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APÊNDICE 199 DUTÂNCIAS Na figura 126, está representada uma bobina (indutor) pela letra L. É um dispositivo que armazena energia semelhante ao capacitor, porém, ao contrário do capacitor, que armazena energia no campo elétrico em virtude da tensão em seus terminais, o indutor armazena energia no campo magnético devido a corrente elétrica que atravessa suas espiras. La) Definição: Indutância (L): é definida como a capacidade que uma bobina possui em armazenar energia no campo magnético. Relacionando com a observação fisica, pode-se definir indutância como a capacidade da bobina em se opor às variações de correntes, por meio da geração de uma f.e.m. em seus terminais, dada pela equação 143, que segue a lei de FaradayiLenz: v(t)=L. di(t)/dt (143) A indutância pode ser definida por meio de dois referenciais distintos: Auto-indutância ou indutância própria (L): é dada como a razão entre o fluxo magnético total produzido numa bobina, mas produzido somente pela corrente que atravessa essa própria bobina. L=N. do(dit) | 1a Mútua indutância (M): é a relação entre o fluxo magnético concatenado com uma bobina ea corrente que gera este fluxo em outra bobina. Sendo assim, pode-se escrever: M= Ns. dDea(f/dia (O) | qi) Símbolo: L Unidade: F (farad) Nes circuitos elétricos, é representada pela reatância indutiva X,, responsável pelo atraso da corrente em relação à tensão em 90º. Figura 126: Indutor L X=2.7.F.L a) bobina com núcleo de material não-magnético (ar): nesse caso. a indutância é constante. pois a permeabilidade do meio é constante (u, = 47.10 Him). A indutância pode ser calculada somente em função do meio e da sua geometria, conforme equação 147 L=NºR 46) [DDD L=Nº wo urS/] (47) em que [ia é a permeabilidade relativa do material b) bobina com núcleo que contém substâncias ferromagnéticas: nesse caso, a permeabilidade relativa do meio varia com o valor da corrente (do campo magnético aplicado) que [lui pela bobina. Consegiientemente, a indutância não pode ser calculada pela expressão vista no caso anterior. Aqui, o valor da indutância varia com a corrente. FMM=NI=G.R |-—> IR=NE.DINI ES | L=N. O/1 (448) Exercício: Qual o valor da indutância de uma bobina com núcleo de ar de 10cm de diâmetro interno, 20cm de comprimento e 2000 espiras? Como o núcleo é de material não-magnético: L=Nº no .u,.S/1=2000".47.107.1.0,0785/0,2 91 =0,196H. Exerciíci Qual o valor da tensão auto-induzida de uma bobina de L=0,1H, se, com a ajuda de uma ligação elétrica, a corrente da bobina é elevada uniformemente, durante 0,1s, de OA até SA 2 e=Nde/dt=L. di/dt E=01 (500,1 DE=5V Exercício: No núcleo com excitação simples. calcular a indutância: Dados: fe (comprimento médio do núcleo) = 400mm Sfe (seção do núcleo) = constante 10 mm? e (entreferro) =2 mm espraiamento mm N (número de espiras) - 1000 Life = permeabilidade do núcleo = 3. 10" Wb: espm ty = permeabilidade do entreferro = 47.10 WbrAespm 203 CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA L=Nº/Ri=Nº/(Ro+ Rfe) Assim: Rfe=1/u.S = (400.103. 102.40. 109)=3,33. 10º Aesp/Wb Ro=LiuS =(Q10)(47 107.428. 100)=37,18. 10º Aesp/Wb L=Nº/ (Ro + Rfe) = 1000"/(3,33 + 37.18) 10º = 24,7 mH 1d) Coeficiente de acoplamento: Para se falar em acoplamento, é necessário a presença de pelo menos dois circuitos. O coeficiente de acoplamento da uma noção do quanto esses dois circuitos estão ligados magneticamente. Define-se pela letra K expressa na equação 149: onde: K : coeficiente de acoplamento entre as 2 bobinas. = >) (149, . . . K=M (ln La yk | 04 La indutância própria da bobina 1. Lo». indutância própria da bobina 2. M : indutância mútua entre as 2 bobinas. ajk= 1) para transformadores ideais ( não há fluxo disperso). b) k — 0,98 para transformadores com núcleos ferromagnéticos de grande porte. c) K — 0,50 2 para transformadores com núcleos de ar. Ex: o; Sabendo que o coeficiente de acoplamento de um dispositivo duplamente excitado é 0.7 e que as indutâncias próprias são: L, = 30mH e La, = 20mH, determinar: a) correntes do primário e secundári 03.10) Wb; No = 300 espiras; D= 0,8. 