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EJERCICIOS DEL PARCIAL # 2
ECONOMIA II
UNIVERSIDAD AUTONOMA DEL CARIBE
FACULTAD DE INGENIERIA
GRUPO: AD
FORMULAS:
𝑉𝑃 = 𝐴 [
(1 + 𝑖)𝑛^ − 1 (1 + 𝑖)𝑛𝑖 ]
𝐴 = 𝑃 [
(1 + 𝑖)𝑛𝑖 (1 + 𝑖)𝑛^ − 1 ]
𝑉𝐹 = 𝐴 [
(1 + 𝑖)𝑛^ − 1
]
𝑉𝐹 = 𝐴 [
(1 + 𝑖)𝑛^ − 1
] − 𝐺 [
] [
(1 + 𝑖)𝑛^ − 1
− 𝑛]
𝑉𝑃 = 𝐴 [
(1 + 𝑖)𝑛^ − 1 (1 + 𝑖)𝑛𝑖 ] + [𝐴 [
(1 + 𝑖)𝑛^ − 1 (1 + 𝑖)𝑛𝑖 ] + 𝐺 [
1 𝑖
] [
(1 + 𝑖)𝑛^ − 1 (1 + 𝑖)𝑛𝑖 −
𝑛 (1 + 𝑖)𝑛 ]]
1. En México se anunciaba hace muchos años: "Invierta en Bonos del Ahorro Nacional, que duplican su valor a los 10 años". ¿Cuál era la tasa de interés anual que pagaban los BAN?
n = 10 años.
VF = 2VP
VP(1 + i)n^ = 2VP
(1 + i)n^ = 2
√(1 + i)n n = √ n
1 + i = √ 10
i = √ 10 − 1
i = (0.071774) ∗ 100
𝐢 = 𝟕. 𝟏𝟕𝟕𝟒% 𝐚𝐧𝐮𝐚𝐥
2. Si en un banco se ahorran $75 cada año, a un tasa de interés de 5% capitalizada anualmente, ¿cuánto se tendrá al final de 8 años?
i = 5% A = $75 anuales
VF = A [
(1 + i)n^ − 1 i
]
VF = $75 [
(1 + 5%)^8 − 1
]
VF = $75(7.549)
3. Una persona ahorró durante cuatro años, al finalizar cada uno de ellos, $125 en un banco que pagaba 10% de interés anual. Inmediatamente después de hacer su cuarto depósito, el banco bajó la tasa de interés a 8%. Luego de hacer el quinto depósito y hasta el décimo, el banco mantuvo la tasa inicial de 10% anual. ¿De cuánto dispondrá el ahorrador al final de los 10 años, si durante ese tiempo mantuvo constante su ahorro de $125 anual?
VF1−4 = A [
(1 + i)n^ − 1 i
] = $125 [
(1 + 10%)^4 − 1
] = $125[4.641] = $580.
VF4−5 = $580.125(1 + 8%) + 125 = $751.
VF5−10 = $125 [
(1 + 10%)^6 − 1
] = $125[7.716] = $964.
VF = $751.535(1 + 10%)^5 + 964.
VF = $1210.35 + 964.
i = 8%
B(1 + 0.08)^4 + 30 [
(1 + 0.08)^3 − 1
] (1 + 0.08)^1 − B + 40 [
(1 + 0.08)^3 − 1
0.08(1 + 0.08)^3
]
B
(1 + 0.08)^4
B(1.3604) − B + B(0.7350) = −105.18 − 103.
B(1.0954) = −208.
B = −
7. Un matrimonio fue a una tienda a comprar ropa a crédito por un valor de $5000. La tienda ofrece dos planes de pago: en el primer plan se realizan 50 pagos semanales de $127.57 cada uno, haciendo el primer pago una semana después de la compra. El segundo plan de pago consiste en dar un enganche de 20% del valor de la compra y realizar 38 pagos semanales de $127.05 cada uno, haciendo el primer pago una semana después de haber realizado la compra. El esposo opina que deberían elegir el primer plan de pago, en tanto que la esposa dice que el segundo plan es el más conveniente. Con un interés anual de 52% con capitalización semanal, determine quién tiene la razón, desde el punto de vista económico.
