UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA
PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO
CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
CURSO DE BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL
NELSON POERSCHKE
CÔNICAS
Boa Vista
2011
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Cônicas - história - apresentação - aplicações, Trabalhos de Engenharia Civil
Trabalho sobre cônicas do 1º período de Engenharia Civil da UFRR, disciplina de Geometria Analítica.
Tipologia: Trabalhos
2011
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nelsonpoer 🇧🇷
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CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
CURSO DE BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL
NELSON POERSCHKE
CÔNICAS
Boa Vista
NELSON POERSCHKE
CÔNICAS
18 Jul 2011
Trabalho apresentado como exigência da
disciplina de Geometria Analítica do Curso
de Bacharelado em Engenharia Civil da
Universidade Federal de Roraima.
Boa Vista
- INTRODUÇÃO
- HISTÓRICO E IMPORTÂNCIA DAS CÔNICAS
- 3 ALGUMAS APLICAÇÕES DAS CÔNICAS.....................................................
- 3.1 Na astronomia..........................................................................................................
- 3.2 Em ótica e acústica..................................................................................................
- 3.3 Em Engenharia e Arquitetura...............................................................................
- 3.4 Na tecnologia atual................................................................................................
- EXCENTRICIDADE, DIRETRIZ E FOCO DE UMA CÔNICA...................
- 4.1 Proposição 1...........................................................................................................
- 4.2 Proposição 2............................................................................................................
- 4.3 Proposição
- ELIPSE..................................................................................................................
- 5.1 Definição................................................................................................................
- 5.2 Elipse com focos sobre o eixo 0x...........................................................................
- 5.3 Elipse com focos sobre o eixo 0y..........................................................................
- 5.3 Aplicações da elipse - exemplos............................................................................
- PARÁBOLA.........................................................................................................
- 6.1 Definição................................................................................................................
- 6.2 Parábola com focos sobre o eixo 0x.....................................................................
- 6.3 Parábola com focos sobre o eixo 0y.....................................................................
- 6.4 Aplicações da parábola - exemplos......................................................................
- HIPÉRBOLE.........................................................................................................
- 7.1 Definição.................................................................................................................
- 7.2 Hipérbole com focos sobre o eixo 0x....................................................................
- 7.3 Hipérbole com focos sobre o eixo 0y...................................................................
- 7.4 Um caso particular da hipérbole..........................................................................
- SUPERFÍCIES QUADRÁTICAS.......................................................................
- 8.1 Definição................................................................................................................
- 8.2 Quadráticas cêntricas............................................................................................
- 8.2.1 Elipsóide.................................................................................................................
- 8.2.2 Hiperbolóide de uma folha..................................................................................
- 8.2.3 Hiperbolóide de duas folhas................................................................................
- 8.3 Quadráticas não-cêntricas.....................................................................................
- 8.3.1 Parabolóide elíptico................................................................................................
- 8.3.2 Parabolóide hiperbólico.........................................................................................
- EQUAÇÃO GERAL DO 2º GRAU E DUAS VARIÁVEIS..............................
- 8 CONCLUSÃO
- 9 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
1. INTRODUÇÃO
Como todo conhecimento científico, as idéias matemáticas passam por um processo
evolutivo incorporando mudanças, sendo tratadas com novas ferramentas e métodos os quais,
muitas vezes, lhes permitem um incremento no seu desenvolvimento.
As seções cônicas são curvas obtidas pela interseção de um cone circular reto de
duas folhas com um plano.
Exposições gerais sobre as seções cônicas são conhecidas antes da época de
Euclides, mais ou menos de 325265 a.C., e existe uma diversidade de definições para elas,
cuja equivalência é mostrada na Geometria Elementar.
O tratado sobre as cônicas estavam entre algumas das mais importantes obras de
Euclides, porém se perderam, talvez porque logo foram superadas pelo trabalho mais extenso
escrito por Apolônio.
