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C A L C U L U S
M A T H E M A T I K O S
Blog: http://xykomatematico.blogspot.com
"A História mostra que os chefes de império que encorajaram o culto da Matemática,
fonte comum de todas as ciências exatas, são também aqueles cujo reinado foi mais
brilhante e cuja glória é mais duradoura." Miches Charles (1783-1880)
Luiz Francisco Batista Sampaio
xyko1981@hotmail.com
Série de MacLaurin para determinar o valor de Pi ( π )
No século 17, o matemático Leibniz utilizou a expansão da série arctan (x) para encontrar uma
aproximação do valor do número pi (π).
f x =a r c t a g x
Quando x = 0 , temos:
f 0 = a r c t a g 0 = 0
1°-) Derivando
f x :
2
d 1
a r c t a g x
d x 1 x
Quando x = 0
, temos:
f '( 0) = 1
2°-) Derivando f ' x( ):
2
1 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2
d 1 d 1 d 2x
1 x 1 1 x 2x 2x 1 x
d x 1 x d x 1 x d x
1 x
− − −
Quando x = 0 , temos:
f ' ' (0) = 0
3°-) Derivando
f ' ' x( )
:
( ) ( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( ( ))
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ( ) )
( )
( )
( )
3
3 2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2 2
2 2 2 2 2
4 4
2 2
2 2 2 2 2
4 3
2 2
d 2x d 2x
d x d x
1 x 1 x
d d
2x 1 x 2x 1 x
d x d x
1 x
2 1 x 2x 4x 1 x 2 1 x 8x 1 x
1 x 1 x
2 1 x 1 x 4x 2 1 x 4x
1 x 1 x
( )
( )
( )
( )
2 2
3 3
2 2
2 3x 1 3x 1
1 x 1 x
Quando x = 0 , temos:
f ' '' (0) = − 2
4°-) Derivando
f ' ' ' x( )
:
( )( ) ( ) ( )
( )
(
)
( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )( ) ( )
( )
( )( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )
( )
4 3
2 2 3 2
2
4
2
4 3
2 2 4 2 2
8
2
3
2 2 2 4 2
8
2
2 2 4 2
5
2
2 2 4 2
5
2 2
3x 1 1 x x x 4 1 x 2x
1 x
3x 1 1 x 8x 8x 1 x
1 x
1 x 3x 1 1 x 8x 8x
1 x
3x 1 1 x 8x 8x
1 x
3x 1 1 x 8x 8x
1 x 1 x
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )
( )
5
2 4 2
4 5
2 2
2 2 4 2
5
2
2 4 2 4 2
5
2
3x 1 8x 8x
1 x 1 x
3x 1 1 x 8x 8x
1 x
3x 3x 1 x 8x 8x
1 x
( )
( )
( )
4 2
5
2
4 2
5
2
5x 1 0x 1
1 x
5x 1 0x 1
1 x
Quando x = 0
, temos:
v
f (0) =2 4
6°-) Derivando
v
f x :
( ) ( ) ( ) ( )
( )
(
)
( )( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )( )
( )
(
)
4 2
6
6 5
2
5 5
4 2 2 4 2 2
2
5
2
5 4
3 2 4 2 2
2
5
2
5 4
3 2 5 3 2
2
5
2
5x 1 0x 1
d
2 4 2 4
d x 1 x
2 4
2 4
d d
5x 1 0x 1 1 x 5x 1 0x 1 1 x
d x d x
1 x
2 0x 2 0x 1 x 5x 1 0x 1 5 1 x 2x
1 x
2 0x 2 0x 1 x 5 0x 1 0 0x 1 0x 1 x
1 x
− +
=
( ) ( )( ) ( )
( )
( )( ) ( )
( )
4
2 3 2 5 3
1 0
2
3 2 5 3
6
2
2 4
2 4
1 x 2 0x 2 0x 1 x 5 0x 1 0 0x 1 0x
1 x
2 0x 2 0x 1 x 5 0x 1 0 0x 1 0x
1 x
Quando x = 1 ,temos:
[ ]
a r c t a g(1)
- a r c t a g(1)
π
∴π =
Substituindo na Série de MacLaurin, temos:
3 5 7
n 2n 1
n 0
1 1
2n 1
=
− −
π = = + − + − = + − + −
∑
Observe, que:
n
0
n 0
n
1
n 0
n
2
n 0
n
3
n 0
n
4
n 0
n
2n 1
2n 1 3
2n 1 3 5
2n 1 3 5 7
2n 1 3 5 7 9
=
=
=
=
=
π = = =
π = = − =
π = = − + =
π = = − + − =
π = = − + − + =
π =
∑
∑
∑
∑
∑
5
n 0
n
6
n 0
2n 1 3 5 7 9 1 1
2n 1 3 5 7 9 1 1 1 5
=
=
π = = − + − + − + =
∑
∑
Perceba que a série converge muito lentamente, e que quando o valor n é par a série converge de forma
decrescente e quando o valor de n é impar a série converge de forma crescente. Somente quando n é igual a 118
a série se aproxima de π com aproximação de duas casas decimais:
n
1 1 8
n 0
2n 1 3 5 2 3 3 2 3 5 2 3 7
π = = − + − + − + =
∑
E mesmo após o valor de n chegar a 1.000, não temos uma precisão de três casas decimais.
n
- 0 0 0
n 0
1
4 3,1 4 2 5 9 1 6 5 4
2n 1
=
−
π = =
E com n igual a 136.150 temos um valor de π com aproximação de apenas cinco casas decimais.
n
1 3 6. 1 5 0
n 0
1
4 3,1 4 1 5 9 9 9 9 8
2n 1
=
−
π = =
Como se pode perceber não é um método prático para se determinar o valor de π. Somente com o uso de
software matemáticos, como o maple, foi possível os resultados quando n assumiu os valores de 118, 1.000 e
136.150, contudo não deixa de ser um processo interessante.
Fonte: Interactive Mathematics - http://www.intmath.com/Series-expansion/2_Maclaurin-series.php