Vp= 5000 N= 50 semanales i = 52%
Cp=semanal
a. 5000 = 127.57 [
(1+1%)^50 + 1%(1+1%)^50 ] = 127.57(39.1961) = 𝟓𝟎𝟎𝟎, 𝟐𝟒𝟖𝟕
b. 5000 = 127.05 [
(1+1%)^38 + 1%(1+1%)^38 ] + 1000 = 127.05(31.4846) + 1000 = 𝟓𝟎𝟎𝟎, 𝟏𝟐𝟔𝟒
Son equivalentes pero el segundo plan es el mejor por 0.12 centavos.
8. Si i = 5%, calcule D en el siguiente diagrama de flujo
A=
G=
Vf1 = [20 [
(1 + 5%)^4 − 1
] +
[
(1 + 5%)^4 − 1
− 4]] (1 + 5%)
Vf1 = [20(4.3101) + 200(0.3101)](1 + 5%)
Vf1 = 148.22(1 + 5%)
Vf1 = 155.
Vp1 = 50 [
(1 + 5%)^3 − 1
5%(1 + 5%)^3
] −
[
(1 + 5%)^3 − 1
(1 + 5%)^3
]
Vp1 = 50(2.7266) − 200(0.1318)
Vp1 = 109.
D=155.63+109.
D=265.
9. Se depositan $30000 en un banco que paga un interés de 15% anual con capitalización mensual. Se desea efectuar 12 retiros trimestrales iguales, realizando el primer retiro al final del quinto mes después de haber hecho el depósito. Calcular el valor de cada uno de los doce retiros trimestrales iguales, de forma que con el último retiro se agote totalmente el depósito.
En mi caso en la opción de plan que escogería sería la segunda porque en
al contrario de pagar de contado pago mucho menos entonces es más
conveniente porque ahorra 137.71.
11. Una persona compró un televisor en $750 y acordó pagarlo en 24 mensualidades iguales, comenzando un mes después de la compra. El contrato también estipula que el comprador deberá pagar en el mes de diciembre de ambos años anualidades equivalentes a tres pagos mensuales. Si el televisor se adquirió elide enero del año 1, tendrá que pagar, en diciembre del año 1 y diciembre del año 2, cuatro mensualidades en cada periodo (una normal más la anualidad). Si el interés que se cobra es de 1 % mensual, ¿a cuánto ascienden los pagos mensuales?
750 = A [
(1 + 1%)^24 − 1
1%(1 + 1%)^24
] +
3A
(1 + 1%)^12
3A
(1 + 1%)^24
750 = A(21.2433 + 2.6624 + 2.3627)
A =
12. La misma persona del problema anterior decide que en vez de pagar dos anualidades equivalentes a tres mensualidades cada una, pagará una sola en diciembre de 1990 por $200. ¿A cuánto ascienden ahora los 24 pagos mensuales uniformes, si el interés se mantiene igual?
750 = A [
(1 + 1%)^24 − 1
1%(1 + 1%)^24
] +
(1 + 1%)^12
750 = A(21.2406) + 177.
13. Una universidad local ofrece estudios de licenciatura por una cantidad anual de $4500 pagaderos al principio del año escolar. Otra forma de pagar los estudios es mediante la aportación de 10 mensualidades iguales. La primera se paga el 1 septiembre y la última el l' de julio del siguiente año. En los meses de diciembre y agosto no hay pago porque son vacaciones. ¿A cuánto ascienden los 10 pagos mensuales uniformes para ser equivalentes a un pago de contado de $4500 el 1 de septiembre de cada año, si la universidad aplica una tasa de interés de 2% mensual?
4500 = A + A [
(1 + 2%)^2 − 1
(1 + 2%)^2 1%
] A [
(1 + 2%)^7 − 1
(1 + 2%)^7 2%
]
4500 = A(1 + 1.942 + 6.098)
A =
14. Se depositan $15000 en un banco que paga un interés de 24% anual con capitalización mensual. El primer retiro se realiza hasta el final del mes 25 y a partir de ese mes se realizan retiros iguales de $854. mensuales. ¿En qué mes se agota totalmente el depósito?
