Capítulo 1ÁlgebraP, Manuais, Projetos, Pesquisas de Matemática

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Capítulo 1

Álgebra

Além de estabelecer os critérios gerais de classificação e desclassificação, era necessário também estabelecer o critério de desempate, em caso de dois times ficarem no final da disputa com o mesmo número de pontos ganhos. Era preciso, neste caso, um critério de decisão. Decidir por saldo de gols era perigoso, pois poderia haver uma “peruada à la argentina”. Decidir por pênaltis era complicado, pela própria complexidade da cobrança, em face da famosa movimentação do goleiro antes de cobrar a falta ou da famosa paradinha criada pelo Rei Pelé, que só chuta depois que o goleiro se desloca para um lado. Como esses critérios são sempre passíveis de interpretação, e como tribunal de futebol de várzea costuma ser o tapa, decidiu-se adotar um critério muito usado em campeonatos estaduais e nacionais de futebol profissional: se, no final do campeonato, dois times estiverem com o mesmo número de pontos ganhos, o campeão será o time com maior número de vitórias. O professor de Matemática ouviu as recomendações, fez a minuta do regulamento e apresentou-o à Comissão Organizadora. Esta, por falta de tempo (eterna desculpa de nós brasileiros), aprovou tudo sem ler, em confiança!

O Campeonato começou e, no seu desenrolar, dois times se destacaram: o Heróis do Minho (que −dizem, mas nunca foi provado −era financiado por um português, dono da maior padaria do lugar), e o Flor da Mocidade, que representava um bairro pobre do arrabalde da cidade. Com o evoluir dos jogos, o Flor da Mocidade passou à frente, e só faltava um jogo no domingo. Para seu único rival, o Heróis do Minho, também só restava um jogo no sábado. Se o Flor da Mocidade vencesse no domingo, seria o campeão pelo maior número de vitórias, mesmo que o Heróis do Minho vencesse no sábado.

E foi o que deu. No sábado, o Heróis do Minho venceu. O estádio encheu, no domingo, para ver a última partida. Se o Flor da Mocidade empatasse ou perdesse, adeus título. Mas, se vencesse, então seria campeão por ter uma vitória a mais que o Heróis do Minho. No esperado domingo não deu outra. No fim do primeiro tempo o

Flor da Mocidade já vencia por três a zero o pobre time Íbis Paulista. Foi aí que o Presidente da Comissão leu o regulamento pela primeira vez. Não se sabe se por engano datilográfíco ou erro do professor de Matemática, o fato é que o regulamento dizia, claramente:

“se dois times terminarem o campeonato com o mesmo número de pontos ganhos, será campeão o que tiver o maior número de derrotas”. Era isso o que estava escrito, em total desacordo com o combinado. No intervalo do jogo, o Presidente da Comissão pôs a boca no trombone e em cinco minutos todo o estádio, em efervescência, discutia o acontecido e o que iria acontecer em face de tão estranho e heterodoxo regulamento, que, aliás, não obedecia ao combinado.

Resumidamente, assim estavam os ânimos na arena, digo, no estádio:

−desespero no pessoal do Flor da Mocidade, pois mudara a regra do campeonato que, na versão tradicional, lhe garantiria o título;

−alegria no pessoal dos Heróis do Minho, que via uma chance de ser campeão ou de, no mínimo, “melar” o campeonato.

Para resolver esse imbróglio matemático, foi chamado o responsável (ou seria irresponsável?), o professor de Matemática, que felizmente morava perto do estádio.

O professor de Matemática, com uma comissão de alunos, foi até o estádio, que fervia. Metade da torcida queria brigar, qualquer que fosse o resultado. Somente algumas pessoas cuidavam da análise da questão sem partidarismo. Enquanto o professor de Matemática não chegava, a professora de Filosofia, que pelo mestre de Álgebra não tinha simpatia, deu sua contribuição, jogando gasolina na fogueira ao declarar:

“É a primeira vez na história da humanidade que se declara vencedor quem mais perde. Na Grécia antiga, o perdedor era quase humilhado, e em Roma nós sabemos o que eles faziam aos gladiadores que perdiam. Não quero atacar o mestre de Matemática, mas ele criou um regulamento que é, no mínimo, anti-histórico.”

