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Este documento, parte da aula 9 do curso cálculo iii, apresenta a transformada de laplace como uma ferramenta poderosa para resolver problemas de valor inicial, transformando-os em equações algébricas. A transformada inversa é usada para determinar a solução do problema. O documento inclui a definição de transformada de laplace, exemplos de cálculo e a linearidade da transformada.
Tipologia: Notas de estudo
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Não perca as partes importantes!
Aula 9 – Transformada de Laplace e sua Inversa.
Marcos Eduardo Valle
Depart. Matemática Aplicada
IMECC – Unicamp
Na aula de hoje, iniciaremos o estudo da transformada de Laplace.
A transformada de Laplace é uma poderosa ferramenta que transforma
um problema de valor inicial em uma equação algébrica.
Resolvendo a equação algébrica, podemos determinar a solução do
problema de valor inicial usando a transformada inversa.
Na prática, geralmente determinamos a transformada inversa utilizando
as propriedades da transformada de Laplace e uma tabela.
Determine a transformada de Laplace da função constante
f (t) = 1 , ∀t ≥ 0.
Determine a transformada de Laplace da função constante
f (t) = 1 , ∀t ≥ 0.
Resposta: Pela definição, a transformada de Laplace é
F(s) = L { 1 } = lim
b→∞
b
0
e
−st
dt = lim
b→∞
1
s
e
−sb
s
1
s
, ∀s > 0.
Determine a transformada de Laplace da função
f (t) = e
at
, ∀t ≥ 0.
Resposta: A transformada de Laplace é
e
at
∞
0
e
−st+at dt =
1
s − a
, ∀s > a.
Determine a transformada de Laplace da função
f (t) = sen(at), ∀t ≥ 0.
Determine a transformada de Laplace da função
f (t) = cos(at), ∀t ≥ 0.
Determine a transformada de Laplace da função
f (t) = cos(at), ∀t ≥ 0.
Resposta: A transformada de Laplace é
cos(at)
s
s
2
2
, ∀s > 0.
Determine a transformada de Laplace da função
f (t) = 3 e
2 t
2
( 3 t), ∀t ≥ 0.
Determine a transformada de Laplace da função
f (t) = 3 e
2 t
2
( 3 t), ∀t ≥ 0.
Resposta: Primeiro, lembre-se que
sen
2
( 3 t) =
1
2
1 − cos( 6 t)
Usando a linearidade da transformada de Laplace, concluímos que
3 e
2 t
2 ( 3 t)
e
2 t
cos( 6 t)
3
s − 2
1
s
s
s
2
, ∀s > a.
Determine a transformada de Laplace inversa de
F(s) =
3 s + 5
2 s
2
, ∀s > 0.
Determine a transformada de Laplace inversa de
F(s) =
3 s + 5
2 s
2
, ∀s > 0.
Resposta: Primeiro, escrevemos a transformada como:
F(s) =
3
2
s
s
2
5
2
s
2
Lembrando da transformada de cos(at) e sen(at), com a =
3 /2, e
usando a linearidade da transformada inversa, concluímos que
− 1
3 s + 5
2 s
2
3
2
cos
3
2
t
5
6
6
sen
3
2
t
, ∀t ≥ 0.
Determine a transformada de Laplace inversa de
F(s) =
s − 1
s
2 − s − 2
, ∀s > 2.
Resposta: Sabemos que s
2 − s − 2 = (s − 2 )(s + 1 ). Dessa forma,
usando frações parciais, concluímos que
F(s) =
1
3
1
s − 2
2
3
1
s + 1
Lembrando a transformada de Laplace de e
at e usando a linearidade
da inversa, concluímos que a transformada de Laplace inversa é
− 1
s − 1
s
2 − s − 2
1
3
e
2 t
2
3
e
−t
, ∀t ≥ 0.
A transformada de Laplace de f é uma função F definida por
F(s) = L
f (t)
∞
0
e
−st
f (t)dt,
e escrevemos
F(s) = L
f (t)
⇐⇒ f (t) = L
− 1
F(s)
em que L
− 1
F(s)
denota a transformada de Laplace inversa.
Ambas transformada de Laplace e sua inversa são lineares, e.g.,
af (t) + bg(t)
= aL
f (t)
g(t)
Na próxima aula veremos como a transformada de Laplace e sua
inversa são usadas para resolver um problema de valor inicial.
Muito grato pela atenção!