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en competencias
Martha Alvarado Arellano Carlos García Franchini
Recursos en línea
Cálculo integral
en competencias
Martha Alvarado Arellano
Carlos García Franchini
Tecnológico Nacional de
México Instituto Tecnológico de
Puebla
A nuestros hijos Carlos,
Marthy Stívaliz y Johnna,
pero muy especialmente
para la alegría de todos:
Carlos Samuel.
¡Sigue haciendo maravillas,
Carlitos!
IV w^ C^ ÁLCULO^ INTEGRAL^ EN^ COMPETENCIAS
ÍNDICE DE CONTENIDO
Prefacio ............................................................................................................................ XI
- Capítulo 1 Introducción al cálculo integral................................. I. Anexo. Formulario XIII
- 1.1 Las variaciones imperceptibles - Actividad 1.1.1
- La acumulación de las pequeñas variaciones
- Actividad 1.1.2
- Aplicación 1.1.1
- Aplicación 1.1.2
- Capítulo 2 Diferenciales
- 2.1 Las pequeñas variaciones - Actividad 2.1.1 - Aplicación 2.1.1
- 2.2 El diferencial
- Teoremas sobre diferenciales
- Cálculo de aproximaciones empleando diferenciales
- 2.3 ¿Incremento y diferencial es lo mismo? - Actividad 2.3.1 - Aplicación 2.3.1 - Ejercicios 2.1 - Ejercicios 2.2 - Ejercicios 2.3 - Ejercicios 2.4 - Ejercicios 2.5 - Autoevaluación 2.1 - Solución a la autoevaluación 2.1 - Autoevaluación 2.2 - Solución a la autoevaluación 2.2 - Autoevaluación 2.3 - Solución a la autoevaluación 2.3 - Autoevaluación 2.4 - Solución a la autoevaluación 2.4
- Capítulo 3 Integral indefinida
- 3.1 Integral indefinida
- Las pequeñas variaciones
- Actividad 3.1.1
- Aplicación 3.1.2
- Actividad 3.1.2
- Actividad 3.1.3 C ONTENIDO w V
- Actividad 3.1.4
- 3.2 Antiderivada e integral indefinida
- Antiderivadas......................................................................................................
- Integración por sustitución
- Procedimiento 3.1.............................................................................
- El campo de pendientes
- Ejercicios 3.1
- Ejercicios 3.2
- Ejercicios 3.3
- Autoevaluación 3.1
- Autoevaluación 3.2
- Autoevaluación 3.3
- Autoevaluación 3.4
- Autoevaluación 3.5
- Solución a la autoevaluación 3.1
- Solución a la autoevaluación 3.2
- Solución a la autoevaluación 3.3
- Solución a la autoevaluación 3.4
- Solución a la autoevaluación 3.5
- Capítulo 4 Métodos de integración
- 4.1 Antiderivadas...................................................................................................... - Actividad 4.1.1 - Procedimiento 4.1............................................................................. - Ejemplo de aplicación del procedimiento 4.1
- 4.2 Métodos de integración
- Integración por sustitución directa
- Procedimiento 4.2.............................................................................
- Ejercicios 4.1
- Integrales que no son antiderivadas directas
- Actividad 4.2.1
- Procedimiento 4.3.............................................................................
- Ejemplos de aplicación del procedimiento 4.3
- Actividad 4.2.2
- Integración por partes
- Integrales trigonométricas
- Actividad 4.2.3
- Ejercicios 4.3
- Actividad 4.2.4
- Integrales por sustitución a variable trigonométrica
- Procedimiento 4.4.............................................................................
- Ejemplo de aplicación del procedimiento 4.4
- Ejercicios 4.4 VI w C ÁLCULO INTEGRAL EN COMPETENCIAS
- Actividad 4.2.5
- Actividad 4.2.6
- Actividad 4.2.7
- Integrales por fracciones parciales
- Procedimiento 4.5.............................................................................
