Centro de Massa, Notas de estudo de Engenharia Civil

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Centro de Massa

O CM é o ponto no qual podemos

considerar que toda a massa de um corpo

estivesse concentrada nele.

Importante

1.- Se consideramos um objeto colocado perto da terra, ou seja, se

consideramos campo gravitacional uniforme então o centro de

massa (C.M.) e o centro de gravidade (C.G.) coincidem.

2.- Para objetos com distribuição de massa uniforme, o centro

de massa sempre esta num centro de simetria, ou eixo de simetria,

ou plano de simetria.

Para objetos com distribuição

de massa não homogêneo

O centro de massa (C.M.) se

encontra perto das partes onde

tem maior densidade de massa

Experimento para

determinar a posição

do centro de massa

de objeto plano.

Equilíbrio estático

coordenadas do centro de massa

(objetos unidimensionais)

Onde:

x

C.M.

 posição do centro de massa

m

1

, m

2,

 massas dos objetos no sistema

x

1,

, x

2

 coordenadas dos objetos.

m 1 m 2

x 1

x 2

1 2

1 1 2 2

..^ m m

m x m x x (^) C M 

 

m 1 m 2

m 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3 .

1 2 3

1 1 2 2 3 3 .

.

.

m m m

m y m y m y y

m m m

m x m x m x x

C M

C M

 

  

 

  

. CM

Coordenadas do C.M do sistema : (xC.M, yC.M)

.

Em geral:













  

D

D

D

D CM

i

i

i

i i

CM

i D

i

dv

r dv

dv

r dm

r

m

m r

r

M t m M t dm dv

D









Mt: massa total.

r cm:= coordenadas do centro da massa.

D

y

x

h

b

Exemplo 2 : determine a posição da

centroide da lamina metálica

homogênea do lado, as medidas

estão em cm.

Quando o objeto tem

densidade uniforme então

o centro de massa vira uma

propriedade geométrica,

indepente da massa, logo

ela se chama centróide

Exemplo 3: Calcular as coordenadas do centro de massa

de uma lamina semi-circular de radio R e de densidade constante.

Exercício 1: Uma lamina metálica quadrada limitada por

• 2≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 4 tem como densidade ρ=y+|x|. Determine

as coordenadas do centro de massa.

Exercício 2: Determine a posição do centro de massa de um

solido em forma de cone reto de altura H e base circular R.

Considere solido homogêneo (ou seja, densidade uniforme).

Exercício 3: determine a posição do centro de massa de uma

superfície semi-esférica de radio R, centrada na origem.

Torre de Pisa

A torre foi erguida entre 1173 e o final do

século XIII, sobre um solo instável chamado

Campo dos Milagres.

Foram injetadas quase cem

toneladas de argamassa no

solo e o que se viu foi uma

inclinação ainda maior.

A solução parece ser a retirada

de terra da parte norte da torre

para que a inclinação diminua,

pois tem sido feito com êxito.

Por que a torre não cai?

Até que ponto a torre fica em

equilíbrio?

Por isso abrimos

mais as pernas

quando andamos de

ônibus ou metrô!!!

Para nos estabilizar

Para que um objeto tenha equilíbrio é

necessário que a projeção de seu centro de

massa intercepte a sua base de apoio.

Projeção do

centro de massa

Projeção da base