A obra de nível mais avançado foi precisamente a feita por Apolônio de Perga, que
substituiu qualquer estudo anterior. O tratado sobre as Cônicas certamente foi a obra-prima de
Apolônio e teve grande influência no desenvolvimento da matemática.
O tratado consistia em oito livros que contém 387 proposições separadas. (HEATH,
1921 ) diz que o texto sobre as cônicas é um grande clássico e que merecia ser mais
conhecido, porém sua forma original é muito extensa.
Apenas os quatro primeiros livros foram preservados em grego e felizmente os três
seguintes tinham sido traduzidos para árabe e também se preservaram.
Os quatro livros iniciais foram escritos como uma introdução elementar incluindo as
proposições básicas das cônicas. A maioria dos resultados destes livros já eram sabidos por
Euclides, Aristeu e outros, como o próprio Apolônio afirmou. Os quatro últimos livros são
extensões do assunto, estudos mais avançados.
Atualmente, as mais usuais referem-se à propriedade foco - diretriz dessas curvas,
porém, em seu célebre tratado sobre as seções cônicas, Apolônio de Perga, mais ou menos de
262 190 a.C., não mencionou essa propriedade e não existia um conceito numérico que
correspondia ao que chamamos de excentricidade. Coube a Pierre de Fermat a descoberta de
que as seções cônicas podem ser expressas por equações do segundo grau nas coordenadas
(x,y).
Neste trabalho, mostrarei que uma seção cônica é uma curva cuja equação cartesiana
é do segundo grau, e inversamente, toda curva cuja equação é do segundo grau pode ser
obtida a partir da interseção de um cone circular reto de duas folhas com um plano. Por essa
2. HISTÓRICO E IMPORTÂNCIA DAS CÔNICAS
Tratados sobre as seções cônicas são conhecidos antes da época de Euclides, (325 a
265 a.C.). E, associado à história dessas curvas, temos Apolônio que nasceu na cidade de
Perga, região da Panfília (atualmente Turquia) por volta de 262 a.C. e viveu,
aproximadamente, até 190 a.C.
Apolônio foi contemporâneo e rival de Arquimedes que viveu, aproximadamente,
entre 287 a.C. e 212 a.C. e, juntamente com Euclides, formam a tríade considerada como
sendo a dos maiores matemáticos gregos da antigüidade.
Apolônio estudou com os discípulos de Euclides em Alexandria e foi astrônomo
notável. A maior parte das obras de Apolônio desapareceu. O que sabemos dessas obras
perdidas devemos a Pappus de Alexandria (Séc. IV a.C.). A obra prima de Apolônio é Seções
Cônicas , composta por 8 volumes (aproximadamente 400 proposições). Da obra original
sobreviveram 7 volumes, sendo 4 escritos em grego e 3 traduzidos para o árabe por Thabit Ibn
Qurra, no século IX. Os três primeiros volumes são baseados em trabalhos de Euclides e o
oitavo volume foi, infelizmente, perdido. Em 1710, Edmund Halley traduziu os sete volumes
sobreviventes de Secções Cônicas para o latim e todas as demais traduções para as línguas
modernas foram feitas a partir da tradução de Halley.
Os precursores de Apolônio no estudo das cônicas foram Manaecmo, Aristeu e o
próprio Euclides. Nesse período, elas eram obtidas seccionando um cone circular reto de uma
folha com um plano perpendicular a uma geratriz do cone, obtendo três tipos distintos de
curvas, conforme a seção meridiana do cone fosse um ângulo agudo, um ângulo reto ou um
ângulo obtuso.
Apolônio foi o matemático que mais estudou e desenvolveu as seções cônicas na
antiguidade. Suas contribuições foram: ter conseguido gerar todas as cônicas de um único
cone de duas folhas, simplesmente variando a inclinação do plano de interseção; ter
introduzido os nomes elipse e hipérbole e ter estudado as retas tangentes e normais a uma
cônica.
