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Apostila de cálculo 2, noções principais
Tipologia: Notas de estudo
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CAPÍTULO I
1 1 Noções básicas.......................................................................................... 2 2 .....................................................................................................................
3 2 Funções de várias variáveis...................................................................... 3 4 3 Espaço euclidiano n-dimensional............................................................. 5 5 4 Gráfico de uma função............................................................................. 7 6 5 Superfícies do espaço e equações............................................................. 8 7 ..................................................................................................................... 8 6 Curvas de nível de uma superfície ........................................................... 9 9 ..................................................................................................................... 10 7 Limites...................................................................................................... 12 11 Exemplos..................................................................................................... 12 12 8 Funções contínuas..................................................................................... 13 13 9 Operações com funções............................................................................ 14 13.1 CAPÍTULO II.............................................................................................. 15 14 1 Diferenciação............................................................................................ 15 15 2 Derivadas parciais.................................................................................... 16 16 3 Interpretação geométrica......................................................................... 19 17 4 Funções diferenciáveis............................................................................. 20 18 5 Derivadas parciais de ordem superior...................................................... 21 19 6 Aproximação por meio da diferencial...................................................... 25 20 7 Derivação de funções compostas.............................................................. 28 21 8 Derivação de funções implícitas............................................................... 33 22 9 Derivada direcional. Gradiente................................................................. 38 23 10 Máximos e mínimos............................................................................... 43 24 11 Máximos e mínimos condicionados....................................................... 49
1 Noções básicas Introdução As funções que foram estudadas no programa de cálculo I são funções reais de uma variável real. Trataremos agora das funções reais de várias variáveis reais. Consideremos, por exemplo, um retângulo de base x e altura y. A área S desse retângulo é S = xy. Costumamos dizer que a área S é função das duas variáveis x e y. Tomemos agora um paralelepípedo retângulo (ou bloco retangular) de comprimento x largura y e altura z. O volume V desse sólido é V = xyz. A cada termo de valores atribuídos a x, y e z corresponde um valor do volume. Dizemos que o volume V é função das três variáveis x, y, z. Muitas funções podem ser definidas por meio de fórmulas. Por exemplo, se escrevermos: , A cada par (x,y) de números reais que e corresponde um número real z bem determinado. Nessas condições, z é função das duas variáveis x e y.
Consideremos, a seguir, uma função f de três variáveis x, y, z. A cada conjunto de valores admissíveis dessas variáveis corresponde um valor real w=f(x, y, z) da função. Ora, o conjunto de todos os termos ordenados (x, y, z) de números reais é o espaço tridimensional real R³= RxRxR. Portanto, toda função real de três variáveis reais é definida em um subconjunto do espaço R³. Trata-se de uma função do tipo: , A Podemos ilustrar tais funções por meio da seguinte figura:
Exemplos:
assim definida: f (x, y, z)= 3x²+y²+5z-10.
Consideremos a função F(x, y, z)=.
Imaginemos, agora, uma função real de n variáveis x (^) 1, x (^) 2, x (^) 3,..., x (^) n. Designando por a função e por y o seu valor genérico, podemos escrever: Y=( x (^) 1, x2, x3,..., xn).
A cada conjunto de valores admissíveis das variáveis x (^) 1, x (^) 2, x3,..., xn, a função associa um número real y. Considerando que cada seqüência ordenada (x1, x (^) 2, x3,..., x (^) n) é um elemento (ou ponto) do espaço n-dimensional real R n=RxRx....xR (n fatores), concluímos que deve ser uma função definida em um sub-conjunto de R n, assumindo valores reais. Mais simplesmente, toda função real de n variáveis reais é do tipo :, ARn. Exemplos:
A função definida por (x1,x2,x3,x4)= x (^3) 1- 2x 1 x3+x (^2) 2-3x (^) 4+6.
Consideremos a função g assim definida g (x (^) 1,x2,x3,x4)= 7x (^) 1+.