854.50 [
(1 + 2%)n^ − 1 2%(1 + 2%)n^
]
(1 + 2%)^24
28.2347 = [
2%(1 + 2%)n
]
2%(1 + 2%)n 0.04594 = 2%(1 + 2%)n ln(2.2972) = nln(1.02)
n =
n = 42 𝐍 = 𝟐𝟒 + 𝟒𝟐 = 𝟔𝟔
122.4 meses → 10.2 años
𝟏𝟕 𝐚 ñ 𝐨𝐬 − 𝟏𝟎. 𝟐 𝐚 ñ 𝐨𝐬 = 𝟔. 𝟖 𝐚 ñ 𝐨𝐬 = 𝟔 𝐚 ñ 𝐨𝐬 𝐲 𝟗. 𝟔 𝐦𝐞𝐬𝐞𝐬
16. El joven futbolista Inocencio del Campo recientemente cumplió 21 años y su futuro en el deporte es muy prometedor. Su contrato con el equipo "Jamelgos" terminó y el mismo equipo ya le ofreció un nuevo contrato durante seis años por la suma de $1.6 millones de dólares, pagaderos al momento de la firma. Por otro lado, él piensa que si eleva continuamente su nivel de juego, puede conseguir contratos anuales, el primero de los cuales sería por $250000 dólares y, con cada contrato sucesivo, pedir una suma adicional de $50000 dólares. En todos los contratos se paga lo convenido a principio de año. Si la tasa de interés que se considera es de 15% anual, ¿qué deberá hacer Inocencio si quiere planear sus próximos seis años de carrera deportiva?
VPI = A (
VP
A
, 15%, ,6) + G (
VP
G
VPI = 25000(3.7845) + 50000(7.9368)
VPI = 1342965
VPT = VPI(1 + i)
VPT = 1342965(1 + 0.15) = 1554409.
Entonces tenemos que:
1600000 − 1554409.75 = $𝟓𝟓𝟓𝟗𝟎. 𝟐𝟓
Debe elegir el contrato por 6 años.
17. Una persona piensa depositar $150 cada mes durante el siguiente año en un banco que paga una tasa de interés de 1.5% mensual. Considera que después de hacer los 12 depósitos del primer año puede aumentar su ahorro mensual a $180. ¿Cuánto tendrá al final de dos años si no retira ninguna cantidad de dinero durante este tiempo?
i = 1.5%
VFI = A [
(1 + i)n^ − 1 i
]
VFI = $150 [
(1 + 1.5%)^12 − 1
] = $150(13.041) = $1956.
VFI = $1956.182 (1 + 1.5%)^12 = $2338.
VFII = A [
(1 + i)n^ − 1 i
]
VFII = $180 [
(1 + 1.5%)^12 − 1
] = $180(13.041) = $2347.
VFT = VFI + VFII = $2338.847 + $2347.38 = $4686.
18. Hay un depósito de $2 699 en un banco que paga una tasa de interés de 10% anual. Si es necesario retirar una cantidad de $300 dentro de un año y los retiros al final de los años sucesivos se incrementan por $50, ¿en cuántos años se extinguirá totalmente el fondo de $2699?
Para n = 10
VP = A (
VP
A
, 10%, ,10) + G (
VP
G
VP = 300(6.1446) + 50(22.8913)
VFT = $42076.55 − $28300.
20. Una persona adquiere una deuda de $10 015.20 con un banco que cobra un interés de 18% anual con capitalización mensual. Acuerda liquidar la deuda mediante el pago de 24 mensualidades iguales, haciendo el primer pago un mes después de obtener el crédito. El deudor logra pagar hasta la mensualidad 12 y, por tener problemas de dinero, suspende los pagos durante los meses 13, 14, 15 Y 16. A partir del final del mes 17 vuelve a pagar la mensualidad en forma normal, pero decide que en los siguientes meses va a pagar la mensualidad normal más $50, es decir, en el mes 18 pagará la mensualidad normal más $50, en el mes 19 pagará la mensualidad normal más $100, etc. ¿En cuál mes terminará de pagar la deuda? Determine el monto exacto del último pago si no es múltiplo de $50.