A importância do estudo de Apolônio sobre as cônicas dificilmente pode ser
questionada. Temos a inegável influência dele sobre os estudos de Ptolomeu. Este foi
astrônomo e geógrafo e fez observações em Alexandria, de 127-151 d.C.. Suas obras mais
famosas são o Almagesto (astronomia) e a Geografia (8 volumes).
Ptolomeu introduziu o sistema de latitude e longitude tal como é usado hoje em
cartografia e usou métodos de projeção e transformações estereográficas. Este estudo faz uso
de um Teorema de Apolônio que diz que todo cone oblíquo tem duas famílias de seções
circulares. As Cônicas de Apolônio também tiveram forte influência nos estudos de Kepler.
O interesse de Kepler pelas cônicas surgiu devido às suas aplicações à óptica e à
construção de espelhos parabólicos. Em 1.609, Kepler edita a Astronomia Nova , onde
apresenta a principal lei da astronomia: "os planetas descrevem órbitas em torno do Sol, com
o Sol ocupando um dos focos". A propósito, a palavra foco é devida a Kepler e provém da
forma latinizada foccus cujo significado é fogo, lareira.
(Figura 01 – Seções cônicas. Fonte: www.fsc.ufsc.br, acessado em 02/07/2011))
Outra aplicação prática das cônicas aparece na obra de Galileu (1632), onde
"desprezando a resistência do ar, a trajetória de um projétil é uma parábola". Galileu se
reporta à componente horizontal e à componente vertical de uma parábola.
Foi a Matemática pura de Apolônio que permitiu, cerca de 1800 anos mais tarde, os
"Principia" de Sir Isaac Newton. Motivado por uma visita de Edmond Halley, em agosto de
1684, com a finalidade de perguntar-lhe sobre a lei da atração que varia com o inverso do
quadrado da distância, Newton retoma seus manuscritos. A resposta enviada a Halley, alguns
meses depois, trazia uma revolução na mecânica celeste. Durante dois anos e meio, ele
trabalhou obstinadamente nesse artigo, a pedido de Halley, e ia ampliando suas
conseqüências. Ele estava generalizando a aplicação de sua dinâmica a uma demonstração
3. ALGUMAS APLICAÇÕES DAS CÔNICAS
As cônicas desempenham um papel importante em vários domínios da física,
incluindo a astronomia, a economia, a engenharia e em muitas outras situações, pelo que não
é de estranhar que o interesse pelo seu estudo seja tão antigo.
Suponhamos que temos uma lanterna direcionada para uma parede, então o feixe de
luz emitido desenhará nessa parede uma curva cônica. Este fato acontece porque o feixe de
luz emitido pela lanterna forma um cone, e também porque a parede funciona como um plano
que corta o cone formado. Dependendo da inclinação da lanterna relativamente à parede,
assim se obtém uma circunferência, uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole.
Certos candeeiros de cabeceira, cujo quebra luz é aberto segundo uma circunferência,
desenham na parede uma hipérbole e no teto uma elipse.
Os Engenheiros da área da iluminação usam este fato, entre outros, para construírem
candeeiros, lanternas, etc...
O som emitido por uma avião a jato supersônico tem a forma de um cone, pelo que,
ao chocar com a Terra vai formar uma curva cônica. Assim, dependendo da inclinação do
avião em relação à Terra, vamos obter elipses, parábolas ou hipérboles. A audiometria usa
este fato, entre outros, para saber a que distância da Terra o avião pode ultrapassar a barreira
do som.
A superfície formada pela água dentro de um copo é elíptica, sendo circular apenas
no caso em que o copo está exatamente na vertical, isto é, a superfície da água está alinhada
com o nível, na horizontal.
Se girarmos o copo com um movimento rotativo sobre si próprio, a superfície do
líquido nele inserido será a de um parabolóide. Esta técnica é frequentemente usada para se
obter este tipo de superfície.
Na astronomia, Kepler mostrou que os planetas do sistema solar descrevem órbitas
elípticas, as quais têm o sol num dos focos.