- Ejemplo de aplicación del procedimiento 4.5
- Procedimiento 4.6.............................................................................
- Ejemplo de aplicación del procedimiento 4.6
- Procedimiento 4.7.............................................................................
- Ejemplo de aplicación del procedimiento 4.7
- Procedimiento 4.8.............................................................................
- Ejemplo de aplicación del procedimiento 4.8
- Ejercicios 4.5
- Actividad 4.2.8
- Integrales mediante el uso de tablas........................................................
- Ejercicios 4.6
- Autoevaluación 4.1
- Autoevaluación 4.2
- Autoevaluación 4.3
- Autoevaluación 4.4
- Autoevaluación 4.5
- Autoevaluación 4.6
- Autoevaluación 4.7
- Autoevaluación 4.8
- Autoevaluación 4.9
- Solución a la autoevaluación 4.1
- Solución a la autoevaluación 4.2
- Solución a la autoevaluación 4.3
- Solución a la autoevaluación 4.4
- Solución a la autoevaluación 4.5
- Solución a la autoevaluación 4.6
- Solución a la autoevaluación 4.7
- Solución a la autoevaluación 4.8
- Solución a la autoevaluación 4.9
- Capítulo 5 Integral definida
- 5.1 Sumas de Riemann - Actividad 5.1.1 - Actividad 5.1.2 - Aplicación 5.1.1 - Actividad 5.1.3
- Teorema del valor medio para integrales................................................
- 5.2 Teorema fundamental del cálculo C ONTENIDO w VII - Actividad 5.2.1 - Actividad 5.2.2 - Aplicación 5.2.1 - Aplicación 5.2.2
- Propiedades de la integral definida
- Actividad 5.2.3
- Ejercicios 5.1
- Autoevaluación 5.1
- Autoevaluación 5.2
- Autoevaluación 5.3
- Autoevaluación 5.4
- Solución a la autoevaluación 5.1
- Solución a la autoevaluación 5.2
- Solución a la autoevaluación 5.3
- Solución a la autoevaluación 5.4
- 5.3 Integral impropia - Actividad 5.3.1 - Actividad 5.3.2 - Aplicación 5.3.1 - Actividad 5.3.3 - Aplicación 5.3.2
- 5.4 Tópicos adicionales sobre integrales impropias - Ejercicios 5.2 - Autoevaluación 5.5 - Autoevaluación 5.6 - Autoevaluación 5.7 - Solución a la autoevaluación 5.5 - Solución a la autoevaluación 5.6 - Solución a la autoevaluación 5.7
- Capítulo 6 Aplicaciones de la integral..........................................
- 6.1 Aplicaciones de la integral - Actividad 6.1.1 - Aplicación 6.1.1
- 6.2 Área entre curvas - Actividad 6.2.1
- 6.3 Longitud de arco - Actividad 6.3.1
- 6.4 Volumen de sólidos......................................................................................... - Actividad 6.4.1
- Método de discos
- Método de cilindros o casquillos................................................................
- Aplicación 6.4.1
- Actividad 6.4.2 VIII w C ÁLCULO INTEGRAL EN COMPETENCIAS
- 6.5 Centroides y momentos - Aplicación 6.5.1 - Aplicación 6.5.2
- 6.6 Otras aplicaciones de la integral - Aplicación 6.6.1 - Aplicación 6.6.2 - Actividad 6.6.1 - Ejercicios 6.1 - Autoevaluación 6.1 - Autoevaluación 6.2 - Autoevaluación 6.3 - Autoevaluación 6.4 - Autoevaluación 6.5 - Solución a la autoevaluación 6.1 - Solución a la autoevaluación 6.2 - Solución a la autoevaluación 6.3 - Solución a la autoevaluación 6.4 - Solución a la autoevaluación 6.5
- Capítulo 7 Sucesiones y series
- 7.1 Sucesiones y series - Actividad 7.1.1.....................................................................................
