Derivadas: aplicações e teorias, Slides de Cálculo Diferencial e Integral

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APLICAÇÃ

O

DERIVADA

MÁXIMOS

mínimos

 (^) Utilizando as derivadas conseguimos encontrar os pontos críticos da função, ou seja, o ponto de máximo e mínimo de uma função. Olhe a função a seguir: Observando o gráfico podemos identificar que os pontos Yv é ponto de máximo local e Xv é ponto de mínimo local. Ainda mais, podemos dizer que o ponto f(Y) é um máximo absoluto e f(X) é ponto de mínimo absoluto, pois Y é o maior valor de f e X é o menor valor de f :

Mas como encontrar estes pontos em uma função

qualquer que não se conheça o gráfico?

Otimizaç

ão

 (^) Um problema de otimização é aquele que descreve uma situação que pode ser descrita por uma função matemática e cuja solução envolve a determinação dos valores extremos dessa função. Vejamos o exemplo a baixo: Vamos supor que a função que relaciona o custo C com o número de bananas B seja dada por: Primeiro deriva a função e depois iguala a zero,

 (^) Como a quantidade é de alimento, o valor negativo pode ser desconsiderado. Então só sobra o ponto crítico B =

Encontrado então o valor para um ponto crítico dessa função, precisa saber se esse ponto é de máximo ou de mínimo. É só olhar o sinal da derivada à esquerda do ponto crítico encontrado e à direita também. Vamos pegar o ponto B=5 à esquerda e B=15 à direita, e aplicá-los lá na primeira derivada da função. Como a derivada é negativa à esquerda e positiva à direita do ponto B=10 , esse ponto é de mínimo!

 (^) Considerando o ponto crítico P para uma função f(x), o ponto de inflexão e definido como aquele onde ocorre a inversão na tendência da declividade, ou seja, quando: f’’(x) > 0 – x > p f’’(x) < 0 – x < p Ou f’’(x) < 0 – x <p f’’(x) > 0 – x > p