= 4. x = x
1
0
2
3
1
0
u c
x
s xdx
3 2
y = x − de P 0 ( 1 , 0 )ate P 1 ( 2 2 , 6 )
3
1
3
1
−
−
x
y x
x x dx
dx
x
x
dx
x
s x dx
3
1 2 2
1
2
1 3
2
2 2
1 3
2
3
2
2 2
1 3
2
2 2
1
3
2
−^ −
−
−
−
−
x x dx
dx
x
x
s x dx
∫
∫
∫
−
−
8
0
3
2 1
1 3
2
8
(^0 )
3
2
8
0
3
2
3
1
3
2
−
du x
u x
( )
( 80 10 8 ).. 27
8
0
2
3 3
2
u c
x
Nos exercícios de 15 a 21, estabelecer a integral que da o comprimento de arco da curva
dada.
2 y = x , 0 ≤ x ≤ 2
y ′= 2 x
∫
2
0
2 s 1 4 x dx
x
y
= de (^)
P 0 ate (^)
P 1 4 ,
2
x
y
∫
∫
∫
4
4
1
2
4
4
4
1
4
4
4
4
1
4
dx x
x
dx x
x
dx x
s
2 2 x − y = de P 0 (^) ( 3 ,− 2 2 )ate P 0 ( 3 , 2 2 )
x ( y ) x ( y ) y
x y
2
1 2 2
1 2
2 2
dy y
y
dy y
y y
dy y
y s
∫
∫
∫
−
−
−
2 2
2 2
2
2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2
2
x y = e , de P 0 ( 0 , 1 )ate ( )
2 P 1 2 , e
x y ′= e
s e dx
x ∫
2
0
2 1
2 y = x + x − , 0 ≤ x ≤ 1
y ′^ = 2 x + 2
( ) ( )
( 85 85 13 13 ).. 27
3
1
2
3 2
3
1
2
3
1
4 2
u c
t
t t dt
s t t dt
∫
∫
^ (^ )
y t
x t sent
21 cos
, t ∈[ 0 , π]
y sen t
x t
21 cos
( )
( t ) dt
tdt
t t sent dt
s t sentdt
∫
∫
∫
∫
π
π
π
π
0
0
0
2 2
0
(^22)
2 1 cos
2 2 2 cos
41 2 cos cos
41 cos 4
cos 0 2
8 cos 2
- 2 .cos
2 2 1 cos
0
0
0
2
0
u c
t
dt
t sen
dt
t sen
tdt
∫
∫
∫
π
π
π
π
y t
x sent
cos
, t ∈[ 0 , 2 π]
π
π
π
cos
2 0
2
0
2 2
∫
t
s t sentdt
y t t
x tsent
cos
, t ∈[ 0 , π]
2 2
0
2 2
0
2
0
2 2 2 2 2 2
ln 1 2
ln 1 2
cos 2 cos cos 2 cos
π
π
π
∫
∫
t t t
t
t dt
s t t t tsent sent t tsent t t sentdt
y t
x t
, t ∈[ 0 , 2 ]
2 2 ( )..
cos cos
2 2
1
2
1
2
1
2 2 2 2
e e e u c
e dt
s e t sent e t sent
t
t
t t
∫
∫
y sent t t
x t tsent
2 2 cos
2 cos 2 , 2
π ≤ t ≤
y tsen t
x t t
2 cos
∫
∫
2
0
2 2
0
2
2
0
2 2 2 2
4 cos 4
π π
π
π u c
t tdt
s t t t sentdt
- Achar o comprimento da hipociclóide
y t
x sent
4 cos 3
3
, t ∈[ 0 , 2 π]
y t sen t
x sent t
3 cos.
3 .cos
2
2
4 12 cos
4 12 cos 12 cos
2
0
2
2
0
2
0
2 4 2 4 2
u c
sent
sent tdt
s sent t tsentdt
∫
∫
π
π
π
- Achar o comprimento da circunferência.
y asen t
x a cos t
, t ∈[ 0 , 2 π]
y a t
x asen
′= cos
4 cos
2
0
2
0
2 2 2 2
adt at a u c
s a sent a tdt
π
π
∫
∫
- Calcular o comprimento da parte da circunferência que está no 1° quadrante
7 cos
t y sen
t x
cos 4
2
0
2
0
2
0
2
2 2
2
dt t u c
dt
t t s sen
π π
π
^ +
∫
∫
-2 -1 1 2
-2.
-1.
-0.
1
2
x
y
( )
^ −
∫
∫
∫ ∫
2
0
4 2
2
0
4 2
2
0
2
0
2
0
3 2
2 12 cos 2
4 2 2 2. 2. 3 cos
π
π π
π π
sent sent dt
t sen t sent tdt
A sent sentdt sent t sentdt
( )
cos 4
cos 48 6
cos 6
2
0
2
0
3 2
2
0
2
0
4 4
2
0
5
2
0
5 4 4
2
0
4 6
u c
t
sent t sentdt
sent t sentdt sentdt
sent t sentdt sentdt
sent sent dt
π π π π π
π
π
π
π
π
π
π
π π π
π
π
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
2 y t
x t e
y t
x t
1 2
1
2
3
4
x
y
2
y x
y x
x = 2 e x = 1
t
t ( )
t
t
2
1
3
2
1
2 1
∫
t
A t dt (^ )
1
0
2
1
0
1
∫
t t
A t dt
A = − = uc
- Calcular a área da arte da circunferência
y sen t
x t
2 cos
que está acima da reta y = 1