- 7.2 Sucesiones.......................................................................................................... - Actividad 7.2.1..................................................................................... - Aplicación 7.2.1 - Aplicación 7.2.2
- 7.3 Definición de sucesión...................................................................................
- Convergencia de una sucesión
- 7.4 Acercamiento a las series.............................................................................. - Actividad 7.4.1..................................................................................... - Aplicación 7.4.1
- 7.5 Series
- Serie aritmética y serie geométrica
- Convergencia y divergencia de series
- 7.6 Algo más sobre series - Actividad 7.6.1..................................................................................... - Aplicación 7.6.1
- Series de potencias
- Convergencia de la serie de potencias
- Series de Maclaurin y Taylor
- Aplicación 7.6.2
- Actividad 7.6.2.....................................................................................
- Ejercicios 7.1 C ONTENIDO w IX
- Autoevaluación 7.1
- Autoevaluación 7.2
- Autoevaluación 7.3
- Autoevaluación 7.4
- Autoevaluación 7.5
- Autoevaluación 7.6
- Solución a la autoevaluación 7.1
- Solución a la autoevaluación 7.2
- Solución a la autoevaluación 7.3
- Solución a la autoevaluación 7.4
- Solución a la autoevaluación 7.5
X w^ C^ ÁLCULO^ INTEGRAL^ EN^ COMPETENCIAS
XII w^ C^ ÁLCULO^ INTEGRAL^ EN^ COMPETENCIAS
YLRVSDUDLUFRQVWUX\HQGRORVQXHYRV\DÀQiQGRORVSRFR a poco, por medio de actividades de aprendizaje. No se abandona la teoría necesaria para fortalecer tu conoci- miento y se realizan ejercicios que permiten manipular DOREMHWRGHPDQHUDDOJHEUDLFDRJUiÀFD/DVÁHFKDVGHOD ÀJXUD,WHPDUFDQODOLEHUWDGGHOFDPLQR
Es importante construir nuevas competencias es- SHFtÀFDV SHUR UHVXOWD FUXFLDO VRSRUWDU \ IRUWDOHFHU WXV competencias genéricas para poder manifestarlas en desempeños por medio de la actividad presencial u ob- servable a través de la calidad de los productos que cons- truyas de manera individual o en equipo. Recuerda que se deben fortalecer de manera integral y sin desprenderse los tres elementos que se movilizan en una competencia: las actitudes, los conocimientos y el saber hacer; como se REVHUYDHQODÀJXUD,,1RKD\PXFKRVHMHUFLFLRV\DTXH lo importante es comprender el concepto bajo estudio y verlo en acción. Y no olviden colegas profesores que este WH[WRQRHVOLQHDOODJXtDHVODÀJXUD,
El texto es, además, un libro de trabajo que permite trazar el calendario de las actividades en el mismo. Las WDEODVJXtDGHU~EULFDFRPRODVPRVWUDGDVHQODÀJXUD,,, te auxiliarán en todo momento, ya que te indican en cada actividad cuáles son las competencias genéricas que se fortalecen y qué aspectos se habrán de observar para evaluar la competencia. Desde luego, la clase es siempre abierta y caben en el curso muchas más evidencias adicionales o sustitutas a las presentadas, ya que ésta es solo una guía de discusión para la clase.
Carlos García Franchini Martha Alvarado Arellano
Cada guía para rúbrica, indica el tipo de ac- tividad a realizar y si se recomienda como trabajo extraclase o para reflexión grupal. Además, señala si el desempeño será ob- servable en el producto o en las activida- des, así como las actitudes que se espera fortalecer y los criterios de calidad que se promoverá para evaluar cada evidencia. En cuanto a la sección característica del producto, ésta permite las anotacio- nes del programa propio, y finalmente se aporta una serie de sugerencias sobre actividades de clase, de búsqueda, de ampliación de contenidos, de posibles proyectos, etcétera.
FIGURA III. Guía para rúbrica.
