Pré-visualização parcial do texto
Baixe Calculo Variacional e outras Notas de estudo em PDF para Análise de Sistemas de Engenharia, somente na Docsity!
RARIDADE Cálculo Variacional 1. Introdução história do Cálculo Variacional re- monta à Antigúidade, especifica- mente à fundação da cidade de Car- tago. Segundo Virgílio, a rainha Dido ordenou aos seus engenheiros a cons- trução de uma cidade banhada pelo Mar Mediterrâneo. Quando os construtores perguntaram o tamanho da cidade, a rai- nha simplesmente respondeu: “... do couro de um boi adulto de- verão ser cortadas tantas tiras quanto for possível. Emendem umas às outras. Com o compri- mento resultante, cerquem a má- xima área possível. Será o tama- nho da futura cidade de Carta- EO... A solução desse problema isoperimé- trico mitológico foi obtida pelos matemá- ticos da época por meio da tentativa e er- ro: concluíram ser o semicírculo a máxi- ma delimitação de área. siste nad Da ça sem MEDITERRÂNEO seo. RS e A - Resquícios do exercício aparecem nas matemáticas egípcia e chinesa, que inda- gavam áreas máximas ou mínimas de geometrias conhecidas. em 97] Aguinaldo Prandini Ricieri “iu. Qual é a figura de área máxi- ma que pode ser construída com um fio de 90 côvados de compri- mento? ..” Em linguagem mais precisa: das figu- ras de mesmo perímetro P, qual tem área máxima? Observe a solução grega do problema. A=(P3y)v3I4 A = 0,048] P? P/3 Piá A=Pj4-Pj4 Pia é A = 0,0625 P? Pis Prá A = 6(P/6 v3 14 A = 0,0721 P? Pj6 A = q (Play A = 0,0796 P2 Das figuras isoperimétricas propostas, o círculo é a que tem maior área. Willebord Sneel, em 1626, e René Descartes, em 1630, concluíram experi- mentalmente que, quando a luz reflete em um espelho, o ângulo de reflexão é igual ao de incidência. Na refração da luz, proveniente do ar (velocidade V1) para a água (velocidade V5), o seno do ângulo de incidência dividido pelo seno do ângulo de refração é uma constante que Huygens, em 1690, provou ser igual ao quociente Vy/Va. E Lei da Reflexão Lei da Refração Fermat, em carta para o matemático Roberval, datada de 22 de setembro de 1636, segunda-feira, questiona o porquê dessas leis: “.. O que comunicam as leis da reflexão e da refração? Será que essas manifestações da natureza (physis) não seriam resultados , de uma busca de minimos ou má- irmos?” Sem dúvida, eis o momento em que nasce o Cálculo Variacional, Pierre Fer- mat desconfia de que existe, por trás das leis físicas, princípios de mínimo ou de máximo. Reflexão Dados um espelho de l0m de com- primento e dois pontos A (2m) e B (5m) Jixos. ESPELHO em 1ôm Um raio de luz proveniente de A re- Flete-se no espelho e se dirige para o ponto B, de modo a que o percurso (P) da luz seja o menor possível. B 5m em Om Algumas trajetórias possíveis Isto é: Em que ponto x do espelho a luz deverá se refletir E a Ed E e ye 10-x —sl para que O seu percurso (P) seja minimi- zado? Percurso da luzentreÃe B Espaço Velocidade To) = Tempo de propagação da luz entre À e B. 79 Tempa(Th E 5 8. Incidência(x) Refração: Minimização do Tempo O ponto de mínimo do gráfico é con- seguido quando igualamos a derivada de Tíx) a zero: To x s x— 10 Est de 3XI0B NAL 2X108W25 4 (10-x% 10 —- x 2X 108 V25+(10-92 X 3x 1084/44? Essa lei decorre, portanto, do fato de a luz viajar entre dois meios ópticos no menor tempo possível. Do ponto de vista da otimização, os cientistas do final do século XVII, ali- cerçados nos resultados de Fermat, pas- saram a acreditar que todos os outros ob- jetos da física: É = ma, Q = meAT, PV nRT etc., também poderiam ser gerados mediante a imposição dos princípios de minimização ou maximi- zação. 