Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Espacial
Professor Hans
Aula 4: Vetores no Espaço - Teoria
O Vetor
Considere o segmento orientado AB na figura abaixo.
A B
Observe que o segmento orientado AB é caracterizado
por três aspectos bastante definidos:
• comprimento (denominado módulo)
• direção
• sentido (de A para B)
Chama-se vetor ao conjunto infinito de todos os
segmentos orientados equipolentes a AB, ou seja, o
conjunto infinito de todos os segmentos orientados que
possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o
mesmo sentido de AB. Assim, a idéia de vetor nos levaria
a uma representação do tipo:
...
...
Na prática, para representar um vetor, tomamos apenas
um dos infinitos segmentos orientados que o compõe.
Sendo “u” um vetor genérico, o representamos pelo
símbolo: u
r
Podemos classificar os vetores em três tipos fundamentais:
Vetor Livre - aquele que fica completamente caracterizado,
conhecendo-se o seu módulo, a sua direção e o seu sentido.
Exemplo: o vetor u das figuras acima.
r
Vetor Deslizante ou Cursores - aquele que para ficar
completamente caracterizado, devemos conhecer além da
sua direção, do seu módulo e do seu sentido, também a reta
suporte que o contém.
Notação: ( , r) - vetor deslizante (cursor) cujo suporte é a
reta r. Exemplo:
u
r
Vetor Ligado ou Vetor de Posição - aquele que para ficar
completamente caracterizado, devemos conhecer além da
sua direção, módulo e sentido, também o ponto no qual
está localizado a sua origem.
Notação: ( u, O) - vetor ligado ao ponto O. Exemplo:
r
Vetor Oposto
Dado o vetor u
r
, existe o vetor - , que possui o
mesmo módulo e mesma direção do vetor u
u
r
r
, porém, de
sentido oposto.
Vetor Unitário (Versor)
Chamaremos de versor ou vetor unitário, ao vetor cujo
módulo seja igual à unidade, ou seja:
|u
r
| = u = 1.
Vetor Nulo
Vetor de módulo igual a zero, de direção e sentido
indeterminados.
Notação:
0
r
Projeção de um Vetor Sobre Um Eixo
Veja a figura abaixo, na qual o vetor u
r
forma um
ângulo θ com o eixo r.
Teremos que o vetor
x
u
r será a componente de u
r
segundo o eixo r , de medida algébrica igual a:
ux = u . cos θ
Observe que se θ = 90º, teremos cos θ = 0 e, portanto,
a projeção do vetor segundo o eixo r, será nula.
Notação de Grassmann Para os Vetores
Considere o vetor u
r
na figura abaixo, sendo A a
extremidade inicial e B a extremidade final do vetor.
Grassmann (matemático alemão - 1809/1877)
interpretou a situação, como o ponto B obtido do ponto A,
através de uma translação de vetor . Assim, pode-se
escrever:
u
r
B = A +
u
r
e, portanto, pode-se escrever também:
u
r
= B – A ou
A
BBA=−
ruuu
Esta interpretação, um vetor enxergado como uma
diferença de dois pontos, permitirá a simplificação na
resolução de questões.