Também os satélites artificiais enviados para o espaço percorrem trajetórias elípticas.
Mas nem todos os objetos que circulam no espaço têm órbitas elípticas. Existem cometas que
percorrem trajetórias hiperbólicas, os quais ao passarem perto de algum planeta com grande
densidade, alteram a sua trajetória para outra hipérbole com um foco situado nesse planeta.
Como a parábola é um caso de equilíbrio entre a elipse e a hipérbole (lembrando que
a excentricidade da parábola é igual a um), a probabilidade de existir algum satélite com
órbita parabólica é quase nula. Mas isso não impede a existência de satélites com esta
trajetória.
Também as trajetórias dos projéteis, num ambiente sob a ação da força de gravidade,
são parabólicas. Já no ambiente terrestre, onde existe a resistência do ar, essas trajetórias são
elípticas, mais propriamente, arcos de elipses. No entanto, por vezes, as diferenças entre as
trajetórias elípticas e as parabólicas são quase indetectáveis. A balística, ciência que estuda as
trajetória de projéteis, faz uso deste fato para determinar o local da queda de um projétil.
No estudo dos átomos, um campo da Física e da Química, as órbitas dos elétrons em
torno do núcleo são elípticas.
Fazendo uso da propriedade refletora da parábola, Arquimedes construiu espelhos
parabólicos, os quais por refletirem a luz solar para um só ponto, foram usados para incendiar
os barcos romanos quando das invasões de Siracusa. A concentração de energia gera calor.
De fato, as propriedades refletoras das cônicas, de todas, e não somente as da
parábola, tem contribuído para a construção de telescópios, antenas, radares, faróis de
navegação, faróis de carros, lanternas, etc...
Na verdade, alguns dos objetos mencionados também obedecem à propriedade
refratora das cônicas. Esta propriedade está intimamente ligada à propriedade refletora, pelo
que os seus estudos são muito idênticos. Só para dar uma amostra de objetos mais vulgares
que usam a propriedade refratora das cônicas, menciono os seguintes: os óculos graduados, as
lupas e os microscópios.
A partir da propriedade refletora das parábolas, os engenheiros civis construíram
pontes de suspensão parabólica. Se imaginarmos os cabos que predem o tabuleiro da ponte
como raios de luz, facilmente verificamos que o cabo principal, aquele que passa pelos pilares
da ponte, tem forma de uma parábola.
As extremidades das asas do famoso avião britânico Spitfire , usado com grande
sucesso na I Grande Guerra, eram arcos de elipses. Embora a razão da sua escolha se prenda
ao fato de se obter mais espaço para transportar munições, este tipo de asa diminuía a
resistência do ar, favorecendo melhores performances ao avião em vôo.
O sistema de localização de barcos denominado por LORAM (LOng RAnge
Navigation), faz uso das hipérboles confocais, onde os radares estão nos focos. A idéia é
baseada na diferença de tempo de recepção dos sinais emitidos simultaneamente pelos dois
pares de radares, sendo um dos radares comum aos dois pares. O mapa assim construído
apresenta curvas hiperbólicas. Esta técnica foi usada na II Grande Guerra, para detectar barcos
japoneses.
sua primeira lei. É de notar que as órbitas dos planetas são, de um modo geral, de
excentricidade muito pequena.
Anos depois, foi a partir das leis de Kepler que Newton, aplicando-lhes o seu cálculo
diferencial, concluiu a Lei da Atração Universal , verificando ainda que os satélites efetuam
também uma órbita elíptica em torno do seu planeta. Por exemplo : a órbita da Lua que
descreve uma trajetória elíptica da qual a Terra é um dos seus focos.
As cônicas também descrevem trajetórias de projéteis, de pontos ou de partículas
atômicas elementares, em arcos, pontes, jactos de água...
A lei da gravitação de Newton matematizou as descobertas empíricas de Kepler e, a
partir do séc. XVII, o estudo analítico das cônicas e das suas aplicações aos movimentos no
espaço, não cessou de se aperfeiçoar.
