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Capítulo 1
Representação de Sinais e Sistemas
1.1 Tipos de Sinais
Toda grandeza elétrica variável no tempo pode ser considerada um sinal elétrico (tensão, corrente), podendo ser classificado conforme o tipo de variação no tempo como:
Sinal finito: sinal não nulo apenas durante um tempo T finito.
f t ( ) ≠ 0 , t 1 (^) < t < t 2
Sinal periódico: sinal que se repete a cada intervalo de tempo T.
fT ( ) t = fT ( t + T ) = fT ( t − T ) = ... = fT ( t − nT ) n:= número inteiro
Sinal aleatório: sinal cuja definição apenas pode ser feita utilizando medidas estatísticas. .
Sinal determinístico : Sinal que pode ser completamente definido por uma equação matemática.
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
1
2
3
4
t
f(t)
t 1 t 2
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.
0
1
2
3
4
t
fT(t) T
-0.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.
-0.
-0.
-0.
-0.
0
t
f(t)
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
0
1
2
t
f(t)=sin(t)+2cos(2t)
Sinal Causal: É aquele que possui valor zero para todos os tempos negativos.
f t ( ) = 0 , t < 0
Sinal Não-Causal: É aquele que possui valor diferente de zero algum tempo negativo.
f t ( ) ≠ 0 , ∀ t < 0
Sinal Anti-Causal: É aquele que possui valor zero para todos os tempos positivos.
f t ( ) = 0 , t > 0
-5 0 5
**-
-**
0
2
4
6
8
t
Função Causal
f(t)
-5 0 5
**-
-**
0
2
4
6
8
t
Função Não-Causal
f(t)
-5 0 5
**-
-**
0
2
4
6
8
t
Função Anti-Causal
f(t)
1.3 Funções de Interesse
1.3.1. Função Degrau Unitário
A função degrau foi introduzida por Heaviside e é comumente referida na matemática como função ΦΦΦΦ de Heaviside, conforme a definição abaixo.
t u t t
^ <
A função u(t) não é definida para t=
Obs.: Em algumas aplicações, define-se u (0)=^12
1.3.2. Função Sinal
sgn( ) 1 , 0
t t t
^ >
Relações com a função degrau:
sgn( ) t = u t ( ) − u ( − t ) sgn( ) t = 2 ⋅ u t ( ) − 1 1 1 u t ( ) = 2 + 2 sgn( ) t
1.3.3. Função Pulso
t p t t ou t
∆
Relação com a função degrau:
[ ]
p ∆ (^) ( ) t = u t ( ) − u t ( − ∆) ∆
Área: p ( ). t dt 1 ,
+∞ −∞ ∆ =^ ∀ ∆
-2 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1.
-0.
0
1
2
x
Função Sinal
sgn(x)
-0.5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0.
1
x
Função Pulso - delta=
p2(x)
Função Pulso Retangular
Nos sistemas de comunicação digital é comum encontrar a representação do bit 1 por um pulso retangular com amplitude e duração definidas, portanto, faz-se necessário definir o pulso retangular ou Função Porta ( Gate ) de duração τ.
t G t t
τ
Relação com a função degrau:
G ( ) t u t ( (^) 2 ) u t ( 2 ) τ τ τ =^ +^ −^ −^ (1-4)
1.3.4. Função Impulso
A função impulso foi introduzida por Dirac, sendo que na matemática é conhecida como função δδδδ de Dirac.
t t t
δ
A função impulso pode ser definida também a partir da função pulso como:
0
δ ( ) t lim p ∆( ) t
∆→
Deste modo temos:
0 0 0
δ ( ). t dt lim p ( ) t dt lim p ( ) t dt lim 1 1
+∞ +∞ +∞ −∞ −∞ ∆^ −∞ ∆ ∆→ ∆→ ∆→
Também:
0 δ ( ). t dt (^) 0 δ( ). t dt 1
−
+∞ −∞ =^ = Logo: A função delta de Dirac possui amplitude ∞ em t=0 e área unitária
Relações com a função degrau:
0 0
( ) lim ( ) lim u t u t
δ t p ∆ t
∆→ ∆→
Logo: ( ) ( ) du t t dt
e ( ) ( ).
t
u t δ τ d τ
−∞
-5 0 5
**-
-**
0
2
4
6
8
t
Função Impulso
delta(t)
1.3.5. Onda Cossenoidal
A função cossenoidal é o sinal periódico utilizado para transportar a informação em diversos tipos de modulação, sendo que abaixo tem-se a onda cossenoidal de amplitude e período unitários, onde
- a amplitude corresponde ao valor máximo da onda cossenoidal, e
- o período ( T ) corresponde à duração de um ciclo completo da onda, sendo que
- a freqüência ( f ) da onda cossenoidal é o inverso do período (número de ciclos por segundo=Hz).
