Baixe Cálculo A Lista 2- Exercícios - Matemática e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!
A
LISTA DE EXERCÍCIOS
a
Questão :. Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
a) f(u) = u
2 , u(x) = x
3
- 4 , (f o u)′(x) e (f o u)′ (1) ;
b) y = u sen(u), u = x
2 ,
( = π)
⎟ ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛
x o
dx
dy e dx
dy ;
c)
x
x+ f(u) u , u (x)=
1
2
(^3 )
= , (f o u)′ (x) e (f o u)′ (1) ;
d) f(x) = 1 + x, f '(x) e f ′(4) ;
e) ),
5
3 ) cos ( 5
2 f x = xsen + x + + x
π π f ′(x) e f ′(0) ;
f)
t t f t
3 3 ( ) 2 2
− = + , f ′(t) e f ′(0) ;
g) , 1
1 ( ) ln ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
= senx
senx f x f ′(x) e (^) ⎟ ⎠
⎛ π ′ 3
f ;
h) ( ) , x x
x x
e e
e e f x −
−
= f ′(x) e f ′(0) ;
i) ,
3 ( ) ln ⎥ ⎦
⎤ ⎢ ⎣
⎡ ⎟ ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛ = − +
x f x tg x x e f ′(x) e f ′(0) ;
a
Questão: Encontre a expressão da segunda derivada das funções dos seguintes itens da primeira
questão e o seu valor nos pontos indicados:
a) No ponto de abscissa x 0 = 1, no item a)
b) No ponto de abscissa x 0 = π , no item b)
c) No ponto de abscissa x 0 = 0 , no item g)
d) No ponto de abscissa x 0 = 0 , no item h)
a
Questão: Para cada um dos itens a seguir determinar:
a) f ′(3) , sendo f(5 + 2x) + f(2x
_2
_2
b) f ′(0) , sendo ⎥ ⎦
f senx f x π x π x ;
c) (g o f o h)′ (2) , sabendo que f(0 ) = 1, h(2) = 0 , g ′(1) = 5, f ′(0) = h′(2) = 2;
d) a função g sabendo que ( f o g)′ (x) = 24x + 34, f(x) = 3x
_2
INSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFBA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CÁLCULO A - 2009.
a Questão: Determine a expressão de (^ f )^ (^ f ( ) x )
− 1 , lembrando-se que ( ) ( ( )) ( )
f x
f f x ′
− :
a) f(x) = x
2
+ 4x – 2 ; x ≥ 1;
b) ;
2
x
x
f x x ≠ -2;
c) f(x) = 3 + cos(2x) , 0 < x < π/2 ;
d) f(x) = sen(lnx) , ;
π / 2 π/ 2 e < x < e
−
e) f(x) = x + e
x .
a
Questão: Calcule ( )'( ),
1 f a
− a partir das expressões calculadas na questão anterior.
a) a = f(2)
b) a = f(6)
c) a = 3
d) 2
a =
e) a = f(0)
a
Questão: Ache a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções:
a) f(x) = arctg(2x + 1)
b) f(x) = 1 – arcsen(2x
3 )
c)
( )
2 ( ) 3
arctgx f x = x +
d) f(x) = ln(arccos(x
_3
e) f ( x )=log 3 [arccotg( x)]
f) f(x) =
2 ( 3 )
x
a
Questão:. Determinar a derivada da função g sabendo que g é a inversa da função f, isto é, g = f
-- .
a) ' ( ) 1 ( )
2 f x = − f x ;
b) f
2 (x) + 2f(x) = 5x ;
c) ln(f
2 (x)) + 2f(x) =x , para f ( x ) ≠ 0 e f ( x ) ≠ – 1.
a
Questão:. Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo:
a) 4 , ,nopontoP(1, 3 )
2 2
dx
dy x + y = , e dy
dx , no ponto Q( 3 ,1);
b) y
_4
2 = 5x +1 , dx
dy no ponto P(0, -1);
d) os intervalos onde a concavidade é voltada para cima e onde a concavidade é voltada para baixo;
e) as abscissas dos pontos de inflexão;
g) esboce o gráfico da função g no intervalo [-1 ,3], considerando g (-1) = 0, g (0) = 2, g (1) = a , para
um a conveniente,
g (3/2) = 3, g (2) = 2 e g (3) = 6.
