UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE - FURG
INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA - IMEF
NOTAS DE AULA - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Prof. Dr. André Meneghetti
Profa. Dra. Cinthya Meneghetti
(última atualização: 4 de Setembro de 2020)
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Cálculo Vetorial simples e fácil de entender, Manuais, Projetos, Pesquisas de Cálculo
Teoria completa para o cálculo vetorial. Apostila de autoria do professor Andre Meneghetti e da professora Cinthia Meneghetti, professores do IMEF, da FURG.
Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas
2020
1 / 161
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INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA - IMEF
NOTAS DE AULA - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Prof. Dr. André Meneghetti Profa. Dra. Cinthya Meneghetti (última atualização: 4 de Setembro de 2020)
Conteúdo
Prof. André Meneghetti - Profa. Cinthya Meneghetti
0 FUNÇÕES REAIS
0 Funções reais
Uma função é uma regra que associa elementos de um conjunto A e elementos de um conjunto B. Por definição, cada elemento de A deve ser associado a somente um elemento de B. Quando falamos em funções reais, subentende-se que A ⊆ R e B = R.
Em geral usa-se a seguinte notação: f : I ⊆ R → R
I é um subconjunto de R e é o domínio da função f. Lembre que R é o contradomínio que contém a imagem. Imagem é o conjunto formado por elementos do contradomínio que possuem correspondência com os elementos do domínio.
Exemplo 0.0.1. f : R → R onde f (t) = t^2.
f(t)=t^2
t
‡ domínio R ‡ contradomínio R ‡ imagem [0, ∞)
Exemplo 0.0.2. f :
k∈Z
π 2
- kπ,
π 2
- kπ
⊆ R → R onde f (t) = tg(t).
‡ domínio
k∈Z
π 2
- kπ,
π 2
- kπ
‡ contradomínio R ‡ imagem R
Prof. André Meneghetti - Profa. Cinthya Meneghetti
0 Funções reais
Exemplo 0.0.3. f : R → R onde f (t) = sen(t).
f(t)=sen(t)
t
‡ domínio R ‡ contradomínio R ‡ imagem [− 1 , 1]
Exemplo 0.0.4. f : R \ {− 1 , 1 } ⊆ R → R onde f (t) =
(t + 1)(t − 1)
f(t)= (^) (t+1)(t-1)^1
t
‡ domínio R \ {− 1 , 1 } ‡ contradomínio R ‡ imagem (−∞, −1] ∪ (0, ∞)
Exemplo 0.0.5. f : (0, ∞] ⊆ R → R onde f (t) = ln(t).
f(t)=ln(t)
t
‡ domínio (0, ∞) ‡ contradomínio R ‡ imagem R
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1.1 Domínio, imagem e contradomínio 1 FUNÇÕES VETORIAIS
1.1 Domínio, imagem e contradomínio
‡ Domínio de uma função vetorial de uma variável real.
Uma função vetorial de uma variável real é um vetor no qual cada componente é uma função real. Cada componente possui um domínio. O domínio que será atribuido a função vetorial deve ser a intersecção dos domínios das componentes.
Exemplo 1.1.1. Considere a função
f : I ⊆ R → R^2 definida por
f (t) =
t^2 ,
1 − t^2
Note que qualquer valor real pode ser atribuido a componente t^2 , no entanto apenas valores entre − 1 e 1 , inclusive, podem ser atribuidos a componente
1 − t^2. Portanto o maior intervalo que contempla valores para ambas as componentes é [− 1 , 1]. Portanto, esse é o domínio da função
f.
‡ Contradomínio de uma função vetorial de uma variável real.
Seja
f uma função vetorial de uma variável real, como definida em (1). Observe que −→ f : I ⊆ R → Rn. Isso significa que para cada valor atribuído a t a função associa um vetor de n dimensões. Esses vetores necessitam de um espaço de n dimensões para serem representados, ou seja, o contradomínio é o espaço Rn.