APLICACIÓN 4.1. ACTIVIDADCON COMPAÑEROS PARA REFLEXIONAR Y FACILITADOR Y COMENTAR. Actitudes u u InGustertéo por expresar mas por los fenómenos o eventemáticamentos de la globalidadte los fenómenos econ. ó- micos. Desempeños u Exposición de los datos y síntesis de la información. Productos u No necesario. Criterios de calidad i. Closomen índices en la bolsa de valorestarios de reflexión en clase sobre la na. turaleza de iii.^ ii.^ CBiúta de fuensqueda deltes consul tema de datadastos econ. ómicos de la bolsa de valores. Características del producto } } ExIndividualtensión: una cuar ® Equipotilla .® } } Fecha de enObligatorio ®trega: Optativo ® Sugerencias } } ProducEquipos deto op ttres personasativo en equipo.. } Que los equipos expongan sus dade manera muy breve, respecto de empresas regionales quetos y posición en el tema, coticen en la bolsa.
ACTIVIDAD 4.1. E VALUACIÓN POR PRODUCTO. Actitudes u u Limpieza y exacGusto por emplear el lenguaje grtitud de los trazos en las gráfico como paráficas.te de las ma- temáticas. Productos u Reflexi trazo de losón sobre el tres ejemplos trazo de la derivada por el m. étodo gráfico; Criterios de calidad ii.^ i.^ RespuesTrazo gráta correcfico de la derivada de losta a las^ tres pregun tres ejemplostas.. iii. iv. Trazo correcAplicación correcto de lasta del procedimien tangentes. to 4. 1. 3. Características del producto } } ExIndividualtensión: libre ® .Equipo ® } } Fecha de enObligatorio ®trega: Optativo ® Sugerencias: } } ProducMeditar cto obligaómo setorio individual trazan en la compu. tadora las gráficas de la derivada a una curva.
I. ANEXO. FORMULARIO
Axiomas de los números reales:
Axioma 0a: Propiedad de cerradura de la suma: para cada x y y , números reales, la suma x 1 y es otro número real.
Axioma 0p: Propiedad de cerradura del producto: para cada x y y , números reales, el producto xy es un número real.
Axioma 1: Propiedad conmutativa de la suma:
x 1 y 5 y 1 x
Axioma 2: Propiedad asociativa de la suma:
x 1 ( y 1 z ) 5 ( x 1 y ) 1 z
Axioma 3: Existencia del elemento neutro aditivo. Existe un número real único 0 tal que:
0 1 x 5 x 1 0 5 x
Axioma 4: Existencia del inverso aditivo: Para cada número real x existe un número real 2 x tal que
x 1 ( 2 x ) 5 ( 2 x ) 1 x 5 0
Axioma 5: Propiedad conmutativa del producto:
xy 5 yx
Axioma 6: Propiedad asociativa del producto:
x ( yz ) 5 ( xy ) z
Axioma 7: Existencia del elemento neutro multiplicativo: Existe un número real único, 1 diferente de 0, tal que
1 x 5 x 1 5 x
Axioma 8: Existencia del inverso multiplicativo o recíproco: Para cada número real x , pero no para el cero, existe un número x ^1 tal que:
xx ^1 5 x ^1 x 5 1
Axioma 9: Propiedad distributiva:
x ( y 1 z ) 5 xy 1 xz
XIII
I. A NEXO: FORMULARIO w (^) XV
T1. 14
a b
c d
ac bd
⎝⎜^
⎝⎜^
⎠⎟ =^
si b? 0 y d? 0.
T1. 15
a b c d
ad bc
⎝⎜^
⎝⎜^
si b? 0, c? 0 y d? 0.
T1. 16 Si a? 0, a^2. 0.
T1. 17 1. 0.
T1. 18 Si a , b y c , 0, es ac. bc.
T1. 19 Si a , b , es 2 a. 2 b. En particular, si a , 0, es 2 a. 0.
T1. 20 Si ab. 0, entonces a y b son ambos positivos o ambos negativos.
