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Baixe Close - Circuitos Lineares Parte 1 e outras Notas de estudo em PDF para Automação, somente na Docsity!
descrito para o curso de-um ano, em análise de cipoulta pomecs no segundo ou terceiro ano do cursa de à Apresenta um tratamento integrado da teoria dos Giroui Ito ativos, que enfatiza o significado das técnicas e o efeito do po n5 formas de onde e sobre o espectro de frenuência do fra Contém capítulos divididos em tópicos como a análise fiho-elétricos, e fornece uma boa base para cursos. Ba do circuitos eletrônicos, componentes de sistemas. é dontrole e sistemas de comunicação, putos estudantes ao iniciar este curso jé tenham estudado 05 8 magnéticos e, possivelmente, equações. co pré-requisito para o estudo deste livro é o Dido véloulo diferencial e integra! Foram usadas no texto a subdivisão desnecessária do assunto, úDura mostrar as vantagens, imitações. significa: BS entra as diferentes técnicas de análise. Um bom número E à Pesolvido em tada o livra por mais de um método e há Peqlente dos conceitos, MAIS UM LANCAMENTO DA ERR JOS TÉCNICOS E CIENTÍFICOS CNTORA sado Fhsito contido nos termos da equação, Finalmente, as aplissções da dearia da Vartávo Bomplexa nas Segs, 10,4 6 10,6 colocam a transformada do Laplace sm base ainea imials Firmo e PrsBaram melhor os estudantes para cursos mais avançados. AS uiravar Os vários capítulos procurei apresentar motivação e continuidade, explicar o que deve ser felto a seguir o auxiliar o estudante a obter um bom discernimento, tanto matemático como fico, des diferentes técnicas, Fiz uso liberal de exemplos e de figuras e incluí sumários ao Final das capítulos, A maioria dos problemas (alguns dos quais têm várias partes) zem sido usada durante os últimos cinco anos no Rensselaer em testes ou em trabalhos para casa; respostas para eerea de metado dos problemas estão contidas nos seus enunciados ou constam no do livro. A nomenclatura usada é praticamente a usual, com letras minúsculas denotando funções do tempo é lotras maiúsculas denotando fasores e grandezas transformadas. Tipos em negrito somente são usados para fasores, de maneira o enfatizar o caráter especial de um fasor (uma grandeza somplaxa que contém a intormação essencial sobre uma função real do tempo). Os tipos em negrito perderam sum eficácia se fossem usados para todas as grandezas complexas, tais como à frequência complexa s o grandezas transformadas. Devido a que os professores não podem escrever com feeilidade em negrito, não fiz com que o tipo de letra fosse essencial à interpretação correta dos simbolos de tensão e de corrente, Assim, |E/ e não E foi usedo para representar a intensidade do fasor da tonsão E, A ordem na qual os tópicos são apresentados não é a única que pocerá ser seguida. Por nplo, para alguns cursos poderia ser conveniente estudar o Cap. 8 após o 5 ou us Caps. 9 e 10 o 6, Várias seções, entre as quais as 24, 3.5, 36, 65, 84, 86, 10.4 e 10.5 podem ser las, 18 O professor preferir, sem nanhuma perda considerável de continuidade, Entro as muitas pessoas que me deram assistência e conselhos valiosos estão uma dúzia de lngas, mais de mil estudantes, quase uma dúzia de revisores que ofereceram comentários constru- sm vários estágios e duas pacientes datilógratas (Sandra Eliott e Rosana Laviolette). Além “figo devedor àqueles que deram a inspiração e o encorajamento que foram ingredientes jlals na preparação do livro. CHARLES M. CLOSE Sumário edge dee aeee eee feed he de de efe ted det |. CONCEITOS PRELIMINARES, 1 £1 Análise, Linearidade e Circuitos, 2 43 Correrte, Tensão, Potência e Energia, 8 1.3 Elementos de Cireuiros, 12 14 Leis da Kirchhott, 22 1.5 Representação de Dispositivos Físicos por Modelos, 30 1.6 Sumário, 36 Problemas, 36 2, CIRCUITOS RESISTIVOS, 43 2.1 Resistência equivalente, 44 2,2 Algumas Consequências da Linearidade, 51 2,3 Teoremas de Thévenin e de Norton, 55 2,4 Topolagia dos Circuitos, 69 Equações Nadais, 84 Equeções de Laços, 92 Duais, 101 Sumário, 105 Problemas, 108 3. CIRCUITOS COM CAPACITÂNCIA E INDUTÂNCIA, 118 3.1 Resposta: Livre e ao Degrau, 119 3.2 Funções Singulares, 123 3.3 Resposta às Funções Singulares, 128 3.4 Representação de Sinais como Some de Funções Singulares, 139 3.5 O Teorema de Convalução, 143 3.6 Interpretação Gráfica da Convolução, 152 3.7 Sumário, 155 Problemas, 156 4. A SOLUÇÃO CLÁSSICA DE CIRCUITOS, 164 4.1 A Solução Geral das Equações Diferenciais, 184 4.2 Condições Iniciais, 169 4.3 A Solução Complata de Circuitos, 174 ) 4.4 O Significado co das Soluções Complementar a Particular, 186 E 4.5 O Estado Permanente em Corrente Contínua, 193 4.6 A Resposta Forçada a €!, 19B 47 Sumário, 200 Problemes, 200 = ” CONCEITOS PRELIMINARES GAR, 1 dA. ANALISE, LINEARIBADE E GIRGUITOS Saída = y i i Entrada = Um sistema existente pode ser observado expe conclusões dos dados obtidos. É impo anto, ex ponto ses disponíveis para examinar as relações de entrada-saída de emas propostos, T métodos podem ser usados para prever as possibilidades de su sso, podem fornecer uma valiosa compreensão da operação do sistema e através deles pode-se encontrar t a ti meios de eliminar deficiências. Por exemplo, certamente não seria possível construir é lançar um satélite da terra com sucesso sem um demorado estágio de projeto teórico. (a) Saída = Kyy(1) O desenvolvimento de métodos analíticos envolve várias considerações. Primeiro, Entrada = X uma descrição matemática deve ser formulada para os componentes individuais. Esta | descrição deve aproximar o comportamento observado do componente físico em K K consideração, mas deve também ser o mais simples possível, de maneira que os cálculos não