3.2 Em ótica e acústica.
A parábola ao rodar em torno do seu eixo de simetria, gera uma superfície parabólica
ou parabolóide:
As propriedades refletoras são geradas por cônicas, parabolóides, hiperbolóides e
elipsóides; estas usam-se, por exemplo, nos espelhos e antenas parabólicas ou para criar
condições acústicas especiais em auditórios, teatros, catedrais,etc...
As seguintes propriedades da parábola e do parabolóide resultam do interesse dos
espelhos parabólicos:
Como receptor:
Todo o raio luminoso que incide num espelho parabólico, paralelamente ao eixo,
reflete-se passando por um ponto fixo - o Foco.
Como emissor:
Reciprocamente, todo o raio luminoso que incide no espelho parabólico passando
pelo foco reflete-se paralelamente ao eixo.
Uma fonte luminosa no foco produz um feixe de raios paralelos, com um maior
alcance. Pode usar-se para emitir feixes de ondas de rádio ou de outra natureza.
A primeira propriedade justifica o funcionamento dos espelhos parabólicos, dos
fornos solares, das antenas parabólicas que captam ondas de rádio, de radar ou de outras
ondas eletromagnéticas, como as antenas de TV ou as dos enormes rádios telescópios.
Conta-se que Arquimedes, durante o cerco de Siracusa, conseguiu incendiar naves
romanas usando uns misteriosos espelhos, chamados "ustórios", que enchiam de pavor os
sitiantes e os punham em fuga. Arquimedes já conhecendo as propriedades das cônicas,
recorreu a um, ou vários espelhos parabólicos colocados de modo a concentrar os raios de Sol
refletidos num só ponto, desviando-o depois para uma galera romana que começava a arder.
A segunda propriedade aplica-se em todos os faróis de navegação, de automóvel...
e outros tipos de projetores.
Por exemplo, num farol parabólico de automóvel a luz emitida pela lâmpada
colocada no seu foco é refletida nas paredes e «atirada» para fora, iluminando a estrada.
Outro exemplo, são os fornos solares constituídos por grandes espelhos parabólicos
(existe um em França, com 54 m de comprimento e 40 m de altura constituído por 9500
espelhinhos de 45cm de lado).
No foco do espelho atinge-se uma temperatura de 3800 ºC, pois nele convergem os
raios soares captados e refletidos pela sua superfície. Estas temperaturas são aproveitadas para
conversões de energia, fusão, etc.
No entanto as propriedades acústicas e ópticas não são exclusivas da parábola. De
3.4 Na tecnologia atual.
Se nós ligarmos a televisão poderemos ver imagens "ao vivo" provenientes dos mais
remotos sítios do mundo. Para nós isto é natural, mas há 25 anos era impossível.
De fato, só depois dos americanos terem lançado e colocado em órbita um satélite de
comunicações, chamado Telstar, as imagens de televisão ao vivo de qualquer parte do mundo
se tornaram possível.
Depois deste primeiro satélite muitos outros se seguiram, permitindo que os técnicos
de comunicação emitissem ou recebessem sinais de televisão ou rádio, passando por estes
satélites.
O grande problema das comunicações consiste em localizar e consertar o rasto de um
satélite de comunicação no espaço, utilizando-se para isso antenas muito potentes e exatas,
algumas delas com a forma de parabolóide.
Hoje em dia é muito comum vermos pequenas antenas parabólicas nos telhados e
terraços, por forma a receber programas estrangeiros de televisão.
A construção destas antenas requer grandes conhecimentos de geometria e análise,
algumas são constituídas por um grande refletor parabolóide cujo foco é comum a todas as
parábolas que o geram. Como todos sinais que incidem no parabolóide paralelamente ao seu
eixo se refletem para o foco, concentrando-se aí. Se no foco for instalado um aparelho
receptor, o sinal será captado e tratado, consoante o fim a que se destina.