3 Espaço euclidiano n-dimensional Recordemos que um ponto R² é um par ordenado (x,y) de números reais e que um ponto R³ é um terno ordenado (x,y,z) de números reais. Da mesma forma, diremos que um ponto do espaço n-dimensional R n^ é uma seqüência ordenada (x (^) 1, x (^) 2, x3, ...., x (^) n) de n números reis. Podemos designar esse ponto com uma letra M e escrever: M= (x (^) 1,
x (^) 2, x3, ...., x (^) n). Os números x (^) 1, x2, x3, ...., x (^) n dizem-se coordenadas do ponto M. O ponto que tem todas as coordenadas nulas, O(0,0,...,0) diz-se origem. Dados dois pontos A=( x (^) 1, x2) e B=( y (^) 1, y2) no plano R², sabemos que a distância entre eles é: AB=. Analogamente, a distância entre dois pontos A(x1,x2,x3) e B(y1,y2,y3) do espaço R³ é: AB=. Da mesma forma, podemos definir a distância AB entre dois pontos A(x1,x2,...,xn) e B A(y (^) 1,y2,...,yn) do espaço Rn^ da seguinte maneira:.
O conjunto dos pontos M=(x1,x2,...,xn) de R n^ que estão à distância r do ponto fixo C=() é a esfera de centro C e raio r. A equação dessa esfera é evidente: (x 1 - )² + (x (^2)
Observe-se que os pontos da esfera pertencem à bola fechada, mas não pertencem à bola aberta de mesmo centro e mesmo raio. A esfera de centro na origem e raio r tem por equação: A bola aberta e a bola fechada de centro na origem e raio r representam-se pelas desigualdades e. Consideremos, a seguir, uma equação do 1° grau com duas variáveis ax + by + c = 0, onde pelo menos um dos coeficientes a, b é diferente de zero. No plano, ela representa uma reta s. Sabemos que as desigualdades ax + by + c > 0 e ax + by + c < 0 representam os semi-planos abertos determinados no
g(x (^) 1,x2,x3,x4,x5)=ln (x1-2x (^) 2+4x (^) 3-x (^) 4+8x (^) 5), onde ln indica o logaritmo de R 5 definido por x1-2x (^) 2+4x3-x (^) 4+8x (^) 5>0. Esse domínio é um semi-espaço aberto de R^5.
4 Gráfico de uma função Dada uma função real de uma variável real f: AR, onde A R, sabe-se que o gráfico de f é o conjunto {(x,y) R² | xA e y = f (x)}. Tal gráfico é um subconjunto do plano ao qual costumamos chamar curva representativa da função. A figura abaixo ilustra o gráfico de uma função definida em um intervalo A. O ponto M=(x, (x)) é o ponto genérico do gráfico. As propriedades da função refletem-se no seu gráfico; por isso este é um elemento de valor no estudo da função.
A noção de gráfico estende-se às funções de mais de uma variável real. Seja F: AR, onde AR² uma função real qualquer de duas variáveis. O gráfico de F é, por definição, o conjunto { (x,y,z) R³ | (x,y) A e z = F(x,y)}.
Trata-se, como se vê, de um subconjunto do espaço tridimensional R³. A esse gráfico costumamos chamar superfície representativa da função.
Na figura anterior está indicado o gráfico de uma função F de duas variáveis. A cada ponto P=(x,y) do domínio A da função corresponde um valor desta, a saber z=F(x,y). O gráfico é o conjunto S dos pontos M=(x,y,F(x,y)) do espaço R³. Observe-se que na vertical de cada ponto P(x,y) A existe exatamente um ponto M do gráfico da função. A projeção (ortogonal) da superfície S sobre o plano xy é precisamente o domínio A da função. Exemplos: 1) Seja z=2x-3y+5. Esta função é definida no plano R². O seu gráfico é o conjunto dos pontos M=(x,y,2x-3y+5) do espaço tridimensional. Sabemos que tal conjunto é um plano do espaço. Observe-se que a equação z=2x-3y+5 é equivalente à equação 2x - .3y – z + 5 = 0, a qual, como ensina a Geometria Analítica, representa um plano no espaço.
De modo geral, toda função do 1° grau nas variáveis x, y e z=ax+by+c tem por gráfico um plano do espaço R³.
