PROJET MÉCANIQUE
DETERMINATION DU MODULE D'ELASTICITE (MODULE D’YOUNG) D'UNE
POUTRE EN FLEXION : APPROCHE STATIQUE ET DYNAMIQUE"
Vinicius ANDRADE
Anas FKIHI
4ème année 2019/2020
INSA Centre Val de Loire
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Determinacao do modulo de elasticidade de uma viga, Trabalhos de Resistência dos materiais
Determinacao do modulo de Young atraves do martelo de impacto e de straint gage
Tipologia: Trabalhos
2020
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PROJET MÉCANIQUE
DETERMINATION DU MODULE D'ELASTICITE (MODULE D’YOUNG) D'UNE
POUTRE EN FLEXION : APPROCHE STATIQUE ET DYNAMIQUE"
Vinicius ANDRADE Anas FKIHI 4 ème^ année 2019/ INSA Centre Val de Loire
SOMMAIRE
- Introduction
- etude statique
- 2.1. La comparaison entre les valeurs obtenues
- 2.2. L’effort tranchant
- etude dynamique
- 3.1. Partie théorique
- 3.2. Partie expérimentale
- Problemes rencontres
- conclusion............................................................................................................
- source bibliographique
Figure 1 – Pont de mesure et poutre E- 105 - F Source : Les auteurs Tableau 1 – Caractéristiques de la poutre
Épaisseur
(mm)
Largeur
(mm)
Longueur
(mm)
Masse
(kg)
Masse volumique
(Kg/m³)
e b L M ρ
3 25 305 65 ∗ 10 −3^ 2.7 ∗ 103
Source : Les auteurs Afin de déterminer le module d’Young de cette poutre, nous opterons pour deux approches : Une étude statique et une autre dynamique. Nous comparerons les résultats obtenus à l’aide de ces deux méthodes pour conclure sur la valeur du module d’Young obtenu.
2. ETUDE STATIQUE
Nous utiliserons la loi de Hooke afin de déterminer le module d’Young de notre poutre que l’on suppose un solide élastique. Principe : On encastre une des extrémités de la poutre dans un banc de fixation puis on applique une force P (des masses) à l’extrémité de la poutre, et on relève à l’aide d’un pont d’extensomètres, la valeur des déformations relatives de la ou des jauges, ensuite on calcule la contrainte appliquée au centre de la jauge avec la formule suivante :
6 𝑃𝐿 𝑏ⅇ^2 Équation (1) Avec :
𝑃 : La force imposée
𝐿 : Distance entre le point d’application de la jauge et le centre de la jauge
𝑏: Largeur de la poutre
ⅇ : Épaisseur de la poutre
On trace finalement la courbe 𝜎 = 𝑓(ε)^ qui aura comme coefficient directeur le module
d’Young d’après la loi de Hook :
𝜎 = 𝐸 ε Équation (2)
Pour ce faire, utilisera une poutre console E- 105 - F à 3 jauges à l’aide de laquelle on comparera l’effort tranchant à la valeur de la force appliquée. Au début, nous avons mesuré la contrainte de chacune des jauges 1, 2 et 3 à l’aide de la formule :
𝑀𝑓 2 𝐼 0
6 𝐹𝑥𝑖 𝑏ⅇ^2 Équation ( 3 )
Puis nous avons mesuré, à l’aide d’un pont de mesure les différentes valeurs de 𝜎 pour
chaque jauge et chaque poids appliqué en faisant varier les poids de 0 N à 14,04 N et en branchant les câbles de la poutre console aux bornes du pont de mesure tout en fixant le facteur de jauges à 2,095 ±0,5%.