se tornem desnecessariamente difíceis. Em segundo lugar, deve ser encontrada uma descrição matemática do efeito da interligação dos diferentes componentes através da postulação de leis de interligação. Um sistema dado pode então ser representado por 4 ú t um mocelo (ou sistema idealizado), que é baseado na descrição matemática dos O 1 º componentes e de sua interligação. Poderão então ser determinadas as relações de d) entrada-saída aplicando-se técnicas matemáticas conhecidas. O teste mais severo da validade deste procedimento é a verificação de se os resultados analíticos concordam consistentemente com as observações experimentais. Se não houver uma concordância suficientemente íntima, então deverá ser revista a descrição matemática dos compo- nentes Oy de sua interligação. Alguns conhecimentos de Física elementar são muito úteis quando as leis dos ri) 1 [ 1 elementos idealizados e de suas interligações são postuladas. Na maior parte do livro, entretanto, contentamo-nos em apresentar, sem raciocínios físicos detalhados, os ele- (e) mentos & as leis que são reconhecidamente concordantes com resultados experimentais. Entrada = x(1) + xo(t) Nas análises matemáticas admitimos que o estudante tenha uma boa compreensão de cálculo diferencial e integral; todos os conhecimentos matemáticos que podem ser 2 necessários são apresentados nos lugares apropriados. 11 ' EA Análise, Linearidade e Circuitos Entrada = x2(1) Saída — yo(t) É 1 HE Saída = yi(0) + volt) Caga uma das palavras principais no título deste livro indica uma limitação no ) 1 [o seu alcance, Em um problema de análise o sistema e a entrada são dados e a saída deve Ê, ser determinada. Ao contrário, a tarefa em um problema de síntese é projetar um (a) sistema Qadas a entrada e a saída desejadas. Qutros problemas de engenharia podem a ainda exigir a determinação da entrada necessária para produzir uma resposta desejada Fig. 1-2 de um sistema dado; ou podem existir problemas de pesquisa onde poucas restrições são definidas tanto para a entrada como para o sistema e a saída. Embora O problema NDA de análise seja, em si, O tipo de problema de engenharia menos importante, ele tem que entrada futura, Se a resposta de um sistema proposto a todas as entradas Teais não ser dominado antes que problemas mais desafiadores possam ser resolvidos. real, ou se a resposta viola as relações normais de causa e efeito, o sistema é dito Sinais de entrada, tais como o pulso retangular mostrado na Fig 1.1-24, são irrealizável. al Lipo funções reais do tempo. (A Fig. 1.124 poderia representar uma força aplicada de Os sistemas são ainda classificados colocando-se restrições adicionais na relação intensidade constante para O <£ < 1 no sistema mecânico da Fig. 1.1-1h.) À Tesposta entrada-saída.* Um sistema é dito linear se ele obedece às seguintes regras, que são a Ra tal sinal de entrada, será vutra função real do tempo e dependerá tanto da ilustradas na Fig, 1.1-2. á entrada como das características do sistema. Algumas vezes, nos capítulos posteriores, iplicati a saída é será conveniente admitir, como uma etapa intermediária na análise, que a entrada e a “1. Quando a entrada é a poi A po Since K, saída são funções complexas. Não obstante, à solução final representará a resposta a também multiplicada por X, como mostrado na Fig. 1.1-2b. um sinal de entrada real. ———— E d j do A relação entrada-saída é uma de causa e efeito; portanto, o valor de y(t) em um “A análise de uma classe muito mais ampla de sistemas cu os oeiindos ga dies instante qualquer rp não pode ser influenciado pelos valores de x(?) para é > to, ou ser encontrada em P. M. DeRusso, R. J. Roy e C. M. Close, Siate Varia seja, à saída atual pode depender da entrada passada e da entrada atual, mas não da Torque: Wiley, 1965). SUNDEITOS PHECIMIN, GAP, 1 2, Se duas entradas forem apli aneamente (tanto no mesmo ou em rentes pont a), à resposta será a soma das respostas individi separadamente (Fig. 1.1-2d).* Em resumo, se Ya(t) e ya(t) denotarem as respostas a duas entradas indepen- dentes x, (t) e xo (7), então um sistema será linear se, e somente se, a resposta a xt) — Kixilt) + Kaxa(t) (1-1) for Pl) Kin(t) Keyalt) : (1.12) ra todas as entradas e para todos valores das constantes K, 1 € K>. Note que a linearidade não implica necessariamente que a função do tempo de saída tenha a mesma forma que a da entrada. Na prática, quase todos os sistemas são algo não-lineares, mas, em muitos casos, a não-linearidade tem um efeito tão pequeno que pode ser desprezada. Muito freqilen- temente, o efeito de uma não-linearidade em um componente somente se torna evidente quando as entradas são muito grandes. Por exemplo, um eixo metálico sob tração pode ser descrito pela curva da Fig. 1.1-3, Se o alongamento do eixo e a força aplicada farem escolhidos como a saída e a entrada, respectivamente, o componente será linear enquanto a força não exceder o limite de elasticidade fe: Para forças muito Brandes, entretanto, duplicar a força não duplicará o alongamento. Da mesma maneira, muitos componentes elétricos tais como transistores e válvulas, comportam-se de uma maneira lincar somente para pequenas entradas. Este livro é limitado a componentes * que podem ser considerados lineares. Qualquer sistema composto somente de compo- nentes lineares é também linear. Exemplo 1.1-1, Um diferenciador é um dispositivo caracterizado pela relação y = dx/dt. Será tal dispositivo linear? Solução. Sejam ya(t) e pa(t) as respostas às entradas x(7) e Xo(t), respectivamente, de maneira que ás) dr dali) Vito) = i dt e = A resposta à entrada Kyx, (8) + Koxa(t) é d &[ oo Kodo | = 24 EO + SO do Runti) + Kao) 9 que concorda com a Eq. 