‡ Imagem de uma função vetorial de uma variável real.
Como foi dito anteriormente, a função f~ : I ⊆ R → Rn^ associa a cada t ∈ R um vetor de n dimensões. Ao percorrer todos os possíveis valores de t que o domínio permite, tem-se um conjunto de pontos (ou vetores) em Rn. Esse conjunto será a imagem da função
f.
Para n ≥ 2 , a imagem de uma função vetorial de uma variável real é sempre uma curva. Em particular, se o contradomínio for R^2 , esta curva é plana.
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1.1 Domínio, imagem e contradomínio 1 FUNÇÕES VETORIAIS
Exemplo 1.1.2. Seja
f : R → R^2 onde
f (t) = (t, 2 t). Este caso é parecido com as funções reais. A imagem é o conjunto de pontos do gráfico de f (t) = 2t.
‡ domínio: R ‡ contradomínio: R^2 ‡ imagem: é a reta {(t, 2 t)|t ∈ R}
Exemplo 1.1.3. Seja
f : R → R^2 onde
f (t) = (t, sen(t)).
‡ domínio: R ‡ contradomínio: R^2 ‡ imagem: é a senoide {(t, sen(t))|t ∈ R}
Observação 1.1. A imagem de uma função vetorialde uma variável real é sempre uma curva (plana ou espeacial).
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1.1 Domínio, imagem e contradomínio 1 FUNÇÕES VETORIAIS
Exemplo 1.1.6. Seja
f : R → R^2 onde
f (t) = (cos(t), sen(t))., pois os pontos (x, y) ∈ Im( f~ ) satisfazem a equação x^2 + y^2 = 1.
‡ domínio: R ‡ contradomínio: R^2 ‡ imagem: é círculo {(cos(t), sen(t))|t ∈ R}
Exemplo 1.1.7. Seja
f : R → R^3 onde
f (t) = (sen(t), cos(t), t).
‡ domínio: R ‡ contradomínio: R^3 ‡ imagem: é a hélice {(sen(t), cos(t), t)|t ∈ R}
Note que as duas primeiras coordenadas fazem o ponto girar, enquanto a terceira faz o ponto subir gerando, então, a hélice. Ao multiplicar o argumento t por um escalar, temos que a hélice possui um passo menor e gira mais rápido.
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1.2 Funções vetoriais de uma variável real 1 FUNÇÕES VETORIAIS
1.2 Funções vetoriais de uma variável real
Definição 1.1. Seja
f definida em (1). −→ f (t) = (f 1 (t), f 2 (t),... , fn(t)) Definimos:
‡ Limite
t^ lim→t 0
f (t) =
t^ lim→t 0 f 1 (t), (^) tlim→t 0 f 2 (t),... , (^) tlim→t 0 fn(t)
‡ Derivada
d dt
f (t) =
d dt
f 1 (t), d dt
f 2 (t),... , d dt
fn(t)
‡ Integral ∫ −→ f (t)dt =
f 1 (t)dt,
f 2 (t)dt,... ,
fn(t)
‡ Integral definida ∫ (^) b
a
f (t)dt =
(∫ (^) b
a
f 1 (t)dt,
∫ (^) b
a
f 2 (t)dt,... ,
∫ (^) b
a
fn(t)
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1.2 Funções vetoriais de uma variável real 1 FUNÇÕES VETORIAIS
Pela maneira que definimos em (3) temos
d dt
f (t) =
d dt
f 1 (t), d dt
f 2 (t),... , d dt
fn(t)
Usando a definição de derivada de funções reais, reecrevemos da seguinte maneira:
d dt
f (t) =
lim h→ 0
f 1 (t + h) − f 1 (t) h , lim h→ 0
f 2 (t + h) − f 2 (t) h ,... , lim h→ 0
fn(t + h) − fn(t) h
Aplicando propriedades de vetores e limites
d dt
f (t) = lim h→ 0
(f 1 (t + h) − f 1 (t), f 2 (t + h) − f 2 (t),... , fn(t + h) − fn(t)) h
d dt
f (t) = lim h→ 0
(f 1 (t + h), f 2 (t + h),... , fn(t + h)) − (f 1 (t), f 2 (t),... , fn(t)) h
d dt
f (t) = lim h→ 0
f (t + h) −
f (t) h (6)
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1.3 Interpretação geométrica da derivada 1 FUNÇÕES VETORIAIS
1.3 Interpretação geométrica da derivada
Seja
f : I ⊆ R → R^3. Quando variamos t (variável independente) a imagem de
f (t) = (f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t)) é uma curva em R^3.