10º Wb. b) quanto se perde de fluxo no ar nos enrolamentos primário e secundário. sabendo que N; = 500 espiras; K=M (Lu lo) 9 M=17,ImH M=Lp=Ly=17,]mH Lo=Ni.Do/b=500.03, 10/69 b=877 à Lo= No. Dy/l,)=300.0,8.10/hD 1 =14,0A CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA Exercício 5: Uma bobina com 2000 espiras possui uma variação uniforme de fluxo magnético em 1/100 segundos. Valor inicial do fluxo = 1,5. 10? Wb; valor final do fluxo = 1,0. 10? Wb. Calcular a tensão induzida. Exercício 6: Calcular as indutâncias próprias e mútuas, considerando os fluxos dispersos iguais a zero. Dados: ufe = q1o.10º 500 espiras Dimensões em cm. 200 espiras [tr a Pe---1 Exercício 7: Duas bobinas, A e B, possuem, respectivamente, 450 espiras e 700 espiras. Sendo L igual a 2 A, o fluxo concatenado com a bobina 1 é de 0,85. 10? Wb e o fluxo magnético total gerado pela corrente 1; vale 4 = 1,05. 10! Wb. Sabendo que o coeficiente de acoplamento é de 0,65. calcule: a) indutâncias próprias das bobinas A e B. b) fluxo disperso na bobina A. b) relutância da bobina A Exercício 8: Suponha dois solenóides 1 e 2, tendo, respectivamente, 350 e 800 espiras, montados sobre o mesmo eixo: A corrente na bobina do solenóide um é igual a 3,5 [A]. provocando um fluxo de 320 | [Wb] no centro da bobina um e um fluxo de 120 u [Wb] no centro da bobina dois. a) calcular a tensão induzida no solenóide um, quando a corrente no solenóide um estiver aumentando à taxa de 0,5 (Als. b) calcular a mútua indutância entre os dois solenóides. c) calcular a auto-indutância (indutância própria) da bobina um. 9: Dois enrolamentos, separados por uma distância de 10cm, apresentam indutância mútua de 56 mH. A bobina um possui 800 espiras e é percorrida por uma corrente de 2/4]. A bobina dois possui 200 espiras e é percorrida por uma corrente de 4[A]. Os fluxos dispersos são respectivamente 0.15 m Wb c 0,06 m Wb. Nessa situação, calcule; a) as indutâncias próprias Ly e Lo. b) coeficiente de acoplamento. c) relutância vistas por dy e dx. 206 Exercício 5: Uma bobina com 2000 espiras possui uma variação uniforme de fluxo magnético em 1/100 segundos. Valor inicial do fluxo — 1,5 . 10º Web; valor final do fluxo = 0. 10“ Wb. Calcular a tensão induzida. Exercício 6: Calcular as indutâncias próprias e mútuas, considerando os fluxos dispersos iguais a zero. Dados: ufe = 0.10? N; = 500 espiras Dimensões em em. N; = 200 espiras a h bos ls Paso: Ni mAP ia Exercício 7: Duas bobinas, A e B, possuem, respectivamente, 450 espiras e 700 espiras. Sendo l> igual a 2 A, o fluxo concatenado com a bobina | é de 0,85. 10º Wb e o fluxo magnético total gerado pela corrente 1> vale 4 = 1,05 . 10? Wb. Sabendo que o coeficiente de acoplamento é de 0,65, calcule: a) indutâncias próprias das bobinas A e B. b) fluxo disperso na bobina A. b) relutância da bobina A Exercício 8: Suponha dois solenóides | e 2, tendo, respectivamente, 350 e 800 espiras, montados sobre o mesmo eixo. A corrente na bobina do solenóide um é igual a 3,5 [A], provocando um fluxo de 320 u [Wb] no centro da bobina um e um fluxo de 120 u [Wb] no centro da bobina dois. a) calcular a tensão induzida no solenóide um, quando a corrente no solenóide um estiver aumentando à taxa de 0,5 (AJ/s. b) calcular a mútua indutância entre os dois solenóides. c) caleular a auto-indutância (indutância própria) da bobina um. Exercício 9: Dois enrolamentos, separados por uma distância de 10cm, apresentam indutância mútua de 56 mH. A bobina um possui 800 espiras e é percorrida por uma corrente de 2[A]. A bobina dois possui 200 espiras e é percorrida por uma corrente de 4[A]. Os fluxos dispersos são respectivamente 0,15 m Wb e 0,06 m Wb. Nessa situação, calcule: a) as indutâncias próprias Li, e Loo. b) coeficiente de acoplamento. c) relutância vistas por q e do. 207 H - TRANSFORMADORES Entende-se por transformador