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Interpolação e Mapeamento de Variáveis
Neste item são abordados alguns aspectos da análise espacial, principalmente amostragem, interpolação e confecção de mapas de variáveis. Para a elaboração dos mapas é apresentado o programa SURFER®^ (Golden Software, Inc.), que permite uma rápida visualização do comportamento espacial da variável sob estudo.
1. INTRODUÇÃO
Amostragem O primeiro passo em qualquer estudo espacial é a definição do delineamento experimental, que envolve, entre outros procedimentos, a escolha da técnica de coleta de amostras e também da malha de amostragem. As malhas de amostragem podem ser do tipo:
- aleatória, quando a distribuição dos pontos de coleta é casual; 2. agregada ou agrupada, quando ocorrem grupos de pontos mais próximos; e 3. regular ou homogênea, quando os pontos estão regularmente espaçados. O arranjo espacial mais comum é o agrupado, seguido pelo aleatório e por fim o regular. É esperado que o delineamento experimental seja em malha regular, porém, por motivos diversos, é difícil a coleta de dados respeitando-se esse arranjo. Em algumas áreas, como, por exemplo, em geofísica, é mais comum uma amostragem regular. Aqui não são discutidas as diversas técnicas de amostragem, que podem variar para cada área do conhecimento, objeto e objetivo de estudo, escala de trabalho entre outros fatores, mas ressalta-se a necessidade de se conhecer a posição das amostras no espaço. Na figura seguinte observa-se uma área hachurada em cinza, representando uma “unidade de conservação” qualquer ou parte dela. Os pontos em preto representam pontos de amostragem, podendo ser um ponto (adimensional), uma parcela (área), o centróide de uma outra técnica de amostragem (como PCQ – ponto centralizado com quadrante) ou mesmo pontos de amostra em trilhas.
1
2
3
5
4
6
7
Coordenada EW
Co
ord
ena
da^
NS
9
3
6
5
Pontos de amostragem (1 a 7) numa área de estudo
O número sobre cada ponto é a sua identificação e os números nos eixos das ordenadas e abscissas são as coordenadas dos pontos no espaço. Nesses pontos são medidas as variáveis em estudo, tais como: circunferência na altura do peito (CAP) de determinada espécie vegetal, número de capturas de certo animal, teor de concentração de um elemento químico específico ou qualquer outra variável em estudo. Desta forma, apresentam-se os dados em uma tabela, por exemplo:
Ponto Coord. EW Coord. NS CAP (jequitibá) # Capturas (morcegos) Teor (Arsênio) 1 9 3 424 cm 6 15 ppb 2 6 5 322 cm 2 4 ppb 3 11 7 288 cm 0 33 ppb ... ... ...
A partir das coordenadas do ponto e dos valores assumidos pela variável nesses pontos, pode-se obter um mapa da distribuição espacial para cada variável, utilizando-se um algoritmo de interpolação. As coordenadas para cada ponto devem ser obtidas no mesmo sistema de referência. Normalmente utilizam-se mapas com projeção Universal Transversa de Mercator (UTM), em metros ou quilômetros, utilizando-se o mesmo datum do mapa base, por exemplo, Córrego Alegre (MG), SAD-69 ou WGS-84 para datum horizontal e Imbituba (SC) para datum vertical. É sugerido que essas medidas sejam obtidas com equipamentos de GPS (posicionamento global por satélite) para minimizar os erros associados, principalmente em áreas que não se tenham referências como estradas, edificações, linhas de transmissão, acidentes geográficos (rios, córregos, morros etc.), que é o caso de muitas unidades de conservação.