Graphique 1 – Tension – Déformation pour la jauge 1 : Source : Les auteurs En utilisant la méthode de la régression linéaire pour les différents points obtenus on trouve que le coefficient directeur y est presque égal à E=71GPa. Tableau 3 – Valeurs pour la jauge 2 J 2 ε Poids (N) σteo (Pa) E (Pa) σE71 (Pa) 1 0 0 0 0 0 2 1,10E- 04 2,04048 6,89E+06 6,26E+10 7,81E+ 3 1,50E- 04 3,04048 1,03E+07 6,84E+10 1,07E+ 4 2,10E- 04 4,04048 1,36E+07 6,493E+10 1,49E+ 5 2,80E- 04 5,04048 1,70E+07 6,075E+10 1,99E+ 6 3,40E- 04 6, 04048 2,04E+07 5,995E+10 2,41E+ 7 4,00E- 04 7,04048 2,38E+07 5,94E+10 2,84E+ 8 4,30E- 04 8,04048 2,71E+07 6,31E+10 3,05E+ 9 4,80E- 04 9,04048 3,05E+07 6,356E+10 3,41E+ 10 5,30E- 04 10,04048 3,39E+07 6,393E+10 3,76E+ 11 5,70E- 04 11,04048 3,73E+07 6,536E+10 4,05E+ 12 6,10E- 04 12,04048 4,06E+07 6,661E+10 4,33E+ 13 6,50E- 04 13,04048 4,40E+07 6,77E+10 4,62E+ 14 7,00E- 04 14,04048 4,74E+07 6,769E+10 4,97E+ Moyenne 2,71E+07 6,415E+10 2,98E+ Erreur entre les σ (%) 9, Source : Les auteurs Pour la jauge 2 nous avons obtenu une moyenne du module d’Young de 64,15GPa. y = 7E+10x - 1E+ R² = 0, 0 10 20 30 40 50 60 70 0 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0, σ (MPa) ε
Graphique 2 – Tension – Déformation pour la jauge 2 Source : Les auteurs On remarque que le coefficient directeur y est aussi presque égal à E=71GPa. Tableau 4 – Valeurs pour la jauge 3 J 3 ε Poids (N) σteo (Pa) E (Pa) σE71 (Pa) 1 0 0 0 0 0 2 6,00E- 05 2,04048 3,93E+06 6,558E+10 4,26E+ 3 9,00E- 05 3,04048 5,86E+06 6,514E+10 6,39E+ 4 1,20E- 04 4,04048 7,79E+06 6,493E+10 8,52E+ 5 1,40E- 04 5,04048 9,72E+06 6,943E+10 9,94E+ 6 1,70E- 04 6,04048 1,16E+07 6,852E+10 1,21E+ 7 2,10E- 04 7,04048 1,36E+07 6,465E+10 1,49E+ 8 2,40E- 04 8,04048 1,55E+07 6,46E+10 1,70E+ 9 2,80E- 04 9,04048 1,74E+07 6,226E+10 1,99E+ 10 3,20E- 04 10,0404 8 1,94E+07 6,05E+10 2,27E+ 11 3,60E- 04 11,04048 2,13E+07 5,914E+10 2,56E+ 12 4,00E- 04 12,04048 2,32E+07 5,805E+10 2,84E+ 13 4,30E- 04 13,04048 2,51E+07 5,848E+10 3,05E+ 14 4,60E- 04 14,04048 2,71E+07 5,886E+10 3,27E+ Moyenne 1,55E+07 6,309E+10 1,79E+ Erreur entre les σ (%) 13, Source : Les auteurs y = 7E+10x - 966191 R² = 0, 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006 0,0007 0, σ (MPa) ε
Avec : F : La force appliquée T : L’effort tranchant On a :
∆𝑀𝑓 ∆𝑥 Équation ( 6 ) Mais :
𝐸𝑏ⅇ^2 ∆𝜀 6 Équation (7) On obtient alors :
𝐸𝑏ⅇ^2 ∆𝜀 6 ∆𝑥 Équation ( 8 ) Avec ∆𝜀, la différence des déformations de 2 jauges sur les 3 présentes sur la poutre console et x la distance séparant les 2 jauges utilisées pour les mesures que l’on détaillera plus ci-dessous : Pour la Jauge 1 et 2 on a une distance de ∆𝑥 = 0 , 075 𝑚. Tableau 5 – Valeurs de l’effort tranchant pour les jauges 1 et 2 J 12 Poids (N) ε 1 - ε 2 T(N) 1 0 0 0 2 2,04048 5,00E- 05 1, 3 3,04048 8,50E- 05 2, 4 4,04048 1,20E- 04 3, 5 5,04048 1,50E- 04 4, 6 6,04048 1,77E- 04 5, 7 7,04048 2,08E- 04 6, 8 8,04048 2,32E- 04 7, 9 9,04048 2,71E- 04 8, 10 10,04048 3,01E- 04 9, 11 11,04048 3,32E- 04 10, 12 12,04048 3,63E- 04 11,841 34 13 13,04048 3,95E- 04 12, 14 14,04048 4,10E- 04 13, Erreur (%) 4, Source : Les auteurs
Graphique 4 – Effort tranchant entre jauges 1 et 2 Source : Les auteurs Pour le Jauge 2 et 3 on a une distance de ∆𝑥 = 0 , 075 𝑚. Tableau 6 – Valeurs de l’effort tranchant pour les jauges 2 et 3 J 23 Poids (N) ε 2 - ε 3 T(N) 1 0 0 0 2 2,04048 5,80E- 05 1, 3 3,04048 9,00E- 05 2, 4 4,04048 1,22E- 04 3, 5 5,04048 1,54E- 04 5, 6 6,04048 1,89E- 04 6,16532 8 7 7,04048 2,16E- 04 7, 8 8,04048 2,42E- 04 7, 9 9,04048 2,78E- 04 9, 10 10,04048 3,05E- 04 9, 11 11,04048 3,37E- 04 10, 12 12,04048 3,67E- 04 11, 13 13,04048 4,00E- 04 13, 14 14,04048 4,32E- 04 14, Erreur (%) 0, 368 Source : Les auteurs 0 2 4 6 8 10 12 14 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Poids L'effort tranchant Poids (N) T(N)
3. ETUDE DYNAMIQUE