Passemos, a seguir, aos gráficos de funções de mais de duas variáveis. Seja F: AR, onde AR³, uma função de três variáveis. O seu gráfico é, por definição, o conjunto: {( x (^) 1,x2,x3,x4) R 4 |( x (^) 1,x2,x3) A e x4=F(x (^) 1,x2,x3)}. Tal gráfico é, como se vê um subconjunto do espaço de quatro dimensões e, como tal, não temos possibilidade de representá-lo em desenho. Dizemos que se trata de uma hipersuperfície de R4. De modo geral, o gráfico de uma função f: AR, onde AR n^ é uma hipersuperfície do espaço Rn+^.
5 Superfícies do espaço e equações Admitiremos que uma superfície do espaço tridimensional é o conjunto dos pontos (x,y,z) R³ nos quais se anula uma função real F de três variáveis. Assim, a equação F(x,y,z)=0 caracteriza a superfície. Um ponto M=(x,y,z) do espaço pertence à superfície se e somente se as suas coordenadas satisfazem à equação, a qual se diz equação de superfície. Por exemplo, a equação F(x,y,z)=x³-3xy²+4xz²+y-8z+1=0 representa uma superfície R³. O ponto M=(1,-2,3) pertence a essa superfície, pois temos: F(1,-2,3)=1-12+36-2-24+1=0. O ponto P=(0,1,2) não pertence à mesma superfície, pois F(0,1,2)=0-0+0+1-16+10. Uma superfície diz-se algébrica ou transcendente consoante seja algébrica ou transcendente a sua equação F(x,y,z)=0. Por exemplo, as equações:
Exemplos:
Ou, após a eliminação de z: x²+y²=k z=k A equação x²+y²=k só tem soluções reais se k 0 e, se k>o, representa no R³ um cilindro de revolução de eixo OZ e raio , com centro no eixo OZ, situado no plano horizontal z=k. Tal círculo é uma curva de nível da superfície considerada. A projeção dessa curva sobre o plano xy é o círculo que em R³ tem por equações: x²+y²=k z= e que, como curva de plano xy, em geometria plana, tem por equação x²+y²=k se projetarmos sobre o plano xy todas as curvas de nível da superfície: z=x²+y², obteremos uma família de círculos concêntricos. Na figura abaixo aparecem alguns desses círculos. Está indicado o valor da cota k correspondente. Por exemplo, o círculo o lado do qual se lê 4 é a projeção sobre o plano xy da curva de nível obtida na superfície pelo plano z=4; trata-se de um círculo de raio 2. recorde o leitor que a superfície a que se refere este exemplo é um parabolóide de revolução de eixo OZ.
Portanto, o plano xy corta o parabolóide dado seguindo duas retas. Se k>o, a curva de nível é a hipérbole cuja projeção sobre o plano xy tem por equação: x²-y²=k Tal hipérbole tem o eixo real paralelo a OX e o eixo imaginário paralelo a OY. Se k<0, a curva de nível é a hipérbole: x²-y²=k, ou ainda: y²-x²=-k. Como –k>0 resulta que essa hipérbole tem o eixo real paralelo a OY e o eixo imaginário paralelo a OX.
O mapa de linhas de nível do parabolóide hiperbólico tem o aspecto mostrado na figura abaixo. A figura mostra as linhas de nivel k-0, k-1, k=4, k=-1 e k=-4.
3)Tomemos a superfície de equação z=2x+5y-10, que é um plano do espaço. As seções desse plano por planos horizontais são obviamente retas paralelas, as quais se projetam sobre o plano xy, seguindo retas paralelas. Assim, o mapa das linhas de nível da superfície consiste na família de retas do plano xy cuja equação nesse plano é: 2x+5y-20=k. Na figura aparecem as linhas correspondentes aos níveis k=0, k=10, k=20, k=-10 e k=-20.
Observação: Os mapas de curvas de nível são muito empregados na Topografia para o estudo do relevo do terreno.
Na figura, vemos as linhas de nível
de um terreno formado por dois montes. Vêem-se também as projeções ortogonais dessas curvas sobre um plano horizontal, o qual foi rebatido sobre o plano do papel.