3 , 5 , 6 , 7
=
Z Z Z Z Z Z
i i i
λ
Na verdade, é até intuitivo que, quando trabalhando no espaço, pontos conhecidos mais próximos aos pontos a serem preditos devam ter um peso maior, pois sua influência é maior. Assim, poder-se-ia utilizar um outro algoritmo para calcular os pesos, baseado no Inverso da Distância, que estabelece que quanto menor for a distância entre o ponto conhecido e o predito, maior será o peso:
1 111 Z
Z Z Z Z Z Z d Z d Z d Z d
N i i^ i
=
λ λ λ λ λ
Supondo que essa distância seja d 3 =2 , d 5 =2 , d 6 =4 e d 7 =5 , tem-se: (^1 ) 3 , 5 , 6 , (^73355667)
=
Z Z d Z d Z d Z d Z i i i
λ
Dessa forma, pode-se ver que o valor predito depende diretamente do método de interpolação escolhido: no exemplo, para a Média Aritmética o valor obtido é Z*=300 e para o Inverso da Distância é Z*=. Qual é, porem, o valor real? O único jeito de saber é medindo a variável no ponto que foi predito, sabendo ainda que poderá haver um erro associado à medida, dado pela calibração do equipamento utilizado, da técnica de medida e outros erros associados. Assim, a questão passa a ser qual é o valor mais próximo ao real? Neste caso a resposta é bem mais difícil. Existe um número significante de métodos de interpolação que podem fornecer resultados divergentes, mas cada um vai ter uma resposta para cada variável em estudo. Os métodos mais comuns de interpolação são: Vizinho mais Próximo, Vizinho Natural, Triangulação Linear, Triangulação de Delaunay, Polígonos de Voronoi, Inverso da Potência da Distância (sendo o IQD, Inverso do Quadrado da Distância o mais utilizado), Mínima Curvatura ( Spline ), Regressão Polinomial, Krigagem (com mais de 30 técnicas distintas) e Máxima Entropia Bayesiana. LANDIM (2000) apresenta a comparação entre alguns desses métodos e “dicas” práticas das vantagens e desvantagens de cada um e quando usar ou não: Algoritmo Fidelidade aos dados originais
Suavidade das curvas
Velocidade de computação
Precisão geral Triangulação 1 5 1 5 Inverso da Distância 3 4 2 4 Superfície/ Tendência 5 1 3 2 Mínima Curvatura 4 2 4 3 Krigagem 2 3 5 1 1 = melhor 5 = pior / fonte: LANDIM (2000)
2. SOFTWARE PARA INTERPOLAÇÃO
2.1. SURFER®
O SURFER ®^ é um pacote de programas comerciais desenvolvidos pela Golden Software Inc. que pode ser utilizado para a confecção de mapas de variáveis a partir de dados espacialmente distribuídos. É uma importante ferramenta para o técnico ou pesquisador, já que facilita o seu trabalho, evitando traçar mapas com réguas, transferidores e outros instrumentos, reduzindo o tempo desse processo e sendo menos subjetivo, pois usa algoritmos matemáticos para gerar suas curvas, otimizando o trabalho do usuário. Inicialmente desenvolvido em plataforma DOS,^ a partir da versão 6 passou a ser executado na plataforma WINDOWS, sendo a ultima versão a de numero 8. Informações adicionais sobre esse software podem ser adquiridas no site http://www.goldensoftware.com/. Este texto, com finalidade didática, foi elaborado baseado no SURFER®^ versão 7.0 (1999) e, portanto, algo pode diferir se forem utilizadas outras versões. Como este material é de caráter introdutório não são explorados todos os recursos disponíveis pelo programa e expostos no respectivo manual.
Aplicações A representação de dados no espaço é essencial em diversas áreas das ciências, principalmente nas ciências naturais e seu uso é extensivo em agronomia, biologia, ecologia, geografia, geologia, metereologia, etc. Exemplos de mapas que podem ser gerados com este programa são mapas topográficos a partir da medida da posição (coordenadas) e altitude de alguns pontos de um terreno. Mais adiante serão citadas outras aplicações.
Conceitos Básicos Antes de qualquer coisa é preciso lembrar que é imprescindível o conhecimento do usuário sobre o tema a ser pesquisado, pois obter um mapa com forte efeito estético é fácil usando estes recursos, porém, o mais importante é poder verificar o significado do resultado obtido para que o mapa, entendido como modelo, possa ser útil para a explicação e mesmo para a previsão. A seguir é visualizada a tela inicial do programa quando executado.
No item DRAW estão ferramentas para desenho e texto que podem ser acrescentados aos mapas, úteis para a apresentação de um mapa final. O item ARRANGE possui comandos para a manipulação dos objetos da figura, tais como rotação e ordem (sobreposição) desses objetos. Em GRID encontram-se os subitens mais importantes do programa, que são utilizados para a geração das malhas de pontos dos mapas, sendo o núcleo do SURFER®. Suas características são discutidas com mais detalhe posteriormente. MAP contém os recursos de visualização dos mapas gerados, podendo ser um mapa de contornos (mais comumente usado), mapa de pontos amostrais, relevo sombreado, mapa de vetores e superfície pseudo 3-D ( wireframe ), além da associação com mapas base. Também nesse submenu são encontradas as opções de associação, escala e rotação de mapas. O item WINDOW do menu principal somente é usado para a organização das janelas de plotagem e planilha de dados. Por fim, o item HELP possui as informações que podem ser necessárias para entender os algoritmos do programa e seu funcionamento.