g t ( ) = cos(2 π t ) (1-10)
Neste exemplo:
ω = 2 π f = 1 T = 1
ω: Freqüência em [rad/s]
f : Freqüência em [Hz] T : Período em [s]
Relações Importantes: 1 T f
= ω = 2 π ⋅ f
T
1.3.6 Onda Senoidal
A onda senoidal está atrasada em relação à onda cossenoidal sendo deslocada de um intervalo de
tempo 4 ∆ T =^ T , ou de uma fase 2
φ = π radianos.
g t ( ) = sin(2 π⋅ t ) (1-11)
ou
g t ( ) = cos 2 ( π ⋅ ( t −^14 )) g t ( ) = cos 2 ( π ⋅ − t 2 π 14 )) = cos 2( π⋅ − t^ π 2 )
A fase em radianos pode ser calculada como: φ = ω⋅ ∆ T
1/
1.3.7 Onda Quadrada
A onda quadrada é formada pela superposição de infinitos pulsos retangulares deslocados no tempo de valores múltiplos do período da onda. A onda quadrada é utilizada para representar a função de chaveamento em circuitos moduladores. Abaixo tem-se a onda quadrada de amplitude e período unitários
p ( ) T / 2^ (^ ) n
s t G t nT
∞
=−∞
No exemplo da figura: T=
1.3.8 Trem de Impulsos
Assim como é feito na onda quadrada, é possível realizar uma onda periódica formada pela superposição de impulsos, denominada trem de impulsos. O trem de impulsos tem sua importância junto ao processo de amostragem e digitalização de sinais analógicos. Abaixo tem-se o trem de impulsos de período 2.
i ( )^ (^ ) n
s t δ t nT
∞
=−∞
No exemplo da figura: T=
-1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-0.
-0.
-0.
-0.
0
1
t
Trem de Impulsos
1.4.2. Propriedades da Série Trigonométrica de Fourier
a) Função Periódica Par: f (^) T ( ) t = fT ( − t )
/ 2 0 0
( ).cos( ).
0
T n
n
a f t n t dt T b
b) Função Periódica Ímpar: fT ( ) t = − fT ( − t )
/ 2 0 0
( ).sin( ).
n T n
a
b f t n t dt T
c) Valor Médio Nulo:
a 0 (^) = 0
d) Simetria de Meia Onda: f T ( ) t = − fT ( t − T 2 )
an = bn = 0 p / n par
T
T
T
1.4.3. Forma Exponencial Complexa da Série de Fourier
( ). jn^^0 t T n n
f t F e^ ω
+∞
=−∞
isto é: 0 0 0 0 0 0
2 3 0 1 2 3 2 3 1 2 3
j t j t j t T j t j t j t
f t F F e F e F e F e F e F e
ω ω ω − ω − ω − ω − − −
onde Fn são constantes complexas definidas por:
(^0 ) 0
t T (^) jn t Fn (^) T t f t e dt = +^ −^ ω
- Relações entre a Série Trigonométrica e a Série Exponencial:
n n n
a b F = − j
{ }
{ }
0 0
2.Re
2.Im
n n n n
n n n n
a F F F
b j F F F a F
- Espectro Bilateral de Linhas
Representação gráfica dos coeficientes Fn para as frquências harmônicas n. ω 0 positivas e negativas.
Sendo Fn ∈ necessitamos de 2 gráficos (Módulo e Fase ou Pare Real e Parte Imaginária).
Exemplo:
-0.5 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0
1
2 Espectro Bilateral de Linhas
w[rad/s]
Fn
1.5.1. Definição
Transformada Direta: (^ )^ ( )^
j t F f t e dt ω ω
+∞ (^) − −∞
=
Transformada Inversa:
1 ( ) ( ) 2
j t f t F e d ω ω ω π
+∞ −∞
=
Notação: f t ( )^^ ←→ F (^ ω^ )
F ( ω ) = (^) { f t ( )} e f t ( ) = (^) { F ( ω )}
Observações Importantes:
- A Transformada de Fourier decompõe um sinal em suas componentes exponenciais complexas.
- F ( ω )é a representação de f t ( ) no domínio frequência.
- Normalmente F ( ω ) é uma função complexa, necessitando de 2 gráficos para sua representação: F ( ω ) = F ( ω). e j^ θ ω(^ ) ou F ( ω ) = Re{ F ( ω)} + j Im (^) { F ( ω)}
- Condição Suficiente (mas não necessária) para a existência da Transformada de Fourier:
F ( ω ) f t e ( ). j^^ ω tdt
+∞ (^) − −∞ = < ∞ deve ser finita,
como e −^ j^ ω^ t = 1 , ∀ ω e ∀ t
Logo: f t ( )^ dt
+∞ −∞
< ∞
- Para f t ( ) ∈ , função real, pode-se demonstrar:
Como: F ( ω ) = F ( ω). e j^ θ ω(^ )
F ( ω) +∞^ f t ( ). e +^ j^^ ω t^ dt F^ *^ (ω ) F ( ω). e − j θ ω(^ )
Logo: F ( ω) = F ( −ω ) Módulo será uma função par
θ ω ( ) = −θ ( −ω ) Fase será uma função ímpar
- Se f t ( ) é uma Função Par F ( ω )é uma Função Real
Se f t ( ) é uma Função Ímpar F ( ω ) é uma Função Imaginária pura
1.5.2. Transformada de Fourier de algumas funções de interesse
a) Exponencial Causal:
f t ( ) = e − atu t ( ) ←→^
F ( )
a j
b) Função Pulso Retangular
t f t G t t
τ
←^ → ( ).
