Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Espacial
Professor Hans
Aula 4: Vetores no Espaço - Exercícios
1) Sendo A = (0, 2, 3), B = (-2, 3, 3), C = (1,0, 3) e
D = (3, -1, 3). Determinar as coordenadas dos vetores:
A
B
uuur, ,
CD
uuur
A
C
uuur e
B
D
uuur .
2) Dados e ,
determine a e b para que uv.
(2 5, 3)uab=+−
r
=
rr (2,1vb a=+ −
r)
t
3) Dados e
(² , 2)utt=−−
r(6,1 )v
=
−
r, determine t
para que uv. =
rr
4) Dados os vetores , e
, determine o vetor
(3,5,0)a=
r(1, 0, 0 )b=
r
( 3,6,0)c=−
r
x
r tal que:
1
23
x
ab c=−+
r
rr r
5) Resolver o sistema, sendo e
r.
(2,0, 1)a=−
r
(0, 3, 2)b=−
23
x
ya
x
yb
−=
⎧
⎪
⎨+=
⎪
⎩
r
rr
rrr
6) Calcular os vetores
x
r e
y
r, tais que:
2(0,10,
2 (5,5, 0)
xy
xy
+=
⎧
⎨−=
⎩
rr
rr 0)
7) Dado o conjunto de vetores, marque V para as
questões verdadeiras e F para as falsas.
a)
y
zs+=
rr
r.
b) ( )
x
wy−+
r
r
z+=
rr .
c)
y
wz++
rrr
sxu−=+
rr r
s++
rrr
ux
−+ +
rr
x=−
r
v
r
0x+=
r
r
yz
+ −
rr
.
d) .
e) uv .
f) . 0v
=
r
r
8) Dados três pontos não colineares ,
111(,,)Axyz=
222(, ,)
B
xyz= e Cx . Prove que o
baricentro G do triângulo ABC é dado por:
333(, , )yz=
1231 2 3123
(,,) , ,
333
x
xxyyyzzz
Gxyz ++ ++ ++
⎛⎞
=⎜⎟
⎝⎠
9) Represente num sistema Oxyz os vértices A, B, C,
D, E, F, G e H, de um paralelepípedo:
A (3, 0, 4), B (0, 0, 4), C (0, 8, 4), D (3, 8, 4),
E (3, 0, 0), F (0, 0, 0), G (0, 8, 0) e H (3, 8, 0).
10) Represente num sistema Oxyz o vetor
(1, 2, 3)v
=
r
com origem nos pontos:
a) O(0, 0, 0)
b) A(-3, -4, 0)
c) B(-2, 4, 2)
11) Determine o valor de z para que os vetores e
sejam paralelos: u
→v
→
u
→ = (-3 , 6, 1) e = ( 2, -4 , z)
v
→
12) Calcule a e b para que os seguintes vetores sejam
paralelos: (3 1,2, 4)ua
=
−
r
e
(2, ,2)vb=
r
13) Calcule a e b para que os seguintes vetores sejam
paralelos: (,1, 1)uab
=
+
r
e
(2, 1, )va=−
rb
14) Dado o vetor (3,2, 5)w
=
r
, determinar a e b de
modo que os vetores e
(3,2, 1)u=−
r
(,6,) 2vab w
=
+
r
r sejam paralelos.
Gabarito
1) (-2, 1, 0), (2, -1, 0), (1, -2, 0) e (5, -4, 0)
2) 1
3
a
=
e 11
3
b
=
3) t = 3 4)
(4,12,0)x=
r
5) 29
(, ,1)
55
x=−
r e 26
(,,1
55
y=− −
r)
6) (1, 5, 0 )x
=
r
e (2,0,0)y
=
−
r
7) a)F b)V c)V d)F e)F f) V
8) Demonstração
9)
10)Representação.
11)-2/3.
12) a = 5/3 e b = 1.
13) a = -1 e b = -2/3.
14) a = 9 e b = -15.