uma máquina elétrica estática, que funciona com corrente altemada constituída por um percurso magnético fechado, geralmente feito por material ferromagnético, no qual colocam-se duas ou mais bobinas, de maneira que o fluxo magnético produzido possa ser mutuamente concatenado com as demais bobinas. Como auxílio do transformador, foi possível a transmissão de energia em tensões elevadas, diminuindo as perdas na transmissão, uma vez que os fios condutores são elementos resistivos, dissipando potência por efeito Joule proporcionalmente ao quadrado do valor da corrente elétrica. Uma vez que as usinas geradoras fornecem potência aparente S = VI, um aumento no nível de tensão faz com que se reduza a corrente elétrica proporcionalmente. Isto é conseguido com a instalação de transformadores elevadores junto a usinas geradora. É comum observar transformadores na transmissão e na distribuição (figura 127), elevando ou diminuindo os níveis de tensão. Sempre estará entre dois níveis de tensões alternadas, apesar da transmissão de energia poder ser feita em corrente contínua, GERAÇÃO GERAÇÃO 35 dq gg no rsrs E sO0ky 230kV 69kV 13,8kv TRANSMISSÃO 1 SUB- soe TRANSMISSÃO DISTRIBLIÇÃO Figura 127 - Utilização de transformadores na transmissão e na distribuição de energia As aplicações principais são: - variar os níveis de tensão e corrente, sem alterar a potência (considerando as perdas pequenas) do circuito primário para o secundário. - dispositivo de proteção, funcionando como transformador isolador, separando e isolando uma parte de um circuito para outra. modificar valores das impedâncias elétricas de um circuito (casamento de impedâncias). 209 CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DF ENERGIA Quanto à classificação, os transformadores podem ser agrupados em: . transformadores de potência . transformadores para aplicações em rádio c TV. . transformadores para alimentação de aparelhos de medição e relé . transformadores para aplicações especiais, como regulação de tensão e fasc. Nosso interesse concentra-se nos transformadores de potência, destinados à transformação de tensões e correntes, com altos valores de potência. Podem ser subdivididos em: nuclear (quando os enrolamentos estão colocados nas laterais do núcleo) e encouraçado (quando o núcleo ferromagnético encapsula todos os enrolamentos). Ainda podem ser distintos em transformadores monofásicos e trifásici Um transformador monofásico é composto por dois enrolamentos instalados no primário (N|) e no secundário (N>). “O —» volt) vit) ioft) Figura 128: Transformador monofásico O princípio de funcionamento está baseado na Lei de Faraday, pela qual num condutor atravessado por linhas de força de um campo magnético variável, aparece em seus terminais uma tensão induzida. Suponha que no enrolamento primário N,, quando submetido a uma tensão vi(t). aparece uma corrente alternada i/(t) conforme figura 128. A força magnetomotriz Ni. is cria um fluxo magnético Pn(t), variável no tempo, o qual circula no interior do núcleo ferromagnético, concatenado-se com a bobina do secundário N>, induzindo nos terminais dessa bobina uma tensão va(t) que segue a equação: vat)= No dDy/ dt (150) A polaridade dessa tensão induzida no enrolamento secundário informa sobre o sentido da corrente nesse enrolamento, caso o transformador esteja em carga. Esse estudo foi elaborado por Lenz”, e pode ser expresso pelo enunciado a seguir: Heinrich Friedrich Emil Lenz — (1804 —1865): físico russo nascido em 1804, especialista em magnetismo, Pesquisou o efeito da temperatura na condutividade dos materiais . Formulou um princípio básico, que ficou conhecido como Lei de Lenz, pela qual se pode determinar a direção da corrente induzida em qualquer circunstância 210 CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA Dividindo as duas equações, chega-se à equação fundamental do transformador ideal: vi() /vatt)=NisNo=a | em valores eficazes: Vi/ V2=Ni/No=a (151) No caso de transtormador ideal a = RT, onde a é a relação de espiras (Ny /N,)) e RTé a relação de transformação (vi(t)' v1)) Essa equação estabelece que as tensões nos enrolamentos de um transformador ideal são diretamente proporcional ao número de espiras do enrolamento. Sendo a permeabilidade do núcleo infinito, podemos fazer a análise de malha do circuito elétrico equivalente e, aplicando a 2º Lei de Kirchoff, tem-se: Nii(D)- Nai) =0 1 b(t) = No it) em valores cficazes: N, iX0/ (O) = ou seja, as correntes nos enrolamentos são inversamente proporcionais ao número de espiras dos enrolamentos. Analisando através da potência, tem-se: Si=S> /W=bih=-a (153) st (O = va(t). ix(t) em valores eficazes : Vi/Mo= bi hos Como as perdas foram desprezadas em um transformador considerado modelo ideal, a potência instantânea de entrada (enrolamento primário) é igual à potência instantânea de saída (enrolamento secundário). Portanto, em um transformador considerado como ideal, a equação que mostra o comportamento do mesmo é: Vw Vo=Ni/No= b/ ly= a (relação de espiras) = RT (relação de transformação) | (154 Definindo: a= relação de espiras = N,; No RT = relação de transformação = V,/ V> 212 Nota: quando modelamos um transformador, assim como no caso de motor elétrico, a representação é feita através de circuito elétrico equivalente c nesse, temos a necessidade de.que as tensões, correntes e impedâncias sejam referidas ao lado primário ou secundário, de acordo com o circuito simplificado que scrá apresentado. Vi=Ny'N:.V2 D h=N/Ni Db > Vi/h= (NyN). Valores do secundário referido ao primário Vi=aVo= V% b=b/a=[" Dividindo as equações: Vo! L Z=2.m=7, Valores do primário referido ao secundário Va=NiN VD [y=Vi/a=Vº L=Ny/N bh > L=a.h=I Dividindo as equações: Va/b= (NyiNP. Vuk D=1/2.7=Z% Figura 129; Tabela de parâmetros do circuito elétrico equivalente referidos ao primário e ao secundário. Exercício 1: No transformador abaixo, descja-se uma potência dissipada na carga de 500 W. Sabendo que a excitação do primário é vi(t) = 180 cos(377t) [V], e que a bobina do primário possui 500 espiras, responda: S vi(o AÇO FUNDIDO fe = 8 cm2 Vá AS LI ui H Ni 100L0ºQ2 N: a) qual o número de espiras no secundário do trafo para produzir essa situação? b) qual a corrente no pr c) qual o fluxo magnético máximo no núcleo? imário? d) qual o campo magnético? aBb=VRDV)= Vi Vo= Ni No (180/1,41)/223,6 = 500/N, D P,.R=500.100 213 223,6 [V] 878 espiras A corrente i(t) consumida possui forma distorcida, diferente da senoidal, pois é composta por duas parcelas bem definidas: uma denominada por ip(t) referente à componente fundamental, em fase com a tensão induzida ci(t) e outra denominada por im(!). referente a várias harmônicas, atrasada de 90º em relação à tensão induzida e(t). O fluxo magnético D(t) produzido pela FMM = parcelas: “io(t) é composto por duas a) Pm(b: parcela do fluxo total D(t) que se concatena com No é que também é chamado de fluxo mútuo. b) Pd(D): parcela do fluxo total D(t) que se fecha pelo ar. não se concatenando com No. Também chamado de fluxo disperso. Representando o transformador através do circuito elétrico equivalente, os cfeitos da resistência do enrolamento primário e do fluxo disperso serão observados como quedas de tensão. ER Figura 131 — Circuito elétrico equivalente do transformador em vazio onde: Ra: resistência elétrica do enrolamento primário. Xy : reatância de dispersão que representa o fluxo magnético disperso. Rp : resistência simbólica que representa as perdas no ferro. Xm : reatância de magnetização do núcleo. Vi : tensão de excitação do enrolamento primário. Vo = E; “tensão induzida no primário. E, : tensão induzida no secundário. lo : corrente de excitação em vazio. Ip : parcela da corrente lo, correspondente às perdas no núcleo. Im : parcela da corrente lo, necessária para magncetizar o núcleo. Para estudar 0 equacionamento do circuito através de fasores, na figura 132 temos o esboço do diagrama fasorial do transformador em vazio. Para isso começa-se