8 OQ próximo avanço no cálculo varia- cional foi dado por Newton em 1686, no seu Principia, quando indagou: “.. qual é o sólido de revolução que se movimenta no ar com míni- ma resistência?...'” Apesar de haver sugerido uma solução errada, no entender da moderna aero- dinâmica, o esforço de Newton em re- solver o probléma resultou na pergunta formulada por Jean Bernoulli, em 1696: “.. Um corpo, apenas sob a ação da gravidade, desliza ao longo de uma curva lisa. Qual deverá ser a sua forma para que o tempo de deslocamento entre dois pontos fi- xos, A ce B, seja mínimo?”. vh —- X Esse problema, conhecido por Bra- chistochrone (onde: Brachisto = menor + Chrone = tempo), ou seja, tempo me- nor, foi proposto por Bernoulli como um desafio aos matemáticos de toda a Euro- pa. O resultado, isto é, a curva (ciclóide) que resolve a dúvida foi encontrada por Newton, Leibniz, Jacob Bernoulli, Euler, M. Le Blanc e outros. O próprio Jean Bernoulli solucionaria seu problema. 2. Cálculo Variacional Na primeira metade do século XVIII, surgiu no cenário científico um persona- gem polêmico. Dos seus quase 500 arti- gos publicados, uns diziam tratar-se de estudos fundamentais para o desenvol- vimento da Matemática, enquanto outros contra-argumentavam, afirmando que Leonhard Euler não escrevia nada de importante. Para se ter uma idéia de co- mo era O seu relacionamento com os ma- temáticos da época, basta apreciar a cbr- Tespondência entre Lagrange e D'Alem- bert a respeito do livro que escreveu em 1748: Cartas a uma Princesa da Alema- nha. Lagrange escreveu a D'Alembert: “+ - não demorarei em enviar o novo trabalho de Euler, que trata de sua. correspondência com a princesa D'Anhalt Nassau, conhe- cida na corte prussiana tomo Charlotie Ludovica Luise de Nas- sau. Só não anexei o livro a esta correspondência por ser volumoso (...) esse trabalho não tem nenhum mérito a não ser (...)" D'Alembert respondeu semanas de- pois: “ quanto ao livro de Euler, desne- cessário remetê-lo, pois já tenho um exemplar (...) o matemático (Euler) precipitou-se ao imprimir esse escândalo (...) filosofar com uma menina de 15 anos? Euler é muito pobre em metafísica (...)'” LETTRES A UNE PRINCESSE DALLEMAGNE SUE DIVERS SUJETS de PHFSIQUE & do PHILOSOPHIE my TOME PREMIER A.SAINT PETERSBOURG de Fimpriraçeia de TAcademio Irmpériddo dor Siemens M DCCLX VUL Apesar dessas opiniões desfavoráveis sobre o talento de Euler, o seu Curva- rum Maximi Minimive Proprietat Gau- dentium Inventio (Alegria de Ter Des- coberto Curvas com Propriedades de Mi- nimização e Maximização), não passou despercebido, mesmo na primeira pu- blicação, em 1741. Esse estudo de Euler, aliás, se encai- Xaria perfeitamente nos resultados de Lagrange, M. Le Blanc e D'Alembert. Euler questionaria: “.. qual a curva (fj) que liga os pontos fixos A e B com menor distância?"... es “.. qual a curva (fo) que, giran- do em torno do eixo x, produz um sólido de revolução de máximo volume? ...”” A “qual a curva (f3) que, rodada em torno do eixo y, gera um sólido de revolução de máxima resistên- cia à deformação para uma força F aplicada? ...* 4. Aplicação Suponha que parte de certa consulto- ria seja ligar dois pontos no espaço, A e 8, por uma curva que, girando ao redor do eixo x, produza um sólido de revo- lução. fix) 201716 3,762 (o) Sabemos que a área lateral (S) do só- lido, o comprimento da curva (C), o vó- lume (V) e a área abaixo da função (A) são dados pelas seguintes integrais: S =P 2ufx) VT + [POP dx C=Jv1 TIPO dx z V=fêa HP dx A =SEx)dx Entre as funções: cosseno hiperbólico, parábola, reta, logaritmo, seno e cúbica, qual produzirá a maximização ou a mi- nimização das integrais S,C, VC A? e Catenária f(x) = cos hx ri=/Olm Área lateral Comprimento da curva Volume Área abaixo da curva € Parábola f(x) = 6,186 x? — 20,982 150. 100, so, Área lateral Comprimento da curva Volume ej=