Um deles, Pedro, era jovem e de família de classe média em decadência (o “coitado” era também filho de professor) e o outro, Arthur, de rica e tradicional família pecuarista. A jovem estava dividida quanto a escolher entre um e outro, quando seu pai a orientou:

“Minha filha, para uma pessoa jovem como você, relacionar-se com pessoa desquitada e talvez até com um filho, é sempre um problema.”

A menina, aturdida, perguntou ao pai como soube de tudo isso, se ela só conhecera Arthur há quinze dias e na cidade da sua universidade, distante, muito distante da cidade onde morava seu pai. Que seu pai era matemático e fazia raciocínios incríveis, quase dignos de bruxo (opinião dela), ela sabia, mas a Matemática permitiria descobrir problemas amorosos?

O pai respondeu com a simplicidade dos matemáticos: “Usei o Princípio de Roberval, ou, como dizem os físicos, a Balança de Roberval, aquela de dois pratos iguais. Se você está apaixonada igualmente por duas excelentes pessoas, então os pratos da balança estão equilibrados. Se eles estão equilibrados e surge essa brutal diferença em favor de Arthur, que é o fato de ele ser rico, e isso é uma indiscutível vantagem, então Arthur deve ter, para não desequilibrar a balança, uma grande desvantagem. Como você disse que ele é uma boa pessoa, com boa probabilidade a única desvantagem que ele deve ter é ser desquitado, situação essa não ideal, pelo menos na opinião dos pais de uma moça solteira e tão jovem.”

A filha do matemático ficou extasiada com a lógica dedutiva do pai. Anos depois o pai usou essa lógica no regulamento do campeonato. Se dois times empatam, o que tiver maior número de vitórias deve, obrigatoriamente, ter o maior número de derrotas.

Lógico, não?

S ouzinha, apesar de viver em um país que há

mais de quarenta anos tem inflação, ainda não conseguiu entendê-la. Certo dia, falou-me: −A inflação nos anos subseqüentes ao último aumento (melhor seria dizer reajuste) de salário foi de 8% e 7%. Já perdi com isso 8% + 7% = 15% do meu salário. Corrigi: −Não é 15%, é outro valor. Souzinha respondeu: −Já sei, já sei.O cálculo exato é 1,08 × 1,07 = 1,1556, ou seja, 15,5%. −Continua errado, insisti. Souzinha bateu o pé e saiu murmurando baixinho, mas suficientemente alto para que eu pudesse ouvir: − O Botelho não tem jeito, está sempre arrumando coisinhas para discutir. Afinal, quem está certo, Souzinha ou eu?

Adaptado do artigo de Manoel Henrique Campos Botelho

Quanto perco com

a inflação?

N este artigo vamos fazer, inicialmente,

algumas afirmações sobre números naturais que são verdadeiras para os números 1, 2, 3 e muitos outros e vamos tentar responder à pergunta: elas são verdadeiras sempre?

O objetivo do artigo é enriquecer o estoque de fatos e problemas interessantes que professores colecionam para usar em momentos oportunos nas aulas que ministram.

Verdadeiro ou falso? Vamos verificar se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas.

1. n ∈ N, n < 100.
2. n ∈ N, n 2 + n + 41 é um número primo.
3. n ∈ N*, 991n^2 + 1 não é um quadrado perfeito.
4. n ∈ N*, a soma dosn primeiros números ímpares én^2.
5. n∈ IN*, 2n + 2 é a soma de dois números primos.

Adaptado do artigo de Renate Watanabe

Vale para 1, 2, 3, ....

Vale sempre?

Vejamos:

1. “n < 100” é uma sentença verdadeira para n = 1,n = 2, n = 3 e outros, mas torna-se falsa para qualquer número natural maior do que

Portanto, “ n∈ IN, n < 100” é uma sentençafalsa.