4. EXCENTRICIDADE, DIRETRIZ E FOCO DE UMA CÔNICA
Excetuando-se o círculo (caso particular de uma elipse) uma cônica suave C tem pelo
menos uma diretriz e um foco.
Para construir uma diretriz, consideramos uma superfície esférica S inscrita no cone
K e tangente ao plano π que determina a cônica. S intersecta K ao longo de um círculo λ.
Todo círculo está contido num plano, assim, seja τ o plano que contém ܵ ∩ ܭ.
A reta ݀ = ߬ ∩ ߨ é uma diretriz da cônica C , e o ponto ܨ = ܵ ∩ ߨ é seu foco
associado. Quando C é um círculo temos que ߬ é paralelo a ߨ e, assim, a diretriz não existe.
A excentricidade e de uma cônica C é dada pelo quociente
cos (ߚ)
cos (ߙ)
Assim, temos a seguinte classificação com relação à excentricidade:
Se ݁ > 1 , C será uma hipérbole;
Se ݁ = 1 , C será uma parábola;
Se 0 < ݁ < 1 , C será uma elipse não circular; e
Se ݁ = 0 , C será um círculo.
4.1 Proposição 1
Se C é uma cônica suave distinta de um círculo com excentricidade e , diretriz d , e
foco associado F , então:
Para todo ponto ܲ ∈ ܥ.
Demonstração:
Corolário: Se uma cônica C é uma parábola com foco F e diretriz d , então
݅݀ ݐݏ ( ܲ , ܨ) = ݅݀ݐݏ (ܲ , ݀ ) para todo ponto ܲ ∈ ܥ.
Basta observar que se C é uma parábola, então ݁ = 1.
Baseado no que já foi visto, pode-se concluir que a elipse e a hipérbole são cônicas
com duas diretrizes e dois focos, enquanto que a parábola é uma cônica com uma diretriz e
um único foco.
4.2 Proposição 2
Se C é uma elipse de focos F1 e F2, então é o mesmo para todo ponto ܲ ∈ ܥ, ou seja,
ଵ
ଶ
Demonstração:
Seja P um ponto arbitrário da elipse C de focos F
1
e F
2
dados pela interseção do
plano π com as superfícies esféricas S
1
e S 2
O segmento ܲ ܨ
ଵ
é tangente à esfera S
1
em F
1
e ܲ ܨ
ଶ
é tangente à esfera S
2
em F
2
desde que as superfícies esféricas S 1
e S
2
sejam tangentes à π nestes pontos.
Sejam:
ଵ
ଵ
ଶ
ଶ
Como S
1
e S
2
são tangentes ao cone K , ao longo dos círculos ߣ
ଵ
e ߣ
ଶ
, temos
que ܳܲ ଵ
é tangente à S 1
em Q 1
e ܳܲ
ଶ
é tangente à S 2
em Q 2
. Consequentemente:
ଵ
ଵ
e ܲܨ
ଶ
ଶ
Então ܲ ܨ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
, em que ܳܲ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
é a distância entre os
círculos ߣ
ଵ
e ߣ
ଶ
. Como a distância entre eles não depende de P, segue que a soma ܲ ܨ
ଵ
ଶ
é a mesma para todo ponto ܲ ∈ ܥ.
Isto completa a prova.
4.3 Proposição 3
Se C é uma hipérbole de focos F 1
e F 2
, então |ܲ ܨ
ଵ
ଶ
| é o mesmo para todo ܲ ∈
ܥ. Ou seja
ଵ
ଶ
Demonstração:
Seja P um ponto arbitrário da hipérbole C de focos F 1
e F 2
dados pela interseção do
plano π com as superfícies esféricas S
1
e S 2
. O segmento ܲ ܨ
ଵ
é tangente à esfera S 1
em F 1
e
ଶ
é tangente à esfera S 2
em F 2
, desde que as superfícies esféricas S 1
e S 2
sejam tangentes à