2.2. Arquivo de Dados
Criando um arquivo de dados Um mapa é construído usando-se a posição espacial de um determinado ponto e o valor correspondente à variável medida, seja qual for sua natureza, normalmente representados pelos valores X, Y e Z. Assim, as coordenadas são os valores X, posição do ponto no eixo da ordenada leste-oeste, e Y, posição na abscissa norte-sul, e Z é o valor observado da variável nesse ponto. O SURFER®^ possui uma planilha de entrada de dados, que permite importar planilhas de diversos aplicativos, como Excel®, Lotus®, além de outros formatos que podem ser “importados” simplesmente copiando e colando de outros programas. Para acessar a planilha de dados basta selecionar FILE | NEW | WORKSHEET , como na figura seguinte.
Acessando a planilha de dados
Aberta a planilha, basta completar as células com os dados, podendo colocar rótulos na primeira linha das colunas com o nome das variáveis. O usual é que a primeira coluna contenha os valores de X, a segunda os valores de Y e na terceira os valores da variável Z. Podem ser gravadas diversas variáveis Zi, porém o programa executa apenas uma variável por vez. Deve-se atentar para a utilização da vírgula ou do ponto para as casas decimais, conforme a configuração regional escolhida do Windows.
Exemplo de planilha de dados
Neste exemplo há somente a variável Z como variável dependente, sendo X e Y as variáveis independentes relacionadas à posição de Z no sistema cartesiano. Essa variável Z
nos computadores, porém nada impede que se utilize o formato de dados do próprio SURFER®, com extensão .DAT e no formato de ASCII ( American Standard Code for Information Interchange ), que pode ser editado num programa mais simples como o Notepad® do Windows®. Com os dados gravados, pode-se fechar essa janela e voltar à área de plotagem ( Plot Document ).
2.3. Mapeamento
A parte mais importante na geração desses mapas é a escolha do método de interpolação, pois métodos diferentes geram resultados diferentes, podendo conduzir a conclusões diversas. O primeiro passo é, portanto, entrar com os dados no menu GRID | DATA. Para tanto selecionar o arquivo de dados, neste caso exemplo.dat, tendo o cuidado de saber em que diretório o mesmo foi gravado), pressionar ABRIR (ou OPEN se o Windows®^ for em inglês).
No link DATA são encontradas as opções referentes aos dados. No exemplo deste texto, como já explicado, a variável X corresponde ao eixo das ordenadas X, a variável Y corresponde ao eixo das abscissas e Z ao valor assumido pela variável no ponto. Caso se tenha mais de uma variável é necessário escolher entre as variáveis pressionando na seta de Z em Data Columns. Somente é possível mapear, pelo SURFER®, uma variável por vez. Quando se pretende mapear uma variável associando-se com outras é sugerido métodos de Cokrigagem Co-alocada, Krigagem com Deriva Externa (DEUTSCH & JOURNEL, 1992), Máxima Entropia Bayesiana Vetorial (CHRISTAKOS, 2000) e outras técnicas geoestatísticas, além de técnicas multivariadas regionalizadas.
Link DATA do submenu GRID
Neste link ainda aparecem algumas informações básicas sobre os dados, tais como dados ativos, valores a serem excluídos ou que não foram amostrados, especialmente útil quando se trabalha com dados multivariados, e algumas variáveis menos amostradas que outras. Na barra de rolagem dessa janela podem ser observadas ainda as estatísticas básicas desses dados (média, desvio padrão, máximos e mínimos, correlação entre as variáveis, etc.).
Métodos de Interpolação
Verificados os dados, deve-se definir a malha de interpolação, limites máximos e mínimos dessa malha e o espaçamento de pontos ou número de linhas. Logicamente uma malha mais densa terá um tempo de processamento maior no computador, bem como é dependente também do método de interpolação escolhido. O método a ser utilizado é imprescindível para o resultado a ser alcançado no mapa final. O SURFER®^ dispõe de diversos métodos, sendo o default a Krigagem, e além desse o Inverso da Distância à Potência ( Inverse Distance to a Power ), normalmente utilizando a 2ª potência (Inverso do Quadrado da Distância/IQD) e o da Mínima Curvatura, que é um método suavizador ( spline ) e fornece um resultado razoável para uma rápida avaliação do comportamento espacial da variável.
Pontos da malha de predição
Os métodos geralmente são eficientes para interpolação e permitem, por vezes, extrapolação, o que deve ser feito com extremo cuidado e segurança. Outra técnica comum é a Regressão Polinomial para a Análise de Superfície de Tendência e comentários sobre essa metodologia usando o SURFER®^ podem ser encontradas no texto “ Cálculo de Superfícies de Tendência, por regressão polinomial, pelo ‘SURFER 6 ’” LANDIM & CORSI, 2001). Para comparação entre métodos de interpolação recorrer ao texto “ Introdução aos métodos de estimação espacial para confecção de mapas ” (LANDIM, 2000).