Dans notre étude, nous relèverons, à l’aide d’un accéléromètre, la réponse fréquentielle de la poutre console E- 105 - F (qui a N degrés de liberté dans notre étude) à laquelle on appliquera des forces en différents points :
- Point 1: 0 mm à partir de la partie encastrée ;
- Point 2 : 40mm ;
- Point 3 : 120 mm ;
- Point 4 : 180 mm. Figure 2 – Mesure dynamique des fréquences Source : Les Auteurs 3.1. Partie théorique On applique une force harmonique à l’extrémité de la poutre de longueur L afin de déterminer son Module d’Young. L’équation du mouvement est la suivante :
𝜕^4 𝑢 𝜕𝑥^4
= 0 ⇔ 0 < 𝑥 < 𝐿 Équation ( 9 )
Avec : E : Le Module d’Young de la poutre calculée précédemment (E=7 1 GPa) 𝜌 : La masse volumique de la poutre S : la section de la poutre avec S=e*b I : Le moment d’inertie de la poutre I = 5 , 625. 10 −^11 m^4 La solution de cette équation est la somme de la solution stationnaire (particulière) U 1 et la solution du régime transitoire (générale) U 2. En supposant un régime stationnaire, la solution générale peut être négligée. La réponse du système s’écrit alors :
𝑈 = 𝑈 1 + 𝑈 2 ≅ 𝑈 1 Équation ( 10 )
Et donc :
𝑈(𝑥, 𝑡)^ = 𝑈ⅇ𝑗𝜔𝑡^ Équation ( 11 )
Avec : U : l’amplitude complexe. Alors :
−𝑗𝛽𝑥
𝑗𝛽𝑥
−𝛽𝑥
𝛽𝑥 Équation (12) Où 𝛽 est le nombre d’ondes complexes
𝜔^2 𝜌𝑆 𝐼𝐸
1 4 Équation (13) A partir des conditions aux limites, on peut déterminer les valeurs de A, B, C et D. On est dans le cas d’une poutre encastrée-libre, et donc :
Tableau 7 – Valeurs de l’effort tranchant pour les jauges 2 et 3 Fréquence propres Théoriques (Hz) Fréquences propres Expérimentales (Hz) Erreur % 1 mode 200,20 1 mode 180,13 10, 2 mode 556,11 2 mode 525,63 5, 3 mode 1089,98 3 mode 992,50 8, 4 mode 1801,80 4 mode 1676,88 6, Source : Les auteurs Après avoir calculé les fréquences propres théoriques à l’aide des équations 1 4 et 1 5 , on obtient les valeurs ci-dessus théoriquement, puis à l’aide du marteau d’impact et du logiciel DEWESOFT X3 nous avons obtenus d’autres valeurs expérimentales avec une marge d’erreur maximale de 10,03% Comme représenté dans le graphe ci-après où on remarque que l'écart entre les courbes n'est pas très conséquent. Graphique 6 – Fréquences propres en fonction des modes Source : Les auteurs Pour notre étude dynamique expérimentale nous avons utilisé le logiciel DEWESOFT X qui nous a permis de relever 4 fréquences propres à partir de l'impact du marteau sur les points évoqués précédemment. Ce qui nous a permis d'obtenir les courbes suivantes. 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 1 2 3 4 Fréquence propes (Hz) Modes Fréquence propres Theorique Fréquences propres Exp
Figure 3 – Résultats obtenus sur le logiciel DEWESOFT X Source : Les auteurs Tableau 7 – Modules d’Young pour chaque mode de fréquence Modes E (Pa) 1 5,75E+ 2 6,34E+ 3 5,89E+ 4 6,15E+ Moyenne 6,03E+ Source : Les auteurs Au final, on détermine expérimentalement le module d’Young à partir des résultats obtenus grâce à l’expérience du marteau d’impact en utilisant l’équation 15. On obtient comme valeur moyenne du Module d’Young de 60 ,3 GPa.
5. CONCLUSION
Après toutes les expériences menées nous avons trouvé des valeurs proches de E= GPa, mais pas la valeur exacte, cela est dû à la composition des alliages de la poutre ainsi qu’à quelques erreurs de mesures dues aux instruments utilisés et des conditions d’expérimentation. Comme la position de l’accéléromètre qui influence directement sur les mesures des fréquences propres. Cependant ces résultats nous permettent de clairement aboutir au résultat que la poutre est bien en aluminium et que son module d’Young vaut dans notre cas E = 62,8 GPa, ce qui entraîne une erreur de 11,5% entre les valeurs théorique (E= 71 GPa) et pratique.
6. SOURCE BIBLIOGRAPHIQUE
[1] Callister Jr., W.D., Ciência e Engenharia dos Materiais, uma Introdução, 7ª Edição, Ed. Guanabara, 2008. [2] HIBBELER, R.C. Resistance des matériaux. 2007. Ed. Pearson [ 3 ] RAO, S. S., Mechanical Vibrations, Addison-Wesley Publishing Company, 1995.