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3. Equações Algébricas
3.1 Introdução
Em muitos problemas de Ciência e Engenharia há necessidade de se determinar um número ξ para o qual um número ξ para o qual uma função f(x) seja zero, ou seja, f(ξ) = 0. Este número ξ é chamado de raiz da equação f(x) = 0 ou zero da função f(x). As equações algébricas de 1^0 e 2^0 grau, certas classes de 3^0 e 4^0 graus e algumas equações transcendentes podem ter suas raízes computadas exatamente através de métodos analíticos, mas para polinômios de grau superior a quatro e para a grande maioria das equações transcendentes o problema só pode ser resolvido por métodos que aproximam as soluções. Embora esses métodos não forneçam raízes exatas, elas podem ser calculadas com a exatidão que o problema requeira, desde que certa condições sobre f sejam satisfeitas. Para se calcular uma raiz duas etapas devem ser seguidas: i) Isolar a raiz, ou seja, achar um intervalo [a, b], o menor possível, que contenha uma e somente uma raiz da equação f(x) = 0. ii) Melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la até o grau de exatidão requerido.
3.2 Isolamento de Raízes
Segue um importante teorema da álgebra para o isolamento de raízes.
Teorema 3.1 : Se uma função contínua f(x) assume valores de sinais opostos nos pontos extremos do intervalo [a, b], isto é, f(a). f(b) < 0, então o intervalo conterá, no mínimo, uma raiz da equação f(x) = 0, em outras palavras haverá, no mínimo, um número ξ (a, b) tal que f(ξ) = 0.
3.2.1 Equações Algébricas
3.2.1.1 Propriedades Gerais
Seja uma equação algébrica de grau n (n ≥ 1):
P(x) = anxn^ + an-1xn-1^ + ... + a 1 x^1 + a 0 = 0 onde os coeficientes ai são números reais e an ≠ 0
Teorema 3.2: ( teorema fundamental da algébra ) uma equação algébrica de grau n tem exatamente n raízes, reais ou complexas, desde que cada raiz seja contado de acordo com sua multiplicidade.
Teorema 3.3: se os coeficientes da equação algébrica são todos reais, então as raízes complexas desta equação são complexos conjugados em pares, isto é, se ξ 1 = α + βi é uma raiz, então o número ξ 2 = α – βi também é raiz desta equação e tem a mesma multiplicidade de ξ 1.
Corolário 3.1: uma equação algébrica de grau ímpar com coeficientes reais tem, no mínimo, uma raiz real.
3.2.1.2 Valor Numérico de um Polinômio
Dado um polinômio P(x) , um problema que se coloca é o de calcular o valor de P(x) para x = x 0 , ou seja, P(x 0 ). Este problema aparece, por exemplo, quando se quer isolar uma raiz. Para calcular P(x 0 ) sendo P(x) de grau n , será necessário n.(n + 1)/2 multiplicações e n adições. Se o grau de P(x) for muito grande (vamos supor n = 20), o cálculo de P(x 0 ) , além de se tornar muito laborioso, é também, ineficientes em termos computacionais.
Avaliando em P(x) = 3x^9 + 2x^8 – 10x^7 + 2x^6 – 15x^5 – 3x^4 + 2x^3 – 16x 2 + 3x – 5
Para P(2) = 3.2^9 + 2.2^8 – 10.2^7 + 2.2^6 – 15.2^5 – 3.2^4 + 2.2^3 – 16.2^2 + 3.2 – 5 P(2) = 321
Número de operações: multiplicações = 9.(9 + 1)/2 = 45 Adições = 9
3.2.1.3 Método de Briot-Ruffini
Seja uma equação algébrica de grau n (n ≥ 1), tal que,
P(x) = anxn^ + an-1xn-1^ + ... + a 1 x^1 + a 0 = 0 onde os coeficientes ai são números reais e an ≠ 0
Para calcularmos um valor numérico de P(x) podemos utilizar o dispositivo prático de Briot-Ruffini, assim:
Outro exemplo: Calcular o valor numérico para x = 2 no polinômio P(x) = 3x^9 + 2x^8 – 10x^7 + 2x^6 – 15x^5 – 3x^4 + 2x^3 – 16x 2 + 3x – 5.
3.2.1.5 Os limites das raízes reais
Consideremos o polinômio P(x), tal que: P(x) = anxn^ + an-1xn-1^ + ... + a 1 x^1 + a 0 = 0 onde os coeficientes ai são números reais e an ≠ 0 Será visto a seguir, um teorema que permite delimitar as raízes da equação P(x) = 0.
Teorema 3.4: (teorema de Lagrange) Sejam an>0, a 0 ≠ 0 e sendo k (0 ≤ k ≤n-1) o maior índice escolhido dentre os índices dos coeficientes negativos do polinômio P(x) , então o limite superior das raízes positivas LSRP de P(x) = 0 pode ser dado por:
Onde B é o valor absoluto do maior coeficiente negativo, em módulo. Assim, se ξp é a maior das raízes positivas, então ξp ≤ L. Se os coeficientes de P(x) forem todos negativos, então P(x) não terá raízes positivas.
ou seja, a partir de x = 4,46 o polinômio não tem raízes (ou zeros).
Limite Inferior das Raízes Positivas LIRP
Sejam ξ 1 , ξ 2 , ..., ξn as raízes de P(x) = 0. Logo:
P(x) = an(x – ξ 1 ).(x – ξ 2 ) ... (x – ξn) = 0 Para determinarmos o limite inferior das raízes positivas de P(x) = 0, basta substituirmos x por 1/x em P(x) = 0 e aplicarmos o Teorema de Lagrange à equação resultante. O inverso do limite obtido será, então, o limite inferior das raízes positivas de P(x) = 0. Mais especificamente, seja a equação auxiliar P 1 (x) = xnP(1/x) = 0.
Limite Inferior das Raízes Negativas (LIRN)
Dispositivo prático:
- a 0 – 12 – n = 5 P(x) P 1 (x) P 2 (x) P 3 (x) - a 1 20 – 3 20 – - a 2 – - a 3 – 9 1 – - a 4 3 – 20 – 3 – - a - k
- n – k - B - Li 4,46 2,66 10 2,
- Lξ 4,46 1/2,66 = 0,37 – 10 – 1/2,66 = – 0,
