Baixe dielétrica e capacitores e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Eletrônica, somente na Docsity!
Cap´ıtulo 5
Diel´etricos e Capacitores
Neste cap´ıtulo vamos come¸car apresentando uma por¸c˜ao de fenˆomenos j´a con- hecidos da maior parte de vocˆes e vamos relacion´a-los tentando, ao sistematiz´a-los, produzir f´ormulas matem´aticas que os expressem.
5.1 Rigidez Diel´etrica
J´a vimos anteriormente a diferen¸ca entre um diel´etrico e um condutor. Nos diel´etricos (ou isolantes) os el´etrons est˜ao presos aos n´ucleos dos ´atomos e portanto, ao contr´ario dos metais, n˜ao existem el´etrons livres nessa substˆancia. Dado isto, sabemos que se um campo el´etrico for aplicado a um diel´etrico, vai haver uma tendˆencia de afastar os el´etrons de seus n´ucleos devido `a for¸ca externa. Mas o que acontece se aumentarmos muito o campo el´etrico externo? E claro que´ a for¸ca que age em cada el´etron vai aumentando tamb´em, proporcionalