1 OSG.: 34217/10
ENSINO PRÉ-UNIVERSITÁRIO
TC
FÍSICA
TURNO
DATA
ALUNO(A)
TURMA
Nº
S
ÉRIE
PROFESSOR(A)
TADEU CARVALHO
RUMO AO ITA
SEDE
___/___/___
Centro de massa
(Problema dos ladrilhos)
Objetivo
Conceituar o centro de massa de um sistema de pontos
materiais. Resolver o problema dos ladrilhos que se
sobressaem ao formarmos uma pilha deles. Realmente, é
curioso saber de quanto o ladrilho mais alto pode ser
deslocado em relação ao ladrilho mais baixo, sem o uso de
qualquer cimento, adesivo ou outro aglomerante qualquer.
À primeira vista, parece que esse deslocamento não pode ser
muito grande, algo assim como a metade do comprimento de
um ladrilho, aproximadamente. Todavia, realmente, o ladrilho
mais alto pode sobressair do mais baixo tanto quanto quisermos!
Em suma, nosso problema será: nessa pilha de n ladrilhos em
equilíbrio, qual o valor de X?
Teoria
Denominamos por ‘centro de massa’ de um sistema de dois
pontos materiais, ao ponto que divide a distância entre esses
pontos materiais dados em segmentos inversamente
proporcionais às massas dos mesmos. Assim, se o ponto C é o
centro de massa das massas m1 e m2, que se encontram sobre o
eixo x, a distancias x1 e x2 da origem do sistema de
coordenadas – como se ilustra – então, pela definição:
C1 2
2C 1
xxm
xx m
−=
−
da qual, para a abscissa do centro de massa, xc, obteremos:
11 2 2
C12
mx mx
xmm
+
=+
Se existe outro ponto de massa m3, que também se encontra
sobre o eixo x, à distancia x3 da origem das coordenadas, o
centro de massas O de todo o sistema será determinado como se
o centro de massa, xc, das massas (m1 + m2), concentrasse toda
essa massa e, então, começamos tudo de novo, determinando o
novo centro de massa, xo, das massas (m1 + m2) + m3:
( )
( )
1 2 C 33 11 2 2 33
o12 3 123
m m x mx mx mx mx
xmm m mmm
++ ++
= =
+ + ++
Para o caso de n pontos materiais distribuídos sobre o eixo x, a
expressão para o cálculo do centro de massa do sistema será:
11 2 2 33 n n
o123 n
m x m x m x ... m x
xm m m ... m
+ + ++
=+ + ++
Se os pontos estão distribuídos não sobre o eixo x, mas
dispersos no espaço de um modo arbitrário, acrescentaremos
as seguintes expressões:
11 2 2 3 3 nn
o123 n
11 2 2 3 3 n n
o123 n
m y m y m y ... m y
ym m m ... m
m z m z m z ... m z
zm m m ... m
+ + ++
=+ + ++
+ + ++
=+ + ++
Essas expressões, que no conjunto determinam o centro de
massa do sistema, O(Xo, Yo, Zo), são denominadas ‘equações
de Torricelli’.
Se os pontos materiais acima estiverem ‘mergulhados’ num
campo de gravidade constante (g), o centro de gravidade do
sistema CG (ponto onde se considera aplicada a força peso do
sistema) será coincidente com o centro de massa O desse
sistema. Para corpos homogêneos com forma geométrica
regular, o centro de massa ou o centro de gravidade coincidem
com o centro geométrico.
Problema dos ladrilhos
Para resolver nosso problema dos ladrilhos (azulejos, pisos,
tijolos, placas etc.) basta-nos tomar a primeira das equações de
Torricelli para o centro de massa (Torricelli tem equações
espalhadas por toda a Física!)
Para que um ladrilho não caia sobre aquele que lhe está por
baixo, a perpendicular baixada desde o centro do primeiro
ladrilho não sair do contorno de apoio, ou seja, o centro de
massa do ladrilho superior não deve apresentar x > L ---
ilustração, à esquerda.
Deste modo, o deslocamento ∆x1, do ladrilho superior, em relação
ao ladrilho no qual se apoia, deve obedecer à condição:
1L
x2
∆≤
Examinemos agora um sistema de três ladrilhos. Acabamos de
verificar que o ladrilho superior pode se deslocar ate L/2.
De quanto poderá se descolar o segundo ladrilho (o ladrilho
intermediário no centro da ilustração acima) em relação ao
terceiro? Chamemos de ∆x2 esse deslocamento procurado.