Gráfico
de f ’ −4^ −3^ −2^ −1^1 2 3 4 5 6 7 8 9
Gráfico
de g ’ −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
a
Questão: Use o teorema de Rolle para provar que entre duas raízes consecutivas de uma função
polinomial f existe pelo menos uma raiz de f ’.
a
Questão:. Determine as constantes nas funções abaixo, de modo que:
a) ( ) ; 0
2
−
f x axe a
x tenha um máximo em x = 2
b) ⎟
x
a f ( x ) x , x > 0, tenha um mínimo em x = 1;
c) f ( x ) = x
_3
_2
- bx + c_ tenha pontos críticos em x = – 2 e x = 3. Qual é o de máximo e qual é o de
mínimo?
d) f(x) = ax
_2
- bx + c_ tenha um máximo relativo no ponto P (1, 7) e o gráfico de y = f(x) passe pelo ponto Q
(2,-2);
e) f ( x ) = x
_3
_2
- bx + c_ tenha um extremo em x = 4 e o gráfico de f tem um ponto de inflexão em x = 1;
f) f ( x ) = a x
_3
_2
- cx_ tenha um ponto de inflexão P (1, 2) e a inclinação da reta tangente nesse ponto seja
a
Questão: Determine os extremos absolutos das funções:
a) y = lnx – x ,
2
e ≤ x ≤ e ;^ (e^ ≅^ 2,718281)
b) y = 2sen(x) + cos(2x) ,| x |≤ π|
a
Questão: Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos ,
as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos
e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o
esboço gráfico.
a) f(x) = 10 + 12x – 3x
2
- 2x
3 b) 1
2
x
x f x c) 2
2 4 3 ( ) x
x x f x
= d) 1
2
3
x
x f x
e) 2 ( 1 )
x
x f x f)
2 ( )
x f x e
− = g) x
e f x
x
( ) = h) ( ) ln( 1 )
2 f x = x +
i)
x
x
f x
2 ln
( )= j) ( ) 2 5
2 f x = x + x + k)
3 2 2 f ( x )= ( x − 1 ) l) 3
2 f ( x )= 1 +( x − 2 )
m)
2
f ( x )= x 9 − x n) ( ) ( 4 )
(^3 )
f x = x + x
a
Questão:. PROBLEMAS DE MÁXIMOS E MÍNIMOS
a) Prove que se o produto de dois números positivos é constante, a soma é mínima quando os dois
números são iguais.
b) Molde um fio de arame de comprimento L em forma de um retângulo cuja área seja a maior possível.
c) Uma reta variável passando por P (1,2) intersecta o eixo Ox em A ( a ,0) e o eixo Oy em B (0, b ).
Determine o triângulo OAB de área mínima para a e b positivos.
d) Faz-se girar um triângulo retângulo de hipotenusa dada H em torno de um de seus catetos, gerando um
cone circular reto. Determine o cone de volume máximo.
nadando em linha reta com a velocidade de 5/3 m/s. Do ponto C até o ponto B ele vai correndo pela
margem, com a velocidade de 10/3 m/s. Determine o ângulo θ , igual ao ângulo BÂC , que corresponde
ao menor tempo de percurso, considerando o círculo de raio r constante, ]
[ 0 ,
π θ ∈ , e sabendo que o
comprimento do arco CB é igual a θ. AB.
p) Qual o triângulo isósceles de maior área que se pode inscrever num círculo dado?