8 Funções contínuas Seja : AR, AR², uma função de duas variáveis, e seja (a,b) A. Dizemos que é contínua no ponto (a,b) se e somente se
Exemplos: Os poucos exemplos acima dão ao leitor idéia da grande variedade dos subconjuntos de R². Neste curso, estaremos interessados em subconjuntos de R 2 mais particulares. Em primeiro lugar, os conjuntos que nos interessarão deverão possuir pontos interiores. Em segundo lugar, por uma questão de simplicidade, desejaremos que sejam conjuntos constituídos, por assim dizer, de um só pedaço; termos mais técnicos, escolheremos conjuntos conexos do plano. Um conjunto AR² diz-se conexo quando dois pontos quaisquer p,qA podem ser ligados por um caminho (ou arco) contido em A. A figura abaixo ilustra o conceito.
Nas figuras abaixo, mostramos outros exemplos de subconjuntos conexos de R².
Em (a) temos dois triângulos cujos contornos são ligados por um segmento de reta. Em (b) temos uma coroa circular com a sua fronteira (dois círculos) e alguns arcos partindo do círculo maior. As figuras abaixo ilustram conjuntos não conexos do plano.
Em (c) temos o conjunto união de dois triângulos, e em (d) temos o conjunto formado por uma curva oval, um segmento de reta e dois pontos isolados A e B.
Os subconjuntos do R² que mais aparecerão neste curso são os que chamaremos regiões do plano. Uma região do plano é um subconjunto aberto e conexo. Eis alguns exemplos de regiões do plano:
Vemos em (e) um disco aberto, em (f) um semi-plano aberto, em (h) o interior de um ângulo, e em (g) a região limitada pelas curvas fechadas simples C, C 1 e C2. Muitas vezes, teremos que considerar o subconjunto formado pela reunião de uma região e de sua fronteira. Tais subconjuntos serão denominados regiões fechadas. As figuras seguintes mostram regiões fechadas obtidas a partir das regiões acima vistas.
Um subconjunto do plano pode ainda ser limitado ou não limitado. Um conjunto AR² é limitado quando a distância da origem a qualquer de seus pontos não pode exceder um valor fixo. Neste caso, existe um número real K>0 tal que x²+y²<K qualquer que seja o ponto (x,y) A. Em outras palavras, um conjunto AR² é limitado quando existe um disco D de centro na origem tal que AD. Nas figuras acima apresentadas, as regiões (e) e (g) são limitadas e as regiões (f) e (h) não são limitadas. Uma região diz-se compacta quando é limitada e fechada.
9 Operações com funções
Já aprendemos, no Cálculo I, a somar, subtrair, multiplicar e dividir funções reais de uma variável. Podemos agora realizar as mesmas operações com funções reais de várias variáveis. Por simplicidade, vamos ilustrar as definições usando funções de duas variáveis. Sejam : AR, AR², e g: BR, AR² duas funções de duas variáveis. Ambas são definidas no conjunto AB. A soma, a diferença e o produto das funções e g são as funções:
Consideremos, agora, uma função real de mais de uma variável, por simplicidade, tomemos o caso de duas variáveis: : AR onde AR² é uma região, e tentemos aplicar a esta função uma cópia do processo acima usado para o caso de uma variável. Tomemos um ponto (a,b) A e seja (x,y) A um ponto variável. O acréscimo da função quando passamos do primeiro ponto ao segundo é: =(x,y)- (a,b). Para medir a variação das variáveis independentes, podemos adotar a distância s entre os pontos (a,b) e (x,y).
Poderíamos, a seguir, definir a derivada da função no ponto (a,b) como o limite do quociente quando s tende para zero, caso exista o limite. Acontece, porém, que esse limite em geral não existe, pois já sabemos que o ponto variável (x,y) poderá aproximar-se do ponto (a,b) de uma infinidade de maneiras, e o limite acima considerado dependerá quase sempre desse modo de aproximação. Por ora, vamos prosseguir o estudo considerando um modo muito especial de se aproximar o ponto (x,y) do ponto (a,b); vamos estabelecer a importante noção de derivada parcial da função.