1.1-2; portanto, o sistema é linear. Um circuito que age co diferenciador é discutido no Ex. 1.4-4, f E E Exemplo 1.1-2, Determine se os sistemas seguintes são lineares ou não. (2) Um sistema caracterizado por y =x*. (b) Um sistema caracterizado por y = Mdx/dr). (c) Um sistema caracterizado por y =x(dx/dt). .PA segunda purte da nossa definição de linearidade, que é ilustrada na Fig. 1.124, é conhecida como q princípio da superposição. ANGUE; CINHARIBADE E GIRGUITOS 5 Solução, O primeiro e o terceiro sistomas são não: se q entrada à saída será quadruplicada (6 não d ja). O segundo sistema é linear, pois a resposta a Ana + Rana) é Kg) + Royal), Circuitos são sistemas compostos de componentes elétricos, onde os sinais obser- os (incluindo-se as entradas e as saídas) são tensões e correntes. Sistemas não-elétri- as são tratados sucintamente no Cap. 11. Lá será ressaltado que muitos dos conceitos das técnicas matemáticas que são desenvolvidos para a análise de circuitos podem ser bém utilizados para a análise de sistemas mecânicos, hidráulicos, térmicos, acústicos vários outros, e assim, têm uma ampla aplicação. Fórça aplicada Alongamento Fig 1.13 Os circuitos analisados neste livro não são somente lineares; são, além disso, também invariantes no tempo e concentrados. Um sistema é dito invariante no tempo (ou fixo) se sua relação entrada-saída independe do tempo. Se a entrada de um sistema invariante no tempo for retardada de to segundos, sua saída será retardada do mesmo tempo, mas sua forma e amplitude não serão afetados. A Fig. 1.1-4 mostra uma relação típica entre a entrada x(t) e a saída y(?). Atrasar uma função do tempo de to corresponde a deslocar sua curva representativa para a direita e a substituir todo 7 por t — to na equação que a descreve. Para um sistema invariante no tempo, a resposta a x(t — to) deve ser y(t — to), como mostrado na Fig. 1.1-46. Um sistema variante no tempo é um sistema cujas características são alteradas com o tempo. Como a massa de um foguete diminui à medida que seu combustível vai sendo gasto, a massa do foguete é um componente variante no tempo. Ou ainda, as propriedades de um circuito podem alterar-se se a temperatura em torno dele se alterar significantemente, Nos sistemas variantes no tempo, a forma e a amplitude da resposta dependem de quando a entrada é aplicada. Exemplo 1.1-3, São os sistemas descritos nos Exs. 1,1-1 e 1.1-2 invariantes no tempo? Solução. O diferenciador y = cx/dt é invariante no tempo, pois a forma de onda da saída é simplesmente a inclinação da função de entrada. Como ilustrado na Fig. 1.1-5, a amplitude e a forma da resposta não são afetados pelo instante no qual a entrada é aplicada. Matematica- mente, a resposta a uma entrada x(t-—tg) é delt=—t) det — to) dit — to) do de=) da No Ex. 1.1-2, o sistema caracterizado por y = !(dx/dt) é variante no tempo. Devido ao fator multiplicativo Z à dircita, a saída devida a uma entrada aplicada em um instante posterior será maior que a obtida se a mesma entrada fosse aplicada antes. Os outros sistemas =pt-kK-0=xX 1) Ev À restrição à análise de circuitos lineares, invariantes no tempo e conçentrados pode parecer uma limitação muito severa, Entretanto, muitos problemas importantes enquadram-se em uma tal classificação. Mais ainda, uma boa compreensão do material apresentado neste livro será essencial quando tais restrições forem ser removidas em cursos mais avançados. 1.2 Corrente, Tensão, Potência e Energia O sistema mks de unidades será usado em todo este livro e as unidades para as brandezas elétricas discutidas nesta seção estão resumidas na Tab. 1.2-1.º Todas as cinco grandezas elétricas da tabela são, em geral, funções do tempo £, o que poderia ser enfatizado colocando-se um £ entre parênteses adiante dos símbolos, ou seja, deno- tando-se a corrente por i(t) ao invés de i. potência 10, os prefixos da Tab. 1.2-2 podem ser usados. Assim, 2 x 10'$ segundos (s) é o mesmo que 2 microssegundos (us) e 8 x 10? watts é o mesmo que 8 quilowatis (kw). (Os prefixos kM, mu e ju foram usados no passado mas não são mais aceitos oficialmen- te nas publicações de Engenharia.) TABELA 1,21 Grandeza Símbolo Unidades mks Carga q coulombs Corrente i ampêres Tensão e volts Energia w joules Potência p watts Admite-se que o estudante tenha alguma familiaridade, da física elementar, com Os conceitos de carga, corrente e tensão. Os dois tipos de carga, chamados de positiva e negativa, são transportados por prótons e elétrons, respectivamente, e têm a unidade de coulombs. Seja q a quantidade de carga passando por um determinado ponto num condutor. À taxa na qual a carga se move passando pelo ponto, que: é expressa em unidades de coulombs por segundo ou ampêres, é definida como sendo a corrente i. eai a (1.21) Como o efeito da corrente depende do tipo e da direção da carga móvel, esta equação não é adequada à menos que seja acompanhada por uma declaração de esclarecimento (ou por um símbolo que seja equivalente a uma tal declaração). A linha na Fig. 1.2-1a representa um condutor, enquanto que a seta de referência indica uma direção admitida como positiva para a corrente is(t). A corrente é definida como positiva se cargas positivas se estiverem movendo na direção da seta, ou se cargas negativas se estiverem movendo na direção contrária. Como ambas estas possibilidades *As unidades na teoria dos circuitos são as mesmas indcpendentemente de se usar unidades mks “racionalizadas” ou “não-racionalizadas”. BONGEIFOS PRELIMINARES “GAP, qual delas sitivas se estiverem as se estiverem na sua direção. TABELA 1,22 Prefixo Símbolo 10º giga (quilomega) G (KM) 106 mega M 10º quilo k 102 mili m 106 micro u 102 nano fmilimicro) n (mp) 1012 pico (micromicro) p (ul) (6) + q) Fig. 124 Uma corrente é uma função do tempo e, em geral, é positiva durante alguns ríodos de tempo e negativa durante outros. Um esboço de uma corrente em função lo tempo, tal como a da Fig. 1.2-1b, é chamada a forma de onda da corrente. Se (1) tiver a forma de onda mostrada na Fig. 1.2-1h, cargas positivas movem-se para à direita numa taxa constante de O < 14 < 1 e movem-se para a esquerda com uma taxa CONCEITOS PRELIMINARES AP 1 decrescente para + > 1.