𝟏𝟎𝟎𝟏𝟓 = 𝐀 [
(𝟏 + 𝟏. 𝟓%)𝟐𝟒^ − 𝟏
]
𝐕𝐏𝟏𝟐 = 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 [
(𝟏 + 𝟏. 𝟓%)𝟏𝟐^ − 𝟏
] = 𝟓𝟒𝟓𝟑. 𝟕
𝐕𝐟𝟏𝟔 = 𝟓𝟒𝟓𝟑. 𝟕(𝟏 + 𝟏. 𝟓%)𝟒^ = 𝟓𝟕𝟖𝟖. 𝟒𝟏
21. Calcule P del siguiente diagrama de flujo, si i = 20%
P = A (
VP
A
, 20%, ,3) + G (
VP
G
, 20%, ,3) + A (
VP
A
P = 10(2.1065) + 10(1.8519) + 40(2.5887)(1.2)−
22. Una persona se propuso ahorrar $1 000 cada fin de año durante 10 años, en un banco que paga un interés de 12% anual. Sin embargo, al final de los años 5 y 7, en vez de ahorrar tuvo que disponer de $500 en cada una de esas fechas. ¿Cuánto acumuló al final de los 10 años, si hizo ocho depósitos de $1000?
VF = A [
(1 + i)n^ − 1 i
] + 1000(1 + i)n^ + A [
(1 + i)n^ − 1 i
]
VF = 1000 [
(1 + 12%)^4 − 1
] + 1000(1 + 12%)^4 + 1000 [
(1 + 12%)^3 − 1
]
VFI = 1000[4.779] + 1573.519 + 1000[3.3744]
VFI = 4779 + 1573.519 + 3374.
VFI = 4779(1 + 12%)^6 + 1573.519 + 3374.
VFI = 9432.899 + 2573.519 + 3374.
VFI = $14380.
VFII = 500(1 + 12%)^5 + 500(1 + 12%)^3
VFII = 881.171 + 702.
VFII = $1583.
VFT = VFI − VFII
VFT = $14380.818 − $1583.
23. Un matrimonio compró una casa de $180000 mediante una hipoteca que cobra 10% de interés anual. Si el matrimonio puede dar pagos de $ 000 cada fin de año, comenzando un año después de a compra, a) ¿cuándo terminarán de pagar la casa? b) si dan un enganche de contado de $35000 y desean pagar la casa en el mismo plazo calculado en el inciso a), ¿a cuánto ascenderán ahora los pagos de fin de año?
A = VP [
(1 + i)ni (1 + i)n^ − 1
]
A = $145000 [
(1 + 10%)^16 (10%)
(1 + 10%)^16 − 1
]
A = $145000 [
]
A = $145000[0.1271]
24. Se han pedido prestados 1 000 a una tasa de interés de 5% anual y se acuerda pagar cada fin de año, iniciando un año después de que fue otorgado el préstamo, de forma que cada pago disminuya $75 cada año, es decir, el segundo pago será menor que el primero por $75, el tercero menor que el segundo por $75, etc. Si se desea liquidar totalmente el préstamo en seis años, cuál será el pago al final del sexto año?
VPT = VPA − VPG
VPT = A (
VP
A
, i, , n) − G (
VP
G
, i, , n)
1000 = x (
VP
A
VP
G
1000 = x (5,0757) − 75(11,9680)
1000 + 896.600 = x (5,0757)
x = $ 373.
El sexto año sería igual a:
𝐀ñ𝐨𝟔 = 𝐀 − 𝟑𝟕𝟓 = 𝟑𝟕𝟑. 𝟖𝟓𝟗 − 𝟑𝟕𝟓 = −𝟏. 𝟏𝟒𝟏
Como observamos el resultado es negativo lo que nos indica que se
terminará de pagar la deuda en el periodo 5, por lo tanto la cuota del sexto
año es igual a cero.