a
Questão: Determinar o polinômio de Taylor de ordem n, no ponto c dado, das seguintes funções:
a) f(x) =
x / 2
e ; c = 0 2 1; n = 5
b) f(x) = ln(1-x); c = 0 e c = ½; n = 4
c) f(x) = cos 2x; c = 0 e π /2; n = 6
a
Questão: Encontrar o polinômio de Taylor de grau n no ponto c e escrever a função que define o
resto da forma de Lagrange, das seguintes funções:
a) y = tg x; n = 3 e c = π
b) y = x ; n = 3 e c = 1
c) y =
2 x
e
− ; n = 4 e c = 0
a
Questão: Usando o resultado encontrado no exercício 19b),com c = 0, determine um valor
aproximado para ln 0,5. Fazer uma estimativa para o erro.
a
Questão: Determinar o polinômio de Taylor de grau 6 da função f(x) = 1 + cosx no ponto c = π.
Usar este polinômio para determinar um valor aproximado para cos(5 π / 6 ). Fazer uma estimativa do erro.
a
Questão: Determine os máximos e mínimos das seguintes funções:
a) f(x) = (x – 4)
10
b) f(x) = 4(x + 2)
7
c) f(x) = x
6
4
d) f(x) = x
5
x
3
RESPOSTAS
a
Questão
a) (f o u)′ (x) = 6x
2 (x
3
- 4) (f o u)′ (1) = − 18
b) dx
dy = 2x(sen(x
2 ) + x
2 cos(x
2 )) ,
( = π)
x o
dx
dy = − 2 π π
c) 2 2
2 3
2
x
x x
x
x
f o u x , (f o u)′ (1) =
d)
x x x
f x
f ′( 4 )=
e) 2 ) 5
3 ) sen( 5
3 ) 3 .cos( 5
f ( x ) sen( x x x + x
π
π
π ′ (^) = , ) 5
) sen( 5
( 0 ) sen(
π −
π f ′ =
f) ( ) 3 ln( 2 ).( 2 2 )
3 t 3 t f t
− ′ (^) = − , f ′ (0) = 0
g) f ′ (x) = sec x , ) 2
3
f
h) 2 ( )
x x e e
f x −
′ = , f ′ (0) = 1
i) ( ) 2 .( 3 1 ).cossec[ 2 .( )]
2 x 3 x f ′ x = x − + e x − x + e , f ′ (0) = 0
a
Questão:
a) (f o u)′ ′ (x) = 30x
4
- 48x , (f o u)′ ′ (1) = - 18
b) 2 .sen(x )( 1 2 x ) 10 x cos(x )
dx
d y 2 4 2 2
2
2
π
10
( )
2
2
0
= − ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
x =
dx
d y
c) (f )′ ′ (x) = secx tgx
d) 3 ( )
x x
x x
e e
e e f x −
−
′′ =− , (f )′ ′ (0) = 0
a
Questão:
a) f ′ (3) = 2 ; b)
5
f ′( 0 )=− ; c) (g o f o h)′ (2) = 20 ; d) 3
g ( x )= 2 x +
a
Questão:
a)
2 4
1
−
x
f f x ; b) 8
2 1 + ′ =
− x f f x ; c) .cossec( 2 ) 2
1 f ′ f x =− x
−
d)
cos(ln )
1
x
x f ′ f x =
− ; e) x e
f f x
−
1 ;
a
Questão:
a) 1/8; b) 8; c) -1/2; d)
( / 4 )
π
e ; e) ½;
a
Questão:
a)
2
x x
f x
b)
6
2
x
x f x
−1 1 2 3
−
1
2
3
4
5
6
3/
d) Para x = 1, reta tangente ( 1 ) 13
y − 1 =− x − Reta Normal: ( 1 ) 6
y − 1 = x −
Para x = – 1, Reta Tangente: ( 1 )
y + 1 =− x + Reta Normal: ( 1 )