T1. 21 Si a , c y b , d , entonces a b , c 1 d.
T1. 22 Si a $ 0, es | x | # a , si y sólo si 2 a # x # a.
T1. 23 Si | x |. a , se sigue que o x , 2 a o x. a.
T1. 24 Desigualdad del triángulo. Para x y y números reales: | x 1 y | # | x | 1 | y |.
T1. 25 a^2 = a
Exponentes
E1 x n^ xm^ " xn^ ^ m
E
x x
x
n m = n^ − m
E3 ( x n ) m^ " xnm
E 4
x n^ =^ x − n
E5 ( xy ) n^ " xn^ yn
E
x y
x y
n (^) n
n
⎠⎟^
E6 x 1 2/^ = x
XVI w^ C^ ÁLCULO^ INTEGRAL^ EN^ COMPETENCIAS
E7 x 1/ n^^ = nx
E8 x n^ m^ m^ x n m^ x / n = = (^ )
E9 xy xy xy x y
n m (^) m n m n^ m (^) nm n ( ) =^ ( ) = ( ) =
/
E10 n^ mx = nmx
E
x y
x y
n n
= n ; y? 0.
Álgebra
A1 ( x 6 y ) 2 5 x^2 6 2 xy 1 y^2
A2 ( x 1 y )( x 2 y ) 5 x^2 2 y^2
A3 ( x 6 y ) 3 5 x^3 6 3 x^2 y 1 3 xy^2 6 y^3
A 4 x^3 6 y^3 5 ( x 1 y )( x^2 7 xy 1 y^2 )
A5 n! 5 n ( n 2 1)( n 2 2)...
A6 0! 5 1
A7 n! 5 n ( n 2 1)!
A
n k
n k n k
n n n k k
⎛ n n ⎝
⎟ =^ ( (^) − ) =^
( (^) − )… ( (^) − + )
! (^ − ) !!!
1 1 1 …… (^ + ) ( (^) − )
k n k
A
n k
n n k
⎟ =^ −
A
n n
⎛ n ⎝
0 ⎟ =^1
A
i
n ai a a an =
∑ =^ +^ +^ + 1
A11 x y
n k
x y
n
k
n ( + ) =^ ⎛ k^ n^ k ⎝
=
− ∑ 0
x y x nx y
n n x y
n k
n (^) n n n
k
n ( + ) =^ +^ +^
=
∑
1 2 2
0
⎜⎜
⎟⎟ x yk^ n −^^ k^ + + nxy n^ −^1 + yn
XVIII w^ C^ ÁLCULO^ INTEGRAL^ EN^ COMPETENCIAS
G2 Área del triángulo: A
bh
2
G3 Área del trapecio: A
b d = h
( (^) + ) 2
G 4 Área del círculo: A 5 p r^2
G5 Perímetro de la circunferencia: P 5 2 p r
G6 Arco de círculo: s 5 r u, u radianes.
G7 Área de sector circular: A
r 2
2 5
u , u radianes.
G8 Área de la esfera: A 5 4 p r^2
G9 Volumen de la esfera: V r
5 p^3
h
b FIGURA I.2 Triángulo.
d
h
b FIGURA I.3 Trapecio.
r
s
θ
FIGURA I.4 Arco y sector circular.
I. A NEXO: FORMULARIO w (^) XIX
G10 Volumen del cilindro: V 5 p r^2 h
G11 Volumen de pirámide: V^ =^ A^ h
3 base
G12 Volumen del cono: V r h
= p^2
Geometría analítica
Ga1 Distancia entre los puntos ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ):
d = (^) ( x (^) 2 − x (^) 1 ) + (^) ( y − y )
2 2 1
2
Ga2 Coordenadas del punto medio entre los puntos ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ):
x
x x
, y
y y
r
h
FIGURA I.5 Cilindro.
base
h
FIGURA I.6 Pirámide (cono) genérica.
h
r
FIGURA I.7 Cono.