25. Durante 10 años una persona ahorró cierta cantidad, de tal forma que el depósito del año siguiente siempre fue superior en $1 000 a la cantidad depositada el año interior. El interés que se pagó por este tipo de ahorros fue de 6% anual. Si al final de los 10 años se contaba con $66 193, ¿cuál fue la cantidad que se depositó el primer año?
i = 6%
n = 10
VF = $
VF = A [
(1 + i)n^ − 1 i
] + G [
i
] [
(1 + i)n^ − 1 i
− n]
$66193 = A [
(1 + 6%)^10 − 1
] + 1000 [
] [
(1 + 6%)^10
− 10]
$66193 = A[13.181] + 1000[16.667][3.181]
$66193 − 53017.727 = A[13.181]
A =
A = 999.
26. Una empresa pide un préstamo por $190288.85 a un banco que cobra un interés mensual de 1.5%. Acordó liquidar la deuda en 24
33000 = 4000 [
(1 + 0.09)^5 − 1
(0.09)(1 + 0.09)^5
] + 3000 [
(1 + 0.09)n^ − 1 (0.09)(1 + 0.09)n
] [
(1 + 0.09)^5
]
33000 − 15558.6 = 1949.8 [
(1 + 0.09)n^ − 1 (0.09)(1 + 0.09)n
]
= [
(1 + 0.09)n^ − 1 (0.09)(1 + 0.09)n
]
(1 + 0.09)n (0.09)(1 + 0.09)n^
(0.09)(1 + 0.09)n
0.09(1 + 0.09)n
1
0.09(1 + 0.09)n^
ln (
(1 + 0.09)n
) = ln 0.
ln(1) − ln(1.09)n^ = −1.
n ln(1.09) = 1.
n =
ln(1.09)
n = 18.91 ≈ 19 años
Se hacen exactamente 18 retiros más 5 que se realizan anteriormente lo que
da un total de 23 retiros antes de extinguirse totalmente el fondo.
saldo = 4000 [
(1 + 0.09)^5 − 1
(0.09)(1 + 0.09)^5
] + 3000 [
(1 + 0.09)^18 − 1
(0.09)(1 + 0.09)^18
] [
(1 + 0.09)^5
]
saldo = 15558.6 + 17071.6 = 32630.
deuda = 33000 − 32630.2 = 369.
𝐫𝐞𝐭𝐢𝐫𝐨 𝐦𝐞𝐬 𝟐𝟒 = 𝟑𝟔𝟗. 𝟖 (𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟗)𝟐𝟒^ = 𝟐𝟗𝟐𝟓. 𝟓𝟏
Notamos que en total serian 24 retiros.
28. Un equipo viejo produce una gran cantidad de piezas defectuosas. Se calcula que durante los siguientes cuatro años se producirán 1 200 piezas defectuosas por año y a partir del quinto, éstas aumentarán en 150 unidades anuales. La empresa que tiene este equipo usa como regencia una tasa de interés de 12% anual y está haciendo un estudio para un periodo de ocho años. Si cada pieza defectuosa le cuesta $10, ¿cuánto
estarán dispuestos a pagar ahora por una máquina nueva que evite totalmente este problema?
i = 12%
n = 8
VP = A [
(1 + i)n^ − 1 (1 + i)ni
] + [A [
(1 + i)n^ − 1 (1 + i)ni
] + G [
i
] [
(1 + i)n^ − 1 (1 + i)ni
n (1 + i)n
]]
VP = 12000 [
(1 + 12%)^8 − 1
(1 + 12%)^8 (12%)
]
+ [12000 [
(1 + 12%)^5 − 1
(1 + 12%)^5 (12%)
]
+ 1500 [
] [
(1 + 12%)^5 − 1
(1 + 12%)^5 (12%)
(1 + i)n
] [
]
3 ]
VP = 28821.97 + [43257.31 + 9595.52] [
]
3
29. Por medio de la aplicación de técnicas de ingeniería industrial, una empresa logró ahorrar $28000 el primer año, disminuyendo los ahorros en $4000 cada año durante un periodo de cinco anos. A una tasa de interés de 12% anual, ¿a cuánto equivalen los ahorros de los cinco años al final del quinto año?
i = 12%
PC = Anual