2. “n^2 + n + 41 é um número primo” é uma sentença verdadeira para n = 1, n = 2,n = 3 e outros. De fato, ela é verdadeira para todos os números naturais menores do que 40. Porém o número 40 2 + 40 + 41 = 40. (40 + 1) + 41 = 41 2. 412 não é primo, mostrando que a sentença “ n ∈ N,n^2 + n + 41 é um número primo” é uma falsa.
3. “991n^2 + 1 não é um quadrado perfeito”, é uma sentença verdadeira para n = 1,n = 2, n = 3 e, mesmo após muitas e muitas tentativas, não se acha um número que a torne falsa. Pudera! O primeiro número naturaln, para o qual 991 n^2 + 1 é um quadrado perfeito é um número de 29 algarismos: 12 055 735 790 331 359 447 442 538 767 e, portanto, a sentença “ n∈ N*, 991n^2 + 1 não é um quadrado perfeito”, éfalsa.
4. “A soma dosn primeiros números ímpares én^2 ” é uma sentença verdadeira paran = 1,n = 2,n = 3 e, como no caso anterior, após muitas e muitas tentativas, não se acha um número natural que a torne falsa. Neste caso, tal número não existe, pois, como veremos adiante, esta sentença éverdadeira sempre.
5. “2n + 2 é a soma de dois números primos” é uma sentença verdadeira paran = 1,n = 2,n = 3 e, como nos dois exemplos anteriores, após muitas e muitas tentativas, não se encontra um número natural que a

Estamos supondo que

1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) =k^2

e queremos provar que

1 + 3 + 5 + ... + (2k + 1) = (k + 1) 2.

Basta observar que

1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + (2k + 1) =k^2 + (2k + 1) = (k + 1) 2.

O princípio da indução nos garante, agora, queS =N*, ou seja, a afirmação “a soma dosn primeiros ímpares én^2 ” é verdadeira para todos os números naturais maiores do que zero.

No ensino médio o professor encontra muitas outras oportunidades para fazer demonstrações por indução, se assim o desejar. Um aspecto importante é que os exemplos apresentados permitem ao professor mostrar aos alunos que fatos matemáticos podem ser verdadeiros para muitos exemplos e não serem verdadeiros sempre.

A única maneira de concluir a veracidade é fazer uma demonstração geral, que seja válida para qualquer caso, independentemente de exemplos.

M uitas histórias testemunham a extraordinária

precocidade do matemático Gauss. Uma das favoritas refere-se a um episódio ocorrido quando ele tinha dez anos de idade e freqüentava o terceiro ano do ensino fundamental de uma escola onde medo e humilhação eram os principais ingredientes pedagógicos. Na aula de Aritmética o professor pediu aos alunos que calculassem o valor da soma. S = 1 + 2 + 3 + .... + 98 + 99 + 100. Uma excelente questão, sem dúvida, para aliviar o mestre de suas funções pelo resto da aula e manter bem alto o ideal pedagógico da escola. Imediatamente após o problema ter sido proposto, Gauss escreveu o número 5050 em sua pequena lousa e a depositou, como era costume na época, sobre a mesa do professor. Durante o resto da aula, enquanto seus colegas trabalhavam, o pequeno Gauss foi, por diversas vezes, contemplado com o sarcástico olhar de seu mestre. Ao fazer a correção, o estupefato Büttner − era esse o nome do professor −constatou que a única resposta correta era a de Gauss, que deu a seguinte justificativa para seu cálculo: a soma de

Adaptado do artigo de Paulo Ferreira Leite

Pérolas

No caso da soma 1 + 2 + ... + 100 temos

Um evento decisivo para a carreira de Gauss ocorreu no dia 30 de março de 1796, quando contava dezenove anos de idade. Nesse dia inaugurou o diário científico, que manteve por toda sua vida, registrando uma descoberta notável. Conseguira provar a possibilidade de, utilizando apenas régua e compasso, dividir uma circunferência em 17 partes iguais. Na realidade, esse enunciado é uma interpretação geométrica dos resultados algébricos que obtivera, mostrando ser possível resolver a equaçãox 17 – 1 = 0, pela extração de sucessivas raízes quadradas. Essa descoberta fez com que ele que, até então dividira seu interesse entre a Filologia e a Matemática, optasse definitivamente pela última, muito embora mantendo um vivo interesse por Línguas e Literatura. Uma medida do apreço de Gauss por essa sua descoberta matemática é o seu pedido de que se gravasse em seu túmulo um polígono regular de 17 lados. Para compensar o fato de não podermos descrever aqui as técnicas utilizadas por Gauss para provar seu teorema, reunimos algumas informações suplementares sobre o problema da ciclotomia, isto é, da divisão da circunferência em partes iguais (ver Quadro). Carl Friedrich Gauss (1777-1855) é unanimemente considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos e sua obra, além de cobrir praticamente todos os ramos da Matemática, estende-se à Astronomia, Física e Geodésia. Era alemão (nasceu em Brunswick) e passou toda sua vida na Alemanha. Em 1807 foi nomeado professor e diretor do observatório astronômico de Göttingen. A partir dessa época, passou a residir no observatório onde, em razão do seu temperamento reservado,