2 Derivadas parciais Consideremos uma função de duas variáveis (x,y), definida em uma região A do plano.
Seja p(a,b) A. Na paralela ao eixo OX conduzida por p, tomemos um ponto variável q=(x,b). Observe-se que ao variar q, a sua ordenada permanece constante, igual a b; apenas a abscissa x varia. O valor (x,b) da função depende, então, apenas de x. Podemos escrever (x,b)=(x), onde indica uma função de uma só variável x. A derivada desta função no ponto a, ’(a)=lim xa xa
se existe, é chamada derivada parcial da função , em relação à variável x, no ponto (a,b), e é designada por (^) x(a,b) ou (a,b) Tomemos, agora, na paralela ao eixo OY conduzida pelo ponto p, um ponto variável s=(a,y). Ao variar s, a sua abscissa permanece constante, igual a a; somente a ordenada y varia. O valor (a,y) da função depende só de y. Podemos escrever (a,y)=(y), onde indica uma função da única variável y. A derivada desta função no ponto b, ’(b)=lim yb yb se existe, é chamada derivada parcial da função , em relação à variável y, no ponto (a,b), e é designada por (^) y(a,b) ou (a,b). Desse modo, definimos para uma função duas variáveis x e y duas derivadas parciais. A derivada é obtida considerando y constante e derivando a função em relação a x; a derivada é obtida considerando x constante e derivando a função em relação a y:
Como se vê, cada derivada parcial da função (x,y) é derivada de uma função de apenas uma variável; portanto, para calcular as derivadas parciais de f(x,y) podemos usar correntemente todas as regras de derivação estudadas no curso de Cálculo I. Exemplos:
3 Interpretação geométrica No caso das funções reais de duas variáveis, podemos dar uma interessante interpretação geométrica às derivadas parciais. Já sabemos que uma função z=(x,y) definida em uma região AR² tem por gráfico uma superfície do espaço R³, a qual se projeta sobre a região A do plano xy.
Seja p=(a,b) A; o ponto do gráfico correspondente é M(a,b, (a,b)). O lugar dos pontos do espaço cuja ordenada y é constante, igual a b, é o plano de equação y=b, o qual corta a superfície seguindo uma curva C que passa por M. Essa curva pode ser representada pelo sistema de equações: y=b z=(a,b)=(x) A derivada parcial (p)= (^) x(a,b)= ’(a) é a inclinação da curva C no ponto M (tangente trigonométrica do ângulo que a tangente à curva C em M forma com o eixo dos xx).
De modo análogo, o lugar dos pontos de espaço cuja abscissa x é constante, igual a a, é o plano de equação x=a, o qual corta a superfície seguindo uma curva D, que também passa pelo ponto M. Essa curva pode representar-se pelo sistema de equações: x=a z=(a,y)=(y) A derivada parcial (p)= (^) y(a,b)= ’(b) é a inclinação da curva D no ponto M (tangente trigonométrica do ângulo que a tangente à curva D em M forma com o eixo dos yy). As tangentes às duas curvas C e D em M são, em geral, duas retas concorrentes em M, as quais determinam um plano que se diz plano tangente à superfície no ponto M. Mais adiante veremos como se acha a equação desse plano.
4 Funções diferenciáveis Se (x,y) é diferenciável no ponto p=(a,b), então existem as derivadas parciaise nesse ponto.
Podemos, pois, adotar a seguinte expressão para a diferencial: d(p)=(p) x + (p) y, ou, mais simplesmente, deixando subentendido o ponto p:
d=x + y o u d=dx + dy
Funções de mais de duas variáveis – Tudo o que acima dissemos para as funções de duas variáveis, com relação à diferenciabilidade, se estende às funções de várias variáveis. Assim, uma função de três variáveis:
w=(x,y,z) definida em uma região DR³ é diferenciável no ponto p=(a,b,c) D.
dw= d= ou dw= d= Exemplo: Consideremos a função w=(x,y,z) = x²y³+y²z³+3xyz+2x+ Temos: = 2xy³+3yz+2, = 3x²y²+2yz³+3xz, = 3y²z²+3xy A diferencial de é, pois: dw = d= (2xy³+3yz+2)dx+(3x²y²+2yz³+3xz)dy+(3y²z²+3xy)dz. Por exemplo, no ponto p=(-1, 0, 2), temos = 2, = -6, = 0; Portanto, a diferencial em p é d(p) = 2dx-6dy+0dz Consideremos o caso mais geral de uma função de n variáveis: y=( x (^) 1, x2, ...., xn)