*A Fig. 1.2-1º mostra o mesmo condutor mas com- ur diferente seta de referência. Se o movimento físico das cargas for o mesmo em (a) € em (c), então i>(t) =-1,(t) e ix(4) deve ter a forma de onda de (). Deve scr ressaltado. que a seta de referência pode ser fixada com qualquer sentido desde que o esboço (ou a equação) seja coerente com o sentido de seta escolhido. Os elementos de circuito que serão definidos na Seç. 1.3, têm dois terminais acessíveis, como mostrado na Fig, 1.2-2a. Não sendo possível acumular carga dentro destes elementos, qualquer corrente que entra em um terminal deve sair pelo outro. O movimento das cargas através dos elementos é usualmente associado com à absorção ou com a geração de cnergiu, que é denotada por w e que tem joule por unidade. A tensão ou diferença de potencial entre os terminais e denotada por e, tem volt por unidade e será indiretamente definida no próximo parágrafo. À energia absorvida pelo elemento de circuito na Fig. 1.2-2b. quando uma quantidade diferencial de carga dg se move através do elemento de À para B, ou seja, da cabeça para a cauda da seta de referência de tensão, é dw= e da Um valor negativo de dw indica que a encrgia estará realmente sendo fornecida pelo clemento (presumivelmente para alguma outra parte do circuito que não é mostrada na figura). O sinal e(t) é positivo se, e somente se, O elemento de circuito estiver absorvendo energia quando cargas positivas se moverem da cabeça para a cauda da seta de tensão, Em física elementar, o potencial elétrico de um ponto é comumente definido como o trabalho necessário para mover-se uma unidade de carga positiva de um ponto de referência até o ponto em questão. Esta definição é equivalente à definição dada no parágrafo anterior, se e(t) representar a diferença entre os potenciais dos pontos 4 e B. Se e(t) for positiva em algum instante de tempo, o potencial na cabeça da seta é mais positivo que o na cauda. Se, em algum instante, e(t) for negativa, então o contrário ocorre.** Inverter o sentido da seta resulta na troca do sinal da tensão, como é mostrado na Fig. 1.2-24, de tal maneira que qualquer curva ou equação que represente uma tensão deve estar relacionada a um sentido particular da seta de referência. A notação mais-menos da Fig. 1.2:2d é algumas vezes usada em lugar da seta de referência de tensão. Os sinais de mais e menos substituem respectivamente a cabeça e a cauda da seta. Algumas vezes, quando muitas tensões são indicadas no mesmo diagrama, o casamento correto dos sinais de mais e de menos pode ser confundido; assim, eles não serão usados neste livro. Para auxiliar na distinção das setas de corrente e de tensão, entretanto, as cabeças das setas de corrente serão fechadas e as das setas de tensão serão abertas. *Como foi mencionado no parágrafo anterior, i, (1) pode também ser interpretada em termos de cargas negativas que se move nas direções opostas. Sabe-se atualmente que são os elétrons (partículas com carga negativa) e não os prótons (partículas com carga positiva) que se movem nos condutores, embora seja possível que as partículas carregadas positivamente possam mover-se em Outros meios. Historicamente, entretanto, corrente fai tomada como sendo o movimento de partículas positivas e tornou-se costume, na teoria de circuitos, interpretar a corrente desta maneira, ignorando-se quais as partículas realmente envolvidas no processo. ** Alguns textos distinguem uma “subida de tensão”, que é sinônima de nossa definição de e, e uma “queda de tensão”, que é algumas vezes denotada por » e que difere de e por ter o sinal contrário. Embora o conceito da queda de tensão não seja usado neste livro, o estudante poderá encontrar esta notação e outras diferentes ainda so consultar outros livros. COSRENTES TENSAU, FUTENDIA E ENERGIA “ elo) el) = —eo (o) Fig. 1.22 Como pela Eqg. 1.2-1, dg = idt, a energia absorvida em «dt segundos pelo elemento de circuito da Fig. 1.2-2b é dw = ei dt e a potência absorvida por ele é DE E a (1.2:2) em watts (joules por segundo). Na Eq. 1.2-2 admite-se que a seta de Dera pas ne ein Ns o ari Er seta Ni tensão está dirigida, pois em caso contrário apareceria um sinal negativo. A Fig 1.23 mostra quatro combinações possíveis das setas de referência. Como ex(t) =-e(t) e ix(t) =-iy(t), as quatro expressões para a potência dão resultados iguais. Como dw = p dt = ei dt, a energia líquida total absorvida por um elemento é m(O = | pt) de = [ei ar (1.2:3) Uma integral indefinida requer o cálculo de uma constante de integração. Para evitar esta etapa na solução de problemas de circuitos, é melhor interpretar estas relações em termos de integrais definidas. A energia total absorvida do instante t, até o instante t, io cdr) — fo" p(o) de Dc e TABELA 1,31 Elemento de circuito Símbolo Cet lefinição Resistência: EE ie R ohms (M) “o = Rito) Condutânei G (mhos) = 1/R Capacitância: € farads (f) A Elastância: S (darafs) = 1/€ Auto-indutância: L henrys (h) Indutância inversa: T (henrys inversos) =1jL im= ed Entre os componentes encontrados ircui A s nos circuitos comuns estão o resisto: o eo indutor. Os elementos usados para aproximar estes oponente ão á nda q » paineis (C) e ã dinda (L), respectivamente. Seus símbolos, 5 ão resumidos na Tab. 1.3-1. A meno: decl ) contrário, R, C e L são constantes reais, nã ! Ena a BR, l s , não-negativas. As unidades usadas par: a tiradas dos nomes de três grandes cientistas do século XDE Georg É o a a (que propôs a lei tomada como definição da resistência), Michacl Faraday DR no ea e independentemente, que uma tensão pode ser magnético variante). Os síi ã ohm, farad e henry, respectivamente, ! Pp a ç A definição de resistência, e(t) = Ri(t), indi j ? tes q, = . ca que a corrente e a tensão sã diretamente proporcionais. Assim, curvas de e(t) e de i(t), traçadas em função de £, mpre à mesma forma, diferindo somente na escala usada para o eixo vert é ilustrado na Fig ê Lala, Do fato, a forma de onda de uma corrente é temente determinada experimentalmonte pelo exame da forma de onda da jo em um resistor através do qual cla passa, A condutância é definida como G=I/R, a unidade é o mho? obtida escrevendo-se obm de trás para diante. Na Tab, 1.3-1, a seta da tensão é dirigida para o terminal onde entra a seta da ato, do uma das setas for alterada, será necessário introduzir um sinal negativo nas E , vomo é ilustrado pela Fig. 1.32. Pa Eq. 1.22, a potência entregue à resistência da Fig. 1.3-2u é p=ei= Ri? = Ge (1.3-1) ymada como não-negativa. Portanto, a resistência pa pode ser uma fonte de potência, mas somente absorvê-la e dissipála em forma palor; consequentemente, a resistência é um elemento passivo. À energia total evida a uma resistência pode ser calculada pela Eq. 1.2:5. A Fig. 1.3-1h mostra a dência é à energia correspondentes às formas de onda de corrente e de tensão da Fig. dela, Ao traçar w(t) na Fig. 1.3-1b admitiu-se que nenhuma potência tenha sido aenocida antes do instante t = O. Eerá sempre não-negativa se R for to! (3) a(o) = Ri) (D) ext) = —Ri(i) Fig. 1.32 A resistência de valor zero é denominada um curto-circuito e a condutância de va- os zero, ou seja, uma resistência infinita, é denominada um circuito aberto. Estes ois casos extremos são mostrados na Fig. 1.3-3. No primeiro caso, e(t) é restrita ao valor zero, enquanto no segundo i(t) = 0. «) = 0 (o) E O TR ea) =0 e) (b) circuito aberto (a) curto-circuito Fig. 1.3-3 cia é denominada siemens, abreviada 5. +N. do 1: A unidade brasileira legal pura condutân: assim, adotada nesta tradução Admite-se, entretanto, chamá-la de mho, 0 que é mais usual e, mm ev E Embora todos os candutores metálicos tenham alguma resistência, resistores são dispositivos construídos para fazer a resistên ser o efeito dominante. Admitiremos que a resistência de um fig ligando dois componentes ou é desprezível ou é represen- tada por um elemento separado no modelo de um circuito. Todos os fios de interli- Bação mostrados nas figuras deverão ser interpretados como curto-circuitos sem nenhuma diferença de potencial entre seus dois extremos. Um condensador consiste de duas Placas metálicas, separadas por uma fina camada de material isolante, como duas placas devem ter a mesma amplitude mas sinais opostos e devem produzir na camada isolante um campo eletrostático que seja capaz de urmazenar energia. O mecanismo pelo qual a corrente i(t) “atravessa” o condensador é discutido nos textos de Teoria do Campo. A capacitância é definida pela equação q = Ce, ou, derivando em relação ao tempo e usando a Eq. 1.2-1,i = € (de dr). ) Fig 1.34 A expressão i = dqjdt = € (de/dt) pode ser reescrita como e = qiC = (/C)jidr. * A última equação é mais facilmente interpretada, entretanto, como uma integral definida, por raciocínio semelhante ao usado no desenvolvimento das Egs. 1.2-5 e 1.2-6. Como i dt = C de, )— e +g e; ae ai = Cle(ta) — e(ti)] Ou, se ty, ty e £ forem substituídos por O, t e À, respectivamente, * Cde es) = «(0) + Eh (A) dA (1.3-2) Uma equação alternativa mas equivalente para a tensão através de uma capacitância é do) = EA A) dA (1.3-3) onde |!» i(A) dA simboliza a carga líquida fornecida à capacitância por toda a corrente que entrou ou saiu dela desde seu nascimento até o instante 1. Esta integral pode ser *A Eq. 1.3-2 é válida mesmo se O for ulterado para qualquer outra referência de tempo fo. duas partes como segue; 4 ! E a GI A = O) oia z Pias é igual à Eg. 1,3-2, Na prática, a história completa da capacitância nunca é oida, mas sua tensão no instante 7 = O pode ser conhecida; consequentemente, a 1,32 é normalmente a expressão mais útil. Ato) PAO) 1 1 | 1 Tl [o l : (a) Alo) So) 2 1 jr ovina ij BA ppa =? Ah (b) 4 = t A Lindos dito pará O «1 < 2 | Pes ! > t º 2x [o JU 2x Al =p (9) sto = SL 7 HO = fo far Fig 1.35 de itância não são, em As formas de onda da tensão e da corrente para uma capacii E X geral, as mesmas. A forma de onda da corrente pode ser encontrada, derivando-se a forma de onda da tensão. Da mesma maneira, a forma de onda da tensão pode ser encontrada integrando-se a forma de onda da corrente. at i iva i de ser ando uma função dada consiste de retas, a derivação ou integração pos j feita ne com facilidade. A derivada de uma função é a inclinação da curva, Ds armazenada em uma indut e (rt) sejam nulas, Ent cia é deduzida, admite-se que, em algum instante o, w(t) W = 4Li? (1,37) Os detalhes desta dedução são semelhantes ao raciocínio usado na dedução da Eq. 1.34. Como £ é uma constante positiva e real, w >0 e a indutância é passiva. Todos os três elementos definidos na Tab. 1.3-1 são lincares e invariantes no tempo. Para a resistência, duplicando-se a corrente, a tensão será duplicada, e, se a corrente consistir de dois componentes - por exemplo, se i(t) = iy(t) + io (1) — a tensão eu) = Rli(t) + io()] = Riy(t) + Ris(t) será a soma das tensões produzidas por compo nente de corrente