y + 1 = x +
e) Reta Tangente: ( 5 ) 8
y − 2 = x − Reta Normal: y – 2 = – 8(x – 5)
f) Reta Tangente: y – 3 = 11(x – 1) Reta Normal: ( 1 )
11
y − 3 =− x −
a
Questão:
a) )
3
ln( b) − π c) 0 d) − 3 e) 2
f) e
g)
π
h) 0 i) 1 j) e
2 l) e m) 1
n) 0 o) 2 p)
9
q) e
2
a
Questão:
ln 3
a
Questão:
Para f :
a) -2, -1, 0, 1, 2, 4, 6 b) xmax = 2 e 6; xmin = -1 e 4
c) crescente em [-1, 1] ; [1, 2] ; [4, 6]; decrescente em ]- ∞ , -1]; [2, 4]; [6,+ ∞ [
d) concavidade para cima em ]- ∞, , -2[ ; ]0, 1[ ; ]3, 5[; concavidade para baixo em ]-2,-1 [; ]-1,0[; ]1, 3[;
]5, +∞[
e) -2, 0, 1, 3, 5
Para g:
a) -5, -3, -1, 0, 1, 2 b) x (^) max = 1, x (^) min = -1, x (^) min = 2
c) crescente em ]- ∞, -2[ ; [-1, 1] ; [2, 4[; decrescente em ]-2, -1] ; [1, 2] ; ]4, +∞[.
d) concavidade para cima em ]-5, -4[ ; ]-3,-2[ ; ]-2, 0[ ; ]3/2, 3[;
concavidade para baixo em ]- ∞ ,-5[ ; ]-4, -3[ ; ]0, 3/2[ ; ]3, 4[ ; ]4, +∞[.
e) -5, -4, -3, 0, 3/2, 3
f) gráfico da g em [-1, 3]:
a
Questão:
a) a ∈ R
c) a = -3/2, b = -18 e c ∈ R, x max = -2, x min = 3; d) a = -9, b = 18 , c =-2 e) a = -3, b = -24 , c ∈ R;
f) a = 4 , b = -12, c = 10.
a
Questão:
.a) máx. (1-e) em x = e; mín. (2-e
2 ) em x = e
2
b) máx. ( 1,5) em x = π/6 e x = 5π/6; mín. (-3) em x = - π/
a
Questão:
a) D ( f ) =IR; interseção com Oy: P(0, 10); não tem assíntotas; crescente em [-2, 1]; decrescente em ]- ∞ , -2]
e em [1, + ∞ [; máx. em Q(1, 17); mín. em R(-2, -10); concavidade para cima em ]- ∞ , -1/2[;
concavidade para baixo em ]-1/2, + ∞ [; ponto de inflexão M(-1/2, 7/2).
b) D ( f )= IR ; intersecta os eixos na origem; assíntota: y = 0; interseção com a assíntota em (0,0);
crescente em [-1, 1]; decrescente em (- ∞ , -1] e em [1,+ ∞ ); máx. em Q ( 1 , 1 ); mín. em P ( − 1 , − 1 );
concavidade para baixo em ] − ∞,− 3 [ e em ] 0 , 3 [; concavidade para cima em ] − 3 , 0 [ e em ] 3 ,+∞[ ;
pontos de inflexão: M ( − 3 ,− 32 ), O ( 0 , 0 )e N ( 3 , 3 / 2 ).
c) D ( f )= IR
*; interseção com Ox : P (1,0) e Q (3,0); assíntotas: x = 0 e y = 1; interseção com a assíntota
horizontal: R (3/4,1); f é crescente em ]- ∞ ,0[ e em [3/2,+ ∞ [ e f é decrescente em ]0,3/2]; x mín =3/2 e
y mín = -1/3, não tem máximo; concavidade para cima em ]- ∞ ,0[ e em ]0,9/4[ e concavidade para baixo
em ]9/4,+ ∞ [; ponto de inflexão S (9/4, -5/27).