S

Carl Friedrich Gauss

Ciclotomia

Ciclotomia = divisão da circunferência em partes iguais (divisão feita com régua e compasso). Os geômetras gregos da Antiguidade, ~ 300 a.C., sabiam dividir a circunferência emn partes iguais paran de uma das seguintes formas: 2 k^ , 2 k^ .3, 2 k.5, 2 k^ .15. Gauss, no seu livro DISQUISITIONES ARITHMETICAE, em 1801, provou o seguinte resultado: “A divisão da circunferência em partes iguais é possível se e somente sen é de uma das formas: 1)n = 2k 2)n = 2k^ .p 1 .p 2. ... .p l.

ondep 1 ,p 2 , ...,p (^) l são primos distintos, da forma ”. Estes números são chamados números de Fermat, em homenagem a Fermat, Pierre de (1601-1665) − matemático francês, que supunha que todos os números dessa forma fossem primos. Com efeito,F 0 = 3,F 1 = 5,F 2 = 17,F 3 = 257 eF 4 = 65537 são primos, mas Euler, em 1732, mostrou queF 5 = 641 x 6700417 e, portanto, é composto. Sabe-se hoje que muitos outros números de Fermat são compostos.

recebia poucas pessoas. Era perfeccionista, metódico e circunspeto, um perfeito contra-exemplo para o tradicional estereótipo do gênio matemático. Um dos poucos amigos que costumava receber era Georg Ribbentrop, um convicto e excêntrico solteirão, professor de direito em Göttingen. Conta-se que numa noite em que Ribbentrop jantava no observatório caiu forte tempestade e, prevendo as dificuldades que o amigo teria em regressar, Gauss insistiu para que ele ficasse para dormir. Num momento de descuido o hóspede desapareceu misteriosamente. Algum tempo depois bateram à porta e Gauss, atônito, recebeu de volta o amigo, ensopado dos pés a cabeça, mas trazendo seu pijama.

Por que então a escolha de um número tão estranho como base de logaritmos? O que faz esse número tão importante?

Talvez a resposta mais concisa seja que o númeroe é importante porque é inevitável. Surge espontaneamente em várias questões básicas.

Uma das razões pelas quais a Matemática é útil às Ciências em geral está no Cálculo (Diferencial e Integral), que estuda a variação das grandezas. Um tipo de variação dos mais simples e comumente encontrados é aquele em que o crescimento (ou decrescimento) da grandeza em cada instante é proporcional ao valor da grandeza naquele instante. Este tipo de variação ocorre, por exemplo, em questões de juros, crescimento populacional (de pessoas ou bactérias), desintegração radioativa, etc. Em todos os fenômenos dessa natureza, o númeroe aparece de modo natural e insubstituível. Vejamos um exemplo simples.

Suponhamos que eu empreste a alguém a quantia de 1real a juros de 100% ao ano. No final do ano, essa pessoa viria pagar-me e traria 2 reais: 1 que tomara emprestado e 1 dos juros. Isto seria justo? Não. O justo seria que eu recebessee reais. Vejamos por que. Há um entendimento tácito nessas transações, de que os juros são proporcionais ao capital emprestado e ao tempo decorrido entre o empréstimo e o pagamento.

Assim, se meu cliente viesse me pagar seis meses depois do empréstimo,

eu receberia apenas reais. Mas isto quer dizer que, naquela ocasião,

ele estava com real meu e ficou com esse dinheiro mais seis meses, à

taxa de 100% ao ano; logo deveria pagar-me

reais no fim do ano.

Isto me daria 2,25 reais, mas, mesmo assim, eu não acharia justo.

Eu poderia dividir o ano num número arbitrárion, de partes iguais.

Transcorrido o primeiro período de , meu capital emprestado

estaria valendo reais. No fim do segundo período de , eu

estaria reais, e assim por diante. No fim do ano eu deveria

receber reais. Mas, como posso fazer esse raciocínio para todo

n, segue-se que o justo e exato valor que eu deveria receber pelo meu real emprestado seria

que aprendemos nos cursos de Cálculo ser igual ao númeroe. Um outro exemplo no qual o númeroe aparece.