agindo. separadamente. A resistência é invariante com o tempo, pois retardando-se a corrente de to onda não será afetada, As relações i = Cl(de/dr) e e = L(di/dt) são semelhantes (exceto por uma constante multiplicativa) à equação y = dx/dt, que foi discutida nos Exs. 1.1-1 elis, Como já foi discutido, os elementos da Tab. 1.3-1 são passivos, se R, Ce L forem constantes positivas. Uma resistência dissipa imediatamente qualquer energia recebida, mas uma capacitância ou uma indutância armazena a energia recebida (nos campos elétricos c magnéticos associados com os elementos físicos) e pode posterior- mente devolvê-la ao circuito. As indutâncias são comumente expressas em milihenrys (mH) ou em microhenrys (ut), enquanto que as capacitâncias são comumente expressas em microfarads (uF) ou picofarads (pF). Uma capacitância de 1 F, por exemplo, é muito rara. Não obstante, é comum usar-se valores de L e de C nas proximidades de 1H e de IF nos problemas, - para evitar que o trabalho numérico obscureça o significado das etapas de solução. Mais ainda, conforme será discutido no Cap. 11, pode-se sempre utilizar técnicas de escala- mento para converter circuitos com elementos de valores práticos em outros que sejam mais facilmente tratáveis matematicamente. A discussão de outro elemento de circuito passivo, a indutância mútua, será protelada até o Cap. 7. Ao contrário dos elementos de circuitos da Tab. 13-1, a indutância mútua não pode ser caracterizada por um modelo com dois terminais. Ao contrário, é um dos três parâmetros que caracterizam um componente de quatro terminais chamado transformador. Fontes. Cada elemento da Tab. 1.3-1 é definido por uma relação entre e(f) e i(t), de mancira que quando uma destas variáveis tiver sido determinada a outra poderá ser calculada. O comportamento de muitos componentes, entretanto, não pode ser descrito pelos clementos discutidos até o momento. fontes são elementos de dois terminais para Os quais não há relação direta corrente-tensão. Portanto. quando uma das duas variáveis for dada, a outra não poderá ser calculada sem um conhecimento do restante do circuito. (Mais uma vez, as fontes aqui definidas são elementos ideais que somente aproximam os dispositivos físicos.) Fontes independentes são elementos para os quais ou a tensão ou a corrente é sempre dada. A fonte de tensão independente mostrada na Fig. 1.3-8a tem uma tensão e(t) que é uma função especificada do tempo e que é independente de quaisquer ligações externas. A corrente i(t) dependerá das ligações externas e poderá passar em ambas as direções. Se em algum instante ambos os valores de e(t) e de rf) forem positivos, a fonte estará fornecendo e não absorvendo potência (isto devido a que a seta da corrente sai do terminal para o qual a seta de tensão está dirigida). A corrente pode assumir qualquer valor, de maneira que a fonte de tensão é teoricamente capaz de fornecer uma quantidade ilimitada de potência e de energia para O resto do circuito. = à Uma bateria é uma fonte de tensão independente que fornece uma tensão quase inte, independentemente da corrente que está sendo solicitada dela, e assim, pode eximada por uma fonte de tensão de valor constante. Quando e(t) é uma & não uma função do tempo, a fonte é algumas vezes desenhada como & Fip. 1,3-8b, onde os segmentos de reta mais curtos sugerem as placas de uma de Uma fonte de tensão de valor zero é equivalente ao curto-circuito mostrado na 40) e(r) db) Fig. 1,38 A fonte de corrente independente, mostrada na Fig. 1.3-8c, produz uma corrente gvificada i(t) independente das ligações externas. Como a tensão nos seus terminais pende do resto do circuito e pode assumir qualquer valor, a fonte independente de atente também pode fornecer uma quantidade ilimitada de potência e de energia. É msível que o estudante esteja mais familiarizado com fontes de tensão do que com tes de corrente, mas muitos dispositivos podem ser representados por uma fonte de Worrente combinada com alguns elementos passivos. Uma fonte de corrente de valor FBrO é equivalente ao circuito aberto mostrado na Fig. 1.3-3b. ) ext) = Aesta) | (1) = gi(t) dia —0-——— (a) (bd) ES. fato ente) = ge) te) O termo fonte em corrente em repouso é um circuito aberto. Uma fonte controlada é uma fonte cujo valor não é circuito, mas é uma função conhecida de alguma outra ten: são particularmente importantes para se construir modelos Por exemplo, as Figs. 1.3-94 e 1.3-9b mostram modelos muit de amplificadores a válvula e a transistores, respectivamente. fonte de corrente i(t) que é uma fonte de tensão controlada por corrente. De uma certa maneira, uma fonte controlada não é realmente um componente de dois terminais, corrente da qual ela depende (e que pode estar localizada em também ser mostrada para que o elemento fique completamente c; qualquer lugar) deve aracterizado. EO) Eu) el) = Ri(t) e(u) R (a) 4d) E((o) —— el) = Rito) é te) Fig. 1.3-10 A fonte controlada, mostrada na Fig. 1.3-104, é equivalente à resistência da Fig. 1.3-10b, pois ambas têm as mesmas tensões e correntes terminais. Se a “polaridade” da fonte controlada da Fig. 1.3-104 for trocada, como na Fig. 1,3-10c, o elemento corresponderá a uma resistência negativa e fornecerá potência ao resto do circuito. 