pelo triângulo de correntes. lo é a resultante da soma fasorial de Ip e Im: CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA Kao Figura 132 — Diagrama fasorial do transformador em vazio Como Ip é a corrente no resistor Rp, ela (Ip) está em fase com V, = E. Dessa maneira representa-se o vetor V,. À partir de Vo = E; , somam-se a queda de tensão em R, (Rrlo ) e a queda de tensão na reatância de dispersão (Xa.lo ), esta adiantada de 90º em relação a To. Como resultado, temos que a tensão de entrada V, é a soma de três outros fasores: Rio; Xalo ; E; (tensão induzida). Exercício: No transformador em vazio abaixo, o fluxo magnético máximo concatenado com a bobina do primário (Ny) vale 2.0 x 10? [Wb]. A potência ativa absorvida pelo transformador foi de 25 W. A leitura do amperímetro foi de 1,6 A. São dados: fator de forma = 1.11 (senoidal) N, = 500 espiras Na = 500 espiras frequência = 60 Hz Rj= 1,20 (em corrente alternada) Determinar: a) perda no núcleo (Foucault + histerese) b) parâmetros Rp e Xm. c) componentes da corrente total absorvida (Tp e Im). Resolução: edb= vinlt= Ny dO, / dt; para forma de onda senoidal: E; =4,44.f. Ni. Dmax então, a tensão induzida em N, será: E =444.f.Ni. Dmx— 4,44.60.500.2,0x 10! =26,64 V a)Pre=W-Ril)= 25 1,2*1,6= 21,93 W 0) Ip=Pyr/ E, =21,93/2664= 0,844 L=Ip+ o DI =12-1p'=1,6-0,88 > In> 1,36 A 216 CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA E, :tensão induzida no primário. E; : tensão induzida no secundário. 1, : corrente absorvida pelo primário. Ip : parcela da corrente To, correspondente às perdas no núcleo. Im : parcela da corrente lo, necessária para magnetizar o núcleo. Ro: resistência elétrica do enrolamento secundário. Xuz: reatância de dispersão, que representa o fluxo magnético disperso em N> Va : tensão na carga. 1: corrente na carga do secundário. Equacionando a malha |, por meio de soma fasorial, temos: Vi= (Ri+]Xa). + Es = (Ritjwla). D+ E como -le eTo=lab=la,blL-ao= l=IptIm- +, Fazendo o diagrama da malha um, primeiramente colocando-se Ip c Im e, em seguida, E, em fase com Ip. Em carga aparece a corrente T'» , atrasada em relação a tensão induzida E), que é uma das componentes da corrente 1, absorvida tp Va E Figura 135 — Diagrama fasorial da malha do primário do transformador em carga A queda de tensão em R;.T, é um fasor paralelo ao fasor 1, e a queda na reatância de dispersão j w La. 1, estará adiantada de 90º. A soma fasorial da tensão induzida E,c das quedas de tensões Ri. e Xl tem como resultante a tensão de excitação V, Equacionando a malha dois, por meio de soma fasorial, temos: Vo= E» (Ro jXa). bo (Ro + we Lao). do Figura 136 — Diagrama fasorial da malha do secundário do transformador em carga Em engenharia, é comum, para análise do comportamento dos dispositivos, fazer uso de circuito elétrico equivalente que, por analogia, represente os fenômenos que ocorrem no dispositivo real. Nesse caso, toda resolução será feita pelas leis de Kirchoff e Ohm. No caso do transformador, existem dois circuitos elétricos distintos, e usam-se os parâmetros do secundário referido no próprio circuito primário ou vice-versa. Abaixo está representado um circuito elétrico equivalente do transformador com os parâmetros do secundário referidos ao primário. 1 R IXa Poa JX piXa > — —+» yo , > 7a Vi Va=E1 5 Figura 137 — Circuito elétrico equivalente do transformador em carga referido ao primário corrente do secundário referida ao primário. ensão numa carga no secundário referida ao primário. jX'w: reatância de dispersão do secundário referida ao primário. R';: resistência elétrica do enrolamento secundário. Exercício 1: Um transformador de 50 KVA, 2500/250 V, 60 Hz, possui os seguintes parâmetros: R= 0,8 0; Xg = 0,50; R5= 1,60; Xp =0,850; Xy=84 Le Rp=5400, O transformador opera com fator de potência de 0,8 em atraso. Determinar: a) a corrente absorvida. b) rendimento nesta situação. A relação de espiras = relação de transformação = 10 V aV2=10.250L 0º=2500 L0ºV 219 