Após a criação da malha de pontos para a predição, define-se a apresentação desses resultados. Comumente utiliza-se um mapa de contorno, mas pode-se optar por uma superfície 3-D, uma imagem sombreada e outras opções gráficas.
Mapa de Contorno
O mapa de contornos, a seguir, apresenta curvas de isovalores, chamadas isolinhas. Assim, por exemplo, a curva “70” representa os pontos nela situados com valores da variável igual a 70 unidades.
(^00 1 2 3 4 5 6 7 8 )
1
2
3
4
5
6
7
2025
30
3540
4550
5560
6570
7580
8590
95100
105110
Mapa de contorno
A opção de cores, com a respectiva escala, permite uma melhor visualização de valores mais altos e mais baixos assumidos pela variável. Por convenção opta-se por cores mais frias para valores baixos e cores mais quentes para altos.
Criação do mapa
Para criar o mapa basta escolher a opção NEW CONTOUR MAP do item MAP | CONTOUR MAP , e escolher o arquivo de malha (.GRD), gerado pelo procedimento anterior de interpolação.
Menu para criação do mapa de contornos
Entre suas propriedades pode-se definir o símbolo para o ponto, seu tamanho e cor e inclusive rotular pontos com o nome da amostra se for especificado no arquivo de dados, por exemplo, para separar amostras de diferentes naturezas ou medida por diferentes técnicas.
(^00 1 2 3 4 5 6 7 8 )
1
2
3
4
5
6
7
Mapa de pontos amostrais
Superfície 3-D
A Superfície 3-D ( wireframe ), na realidade pseudo 3-D, permite uma melhor visualização espacial do comportamento da variável.
Superfície 3-D da variável
É criada com o mesmo arquivo de malha de interpolação (.GRD) pelo menu MAP | WIREFRAME. Esta figura pode ser colorida, rotacionada, ter uma barra de escala acrescentada, etc.
Mapa Base
O mapa base pode ser um arquivo vetorial ou matricial ( raster ) de diversos formatos que pode ser acrescentado como “pano de fundo” do mapa interpolado. Pode ser um mapa com rodovias, hidrografia, divisão de bairros de uma cidade, etc. Normalmente opta-se por um formato .DXF, importado do AutoCAD®, quando no formato vetorial, ou formato .TIF (TIFF - Tagged Image File Format ) ou .JPG (JPEG – Joint Photographic Experts Group ), quando no formato matricial. Para inserir um mapa base basta pressionar no menu MAP | BASE MAP e selecionar o arquivo no formato e diretório desejados.
Menu para inserir mapa base
Abaixo se tem um exemplo de um arquivo de mapa base que pode ser inserido na figura do SURFER®, representando o estado norte-americano da Califórnia e seus condados. Obviamente, em sendo um arquivo vetorial, o sistema de coordenadas do mapa base e do mapa gerado no programa devem ser o mesmo.
Sobreposição de mapas
-0.05^0 0.
0.10.150.
0.250.30.
0.40.450.
0.550.60.
0.70.
Resultado da sobreposição de mapas
3. REFERÊNCIAS
CHRISTAKOS, G. 2000. Modern Spatiotemporal Geostatistics. New York: Oxford Univ. Press. 288 p. DEUTSCH, C.V.; JOURNEL, A.G. 1992. GS-LIB – Geostatistical Software Library and User’s Guide. New York: Oxford Univ. Press. 340 p. (with compact disk). SURFER, version 7.0. [s.l.]: Golden Software, 1999. Conjunto de programas. 1 CD-Rom e manuais. (informações em http://www.goldensoftware.com). LANDIM, P.M.B. 2000. Introdução aos métodos de estimação espacial para confecção de mapas. 20 p. Rio Claro: UNESP. Disponível no formato PDF (Adobe Acrobat®) em http://www.rc.unesp.br/igce/aplicada/textodi.html. (Texto Didático 02, interpo.pdf). LANDIM, P.M.B.; CORSI, A.C. 2001. Cálculo de Superfície de Tendência por Regressão Polinomial, “pelo Surfer 6”. 11 p. Rio Claro: UNESP. Disponível no formato PDF (Adobe Acrobat®) em http://www.rc.unesp.br/igce/aplicada/textodi.html. (Texto Didático 05, tendsurfer.pdf).