14 Leis de Kirchhotf A Fig. 1.4-1a mostra um circuito composto de cinco elementos de dois terminais (ou ramos). O ponto de ligação de dois ou mais elementos é denominado um nó (ou vértice). Normalmente, entretanto, os pontos sólidos, mostrados nos quatro cantos do circuito, são usados somente na junção de três ou mais fios, como na Fig. 1.4-1h (que iii io nd repouso é frequentemente usado para denotar uma fonte de valor zero. Então, uma fonte de tensão em 1epuuso é um curto-circuito e uma fonte de independente do resto do são ou corrente. Tais fontes de dispositivos eletrônicos, O simples para alguns tipos A Fig. 1.3-9e mostra uma. controlada pela tensão e;(t) e a Fig. 1.3-9d representa. pois a tensão ou a Fig 141 6) Fig 14:2 jitamente equivalente ao circuito original). Como todos os fios de interligação são los como sendo curto-circuitos, todos os pontos na reta na base da Fig. 1.4-1h & sob o mesmo potencial, e assim, a reta toda é tratada como um único nó. Quando um circuito é desenhado numa superfície plana É necessário, algumas fazer distinção entre fios que se encontram em uma junção e fios que parecem pruzar mas que não têm uma ligação elétrica. Pela notação convencional, os fios da , 14-22 têm uma junção comum,.enquanto os da Fig. 1.4-2c não têm, Muitas oas acham que a Fig. 1,4-2b é equivalente à Fig. 1.4-24, mas outras acham que ela quivalente à Fig, 1.4-2e, de maneira que evitaremos seu uso, O efeito da interligação de diferentes elementos pode ser descrito por duas leis propostas por Gustav Kirchhoff, um físico alemão. Kirchhoff admitiu que henhana “ema pode se acumular em um elemento (como já discutido com relação à Fig. 1.2-24) pu em um nó e que a carga deve ser conservada. Assim, qualquer carga entrando em um nó deve imediatamente deixá-lo por algum outro caminho; portanto, a corrente total entrando em um nó deve igualar à corrente total saindo dele. Na Fig. 1.4-3a. por exemplo, O + da(t) = ia) + ia(t) Como já foi discutido na Seç. 1.2, uma seta de referência foi desenhada para cada corrente, para indicar o sentido adotado como positivo. Em um instante dado, entretanto, algumas ou todas as correntes podem ser negativas, indicando que cargas positivas estão realmente movendo-se no sentido oposto ao da seta. nica e vw PR TS EH DE O ent) Es e Fig. 1.45 Entre as outras trajctóri: s il de Ri ANPR rajctórias fechadas que podem ser selecionadas estão BACB e BDACB, Fig. 1.4-7 eat) + es(t) + estt) = 0 ealt) — es(t) +et) + est) = 0 Ambas as leis de Kirchhoff e as definições da Tab. 1.3-1 são necessárias para a ão de problemas de circuitos. Muitos problemas de circuitos simples, mas práticos, resolvidos nos exemplos seguintes. Não se espera que o estudante tenha tido Hum conhecimento prévio dos dispositivos representados nestes problemas. Mais embora o estudante deva compreender perfeitamente todas as etapas nas solu- apresentadas, é possível que ele ainda não seja capaz de resolver tais problemas grientação. Nos capítulos posteriores serão discutidos, com todos os detalhes, ms métodos úteis c sistemáticos. Como corolário à Eq. 1.4-2, a tensão entre i i Como . 1.4-2, s quaisquer dois tos é i maneira única. Como e, (£) + es(t) — e(t), = O para 0 ão à a Mr “4 et) = ex(t) — es(t) Para o laço à direita, es(t) + es(t) + et) - ed) —0,e ECRM e(t) = es(t) + es(r) + es(t) Portanto, a tensão da fonte é ij à i e e) (o, à â igual à soma algébrica das tensões na trajetóri i É “também aii à soma das tensões na trajetória à direita. Note que PECA, co resulta das equações acima, mas que o estudante deve aprender a deduziy elamente por inspeção do circuito. ; 6) (8) — elo) Fig. 146 CEE Lxemplo LAI. Le R, na Fig. 1.4-8a, representam a indutin deflexão horizontal de um osciloscópio. Sc L =5 He R forma de onda mostrada na Fi fonte? ência da bobina de = Sh e se a corren ie. 1.480, qual deverá ser a forma de onda da tens RR RA ete da circuito limitada pela linha tracejada na Pig. LAO é um modela anvers O e ecinen negativa, Determine a correntes 4 (0), Solução. Da Lei das Tensões de Kirchhoff e das detinições de e» e de er. el) = ext) + eu) = Ri + na Então, como R=1NeL=5H, kt) = 200) a E dt dn) =i A tensão er = (difdt) é desenhada em (d). mostrada na Fig. 1,4-8c e a tensão na fonte necessária, e(?), está Exemplo 1.4-2, Seja a tensão e(r), na Fig. 1.4-84, zero para t [0 cl para * >0, como é mostrado mu Fig. 1.4-92, Admita que a forma de onda da corrente é uma função contínua do tempo e que i(t) = para £ <0. Determine c csboce i(t) para + 20. Solução. A equação e(4) = Ri + Ldildt) se torna i h Ristt) DOR) e in(tf) = —er(BIR. Note que a mesma corrente resultaria se uma ância negativa de —R ohms fosse colocada diretamente nos terminais da fonte de fon a vesistôncia R da figura for substituída por uma capacitância C ou por uma indulância Ei; dução semelhante mostrará que a fonte de tensão “verá”, respectivamente, uma cap ai inela ou uma indutância negativa. E ac E k ine à equação diferencial que relaciona a tensão de entrada e» (t a em a a amplificação” A da fonte de tensão controlada por tensão se aproximar de infinito para £ >0, A solução sistemática desta equação diferencial de 1º Nini um nome para o circuito limitado pela linha tracejada. ordem é discutida no Cap. 3. Neste momento, apenas observamos que a expressão Solução. A corrente através da capacitância é ; deç qe es) it) = ã (= Kectrinio Be e Como a mesma corrente passa através da resistência, satisfaz a equação acima. Como se admite que a corrente é zero em t = 0 e que é uma função contínua, K=1 e ent) a) = 1 — let) — e sb] 1 Ret) (O) = (1 — eusy ; Igualando estas expressões e eliminando e» (t) e usando cult) = edt)/Á, obtemos para ! >0. A forma de onda da corrente está esboçada na Fig. 1.4-9b, (Sempre que o circuito dado contiver indutâncias ou capacitâncias, poderá ser necessário receiver ui Cdeo edi) co(t) equação diferencial para se obter a resposta desejada.) ! : aa E e(f j , 4X Se À tender para infinito, C(deildr) — —e AIR, ou - der edt) = —RC 7) Para valores suficientemente grandes de 4, a tensão de saída será proporcional à derivada da entrada e o circuito poderá então ser