Considere t 0 ∈ I fixo pense nos vetores f (t 0 ) e f (t 0 + h). A figura abaixo ilustra a situação.
domínio
t 0
f( +h)t 0
f( )t 0
f( +h)t 0 - f( )t 0
t (^) curva C
Nesta figura também é ilustrado o vetor diferença entre
f (t 0 + h) e
f (t 0 ), ou sim- plesmente o vetor
f (t 0 + h) −
f (t 0 ). É bastante intuitivo que quando h → 0 o vetor −→ f (t 0 + h) −
f (t 0 ) tende a ficar tangente a curva C.
Observe que o módulo do vetor
f (t 0 + h) −
f (t 0 ) tende a zero, no entanto a derivada −→ f ′^ (t 0 ) = lim h→ 0
f (t 0 + h) −
f (t 0 ) h
é um vetor paralelo e seu módulo em geral é difernte de zero.
f( +h)t 0
f( )t 0
f( +h)t 0 - f( )t 0
f( )t 0
f( +h)t 0 - f( )t 0 f( )'^ t 0 =hlim 0 h
curva C curva C
h 0
Ou seja, o vetor derivada
−→ f ′^ (t 0 ) = lim h→ 0
f (t 0 + h) −
f (t 0 ) h é tangente a curva C (que é a imagem de
f ) em
f (t 0 ).
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1.4 Equação vetorial de uma reta em Rn^1 FUNÇÕES VETORIAIS
1.4 Equação vetorial de uma reta em Rn
Para determinar a equação vetorial de uma reta em Rn, é preciso duas informações: i) um ponto em Rn^ onde a reta passa, ié, um vetor posição inicial
P 0 ;
ii) conhecer um vetor −→v ∈ Rn^ que seja paralelo a reta. Com estas informações, basta que a partir do vetor posição inicial
P 0 percorra-se na direção do vetor −→v. Chamando a reta de −→r , esse equação pode ser obtida da seguinte maneira:
−→r (t) = −→ P 0 + t−→v (7)
r(t) = P 0 + t v
P 0
v
espaço Rn
Exemplo 1.4.1. Determine a reta −→r (t) que passa pelo ponto
P 0 = (1, 2) e é paralela ao vetor −→v = (1, 1).
Conforme a equação (7)
−→r (t) = −→ P 0 + t−→v
−→r (t) = (1, 2) + t(1, 1).
Outra maneira de apresentar a solução:
−→r (t) = (1 + t, 2 + t).
y(t)
x(t)
1
1
r(t) = (1,2)+ t (1,1)
espaço R^2
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1.4 Equação vetorial de uma reta em Rn^1 FUNÇÕES VETORIAIS
Exemplo 1.4.2. Determine a reta −→r (t) que passa pelo ponto
P 0 = (1, 1 , 1) e é paralela ao vetor −→v = (0, 12 , 0).
Conforme a equação (7)
−→r (t) = −→ P 0 + t−→v
−→r (t) = (1, 1 , 1) + t(0, 1 2
Outra maneira de apresentar a solução:
−→r (t) = (1, 1 + t 2
y(t)
x(t)
1
1
z(t)
r(t) = (1,1,1)+ t (0, 21 ,0)
espaço R^3