d) D ( f )= IR −{± 1 }; interseção com os eixos na origem; assíntotas: x = -1, x = 1 e y = x ; tem interseção
com a assíntota y = x na origem, O (0,0); crescente se ] − ∞,− 3 ]e em [ 3 ,+∞[ ; decrescente
[ − 3 ,− 1 ];]− 1 , 1 [;] 1 , 3 ]; máx. em P ( − (^3) ,− 3 3 / 2 ); mín. em Q ( (^3) , 3 3 / 2 ); concavidade para baixo
em ]- ∞ , -1[ e em ]0, 1[; concavidade para cima em ]-1,0[ e em ]1,+ ∞ [; ponto de inflexão O (0,0).
e) D ( f )= IR -{-1}; interseção com os eixos: O (0,0); assíntotas: x = -1 e y = 0; interseção com as assíntotas:
O (0,0); f é crescente em ]-1,1] e decrescente em ]- ∞ ,-1[ e em [1,+ ∞ [; máx em R(1, ¼), não tem
mínimo; concavidade para cima em ]2,+ ∞ [ e concavidade para baixo em ]- ∞ ,-1[ e em ]-1,2[; ponto
de inflexão: P (2,2/9).
f ) D( f ) =IR; interseção com Oy: N(0, 1); asssíntota: y = 0; não tem interseção com a assíntota; crescente
em ]- ∞ ,0]; decrescente em [0, + ∞ [; máx. em N(0, 1); não tem mín.; concavidade para cima em
P ( − 3 2 2 ,− 92 )concavidade para cima em ]-3, 0[; concavidade para baixo em ]0, 3[; ponto de
inflexão O(0, 0).
n) 3 3
5 8 '( )
x
x f x
= e (^3 ) 9
x
x f x
= ; D ( f ) = IR ; interseções com o eixo Ox : P (- 4, 0) e O ( 0, 0);
interseção com eixo Oy : O ( 0, 0 ); não tem assíntotas; f é crescente nos intervalos ] − ∞, 8 / 5 ]e [0, +∞[ ;
f é decrescente no intervalo [- 8/5, 0] ; o gráfico de f tem máximo no ponto ) 25
Q ( −^3 , onde a
reta tangente é horizontal ( f ' (− 8 / 5 )= 0); o gráfico de f tem mínimo no ponto O ( 0, 0 ), onde a reta
tangente é vertical; o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo no intervalo ] − ∞, 4 / 5 [; o gráfico
de f tem concavidade voltada para cima no intervalo ] 4 / 5 ,+∞[ ; ponto de inflexão ) 25
R ( 3.
GRÁFICOS DA 17ª QUESTÃO
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
16
−
−
−
4
8
12
a)^16
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
3
−
−
1
2
b)
−12 −10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 1 0 1 2
x
y
c)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
x
y
d)
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
x
y e)
−2 −1 1 2
2
−
1
2
f)
−3 −2 −1 1 2 3 4 5
−
−
−
−
1
2
3
4
5
6
7 g)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
2
−
1
2
3
4 h)
−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
x
y
i)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
x
y
j)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
1
1
2
3
4
5
6
k)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
2
−
1
2
3
4
5
l)
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3
x
y
n)
a
Questão:
b) área = L
2 /16 c) base = 2, altura = 4;
d) raio = H (^2) / 3 , altura = H / 3 e) base = 4, altura = 8
f) r / h = 2 / 2 ; g) 4 × 4 × 2 dm
3
h) 9 × 18
i) área mínima se raio = L ( )
1 2 8
−
π + , lado do quadrado = L(4 + π )
j) 4 3 A ; k) base: 5x5 cm
2 e altura: 5 cm.
m)
a
Questão: P 6 (x) =
2 4 6
x − π − x −π + x − π ; (^) ⎟≅
cos
π
⎛ π
R
a
Questão:
a) min em x = 4 b) ∃/ c) max em x = 0; min em x =
d) max em x = -5; min em x = 5.