denominado um diferenciador. Note que o circuito se comporta como um diferenciador quando Ri R C de eso) A dt po = AEDI PRELIMINANES DAP, fo(t) > condensador”, mais como uma indutância, 0) ME. os das Figs. 1.5-1c e 1.5-2e mostram por que isto é algumas vezes possível. a A A its ni eo(t) eli) = Fi e o io) eta o) (9 dot) eo(t) Pia Sé eo(t) 4 a 0 R O) (a) to) Fig. 1.5.3 don A interligação de elementos idealizados de certas maneiras pode levar retos contenham contradições e due o a Ea a Ca Ni tes da Fig. 1.5-4 sejam ligadas fechando-se : A ! E independeiê ES é afetado pelas ligações externas, mas se Eeerdo som ú ei das Tensões de Kirchhoff, a Fnsto no pao de a duel pia oa dição aparece porque o modelo é muito gro: a S Ei, Ra que area razões para se dE matt sa diferentes. Se a sistência dos fios de interligação e a resistência intema das foj nsideradas, a contradição desaparecerá. Exemplo 1.5-2. Discuta o modelo para uma bateria, cuja finalidade é à de produzir uma tensão constante de À volts entre seus dois terminais. Solução. O modelo básico é uma fonte de tensão independente de valor constante, conio mostrado nas Figs. 1.3-8b c 1.5-3a. Na maioria das baterias, entretanto, a tensão terminal reduz-se quando a corrente externa aumenta, como indica a Fig. 1.5-3b. Para o modelo em (e), à tensão terminal é ed) =A — Ridt) MEC in s E Biblioteca 9 que concorda com este comportamento observado. A resistência R é chamada a resistência PN Sra , interna da bateria. CEFET-R) O modelo da Fig, 1.5-3c não é o único que tem as características desenhadas em (b), No circuito da Fig. 1.5-3d, (1) = (= E,(1) e Coll) = Ria (1) = Riy(t)— Rift). Se o valor da fonte de corrente independente for Á/R ampêres, k D=A Alo =B edi) = A — Ridt) CÉFET-RJ BIBLIOTECA CENTRAL rh 140/2006 Data: ) 1/21)2008 Alguns dispositivos físicos têm mais que se O o e i i ê inais estão a válvula componentes mais comuns de três terminais E É o lena (Odon sta a uma válvula triodo é mostrado na Fig. 1.5- a, onde as leti g ide, a placa e o catodo, respectivamente. Em muitas aplicações, a válvula age como Como os modelos das Figs. 1,5-3º e 1.5-3d, então, dão as n o(t), eles podem ser usados indistintamente. Se a tensão terminal for quase constante o Sela, sc à reta em (b) for quase horizontal - o modelo em (e) é mais comum. Para 79 que produz uma corrente quase constante, como sugerido por (e), O circuito em. Provavelmente preferido. De qualquer maneira, os dois modelos são igualmente válidos, e um poderá sempre ser substituído pelo outro quando e-(2) é 1.(7) forem caleuls. dos. Isto é verdade mesmo que as fontes sejam funções do tempo, desde que i(f) = en/R. -smas relações entre cs(t) e Fig 1.54 CONDEITOS PRELIMINARES CAP, À a E TIVE FIBUTE TES FESEESS dd possa existir ontro 05 fios de ligação deverá ser também incluída nos valores de Cr, Cs Lim aímbolo para o transistor está dado na Fig. 1.5-64 onde b, e e c denotam os gnais da base, do emissor e do coletor. Como a válvula, este componente pode ser de maneira lincar ou não-linear. Na faixa linear, a corrente do coletor é jadamente proporcional à corrente da base, mas depende também da tensão do ae para o coletor. Se a tensão entre o emissor e à base, que é usualmente catodo para a grade e (t), mas ela se reduz à i tda uz à medida que a corrente passando pela: pas aumenta. Com base no Ex. 1.5-2, uma combinação algo PESO à da Fig E A Cu Rd poderia ser esperada entre os terminais do catodo e da placa. A fonte para à Fade Ra independente, mas é controlada pela tensão do catodo. dena, for considerada nula, o modelo da Fig. 1.5-6h poderá ser usado. Um valor 15:56. Oisimbols' uma Eca Sn Usados estão mostrados nas Figs. 1.5-5b e para O fator de amplificação f da fonte de corrente controlada por corrente é A tensão da placa o o Catodo assá » Ai an A pequena tensão entre o emissor c à base depende da corrente da base i,(f), e em de placa for mulas valor to o zes à tensão catodo para a grade se a correni extensão, da tensão do emissor para o coletor. Um modelo mais exato que denotam respectivamente a SR ê e aa ê a aa "p º Em estos efeitos é mostrado em (c). O transistor também possui alguma capacitância ão 1, = i ii anscondutância. Valores típicos á cessário incluir em algumas aplicações, mas que não é são r, = 10 quiloohms e g,, = 2 milimhos. (O uso de uma letra minúscula ao vês de Co Pa ESAg Ro i fr useila para a resistência de placa será discutido no Cap. 12.) Da discussão do Ex, 1.5-2, BD. para que os modelos das Figs. 1.5-5b e 1.5-5c sejam equivalentes. A Wa Bin) A A grade, a placa e o catodo são eletrodos metálicos, situad: q ; d y iados bastante próximos dentro de um envólucro com vácuo. Consegiientemente, há uma EN a po que mas mensurável, entre quaisquer dois eletrodos, Este efeito pode ser representado pelas três capacitâncias no modelo mais complicado da Fig. 1.5-5d. Qualquer capacitância Srs A Rir: o e 5 (o) 6) Bina) A. eo Ni e(s) (9) Fig. 1.56 Os modelos mais comumente usados para o indutor, o condensador, o triodo e o transistor são aqueles mostrados nas Figs. 1.5-1a, 1.5-24, 1.5-5b, 1.5-5c e 1.5-6c [com a fonte controlada ue (?) frequentemente omitida]. Os elementos adicionais nos modelos mais complicados representam fenômenos que não são desejados na maioria dos casos, ias que não podem ser completamente evitados. Estes elementos adicionais não podem CR IRê ser sempre ignorados c são algumas vezes chamados elementos parusitas. a! Nos dispositivos cujos modelos contêm fontes controladas, a potência associada tom o sinal de saída é frequentemente maior que a potência do sinal de entrada e o dispositivo fomece continuamente uma potência líquida para o resto do circuito. A Fig. 4.5.5 