F Sa
ω = τ ^
-0.2 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
1
t
e(-2t)^ u(t)
-10^0 -5 0 5 10
w
|F(w)|=1/sqrt(4+w^2 )
-2 -10 -5 0 5 10
-1.
-0.
0
1
2
w
Fase(w)=-atan(w/2)
-0.2 -3 -2 -1 0 1 2 3
0
1
t
f(t)=G 2 (t)
-1 -10 -5 0 5 10
-0.
0
1
2
w
F(w)=2 Sa(w)
e) Função Sinal
( ) sgn( ) 1 , 0
t f t t t
^ >
←^ →
2 2 arctan( 0 )
j F e j
ω
− = =
f) Função Constante
f t ( ) = 1 ←→ F ( ω ) = 2 π δ ω⋅ ( )
-10 -5 0 5 10
-0.
-0.
-0.
-0.
0
1
t
f(t)=sgn(t)
-10 -5 0 5 10
-1.
-0.
0
1
ω
θ(ω)=-atan(ω/0)
-10 -5 0 5 10
1
2
ω
|F(ω)|=|2/ω|
-0.5 -10 -5 0 5 10
0
1
t
f(t)=
-0.5 -10 -5 0 5 10
0
1
ω
F(ω)=2πδ(ω)
2 π
g) Função Degrau
t f t u t t
^ >
←→^
arctan 1 2 2 ( ) 2
j F e j
ω πδ ω π δ ω^ ωπδ ω
− = + = +^ ^
h) Exponencial Complexa
f t ( ) = ej^^ ω^0 t ←^ →
F ( ω ) = 2 πδ ω ( −ω 0 )
f t ( ) = cos (^) ( ω 0 t (^) ) + j sin( ω 0 t )
-0.5 -10 -5 0 5 10
0
1
t
f(t)=u(t)
-0.5 -10 -5 0 5 10
0
1
ω
√((π δ(ω))^2 +1/ω^2 )
π
-2 -10 -5 0 5 10
-1.
-0.
0
1
2
ω
θ(ω)=atan(-1/(π ω δ(ω)))
-1.5 -10 -5 0 5 10
-0.
0
1
t
Re{f(t)}=cos(2 t)
-1.5 -10 -5 0 5 10
-0.
0
1
t
Im{f(t)}=sin(2 t)
-1.5 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-0.
0
1
ω
F(ω)=2 π δ(ω-2)
2 π
1.5.3. Propriedades da Transformada de Fourier
Dada a definição:
Transformada Direta: (^ )^ ( )^
j t F f t e dt ω ω
+∞ (^) − −∞
=
Transformada Inversa:
1 ( ) ( ) 2
j t f t F e d ω ω ω π
+∞ −∞
=
a) Linearidade: Se:
1 1
2 2
f t F
f t F
ω
ω
Então:
af 1 ( ) t + bf 2 ( ) t ←→ aF 1 ( ω ) + bF 2 (ω )
b) Simetria ou Dualidade Se:
f t ( ) ←→ F ( ω)
Então:
F t ( ) ←→ 2 π f ( −ω)
c) Escalonamento Se:
f t ( ) ←→ F ( ω )
Então: 1 f at ( ) F a a
ω ←→ (^)
d) Deslocamento em Frequência Se:
f t ( ) ←→ F ( ω )
Então: 0 ( ) ( 0 )
f t ⋅ e j^^ ω t ←→ F ω −ω
e) Deslocamento no Tempo Se:
f t ( ) ←→ F ( ω )
Então:
f t ( − t 0 ) ←→ F ( ω ). e − j^^ ω t^0
f) Diferenciação e Integração no Tempo
f t ( ) ←→ F ( ω )
Então: ( ) ( )
df t j F dt
Generalizando: (^) ( )
n (^) n n
d f t j F dt
←→ ω ⋅ ω
f t ( ) ←→ F ( ω )
Então: 1 ( ). ( ) ( ) ( )
t f d F F j
τ τ ω π ω δ ω −∞ (^) ω
g) Diferenciação e Integração na Frequência
f t ( ) ←→ F ( ω ) Então: ( ) ( ) ( ) dF jt f t d
Generalizando: (^) ( )
n^ n n
d F jt f t d
ω ω
f t ( ) ←→ F ( ω )
Então: 1 f t ( ) f t ( ) ( ) t F ( ). d jt
ω π δ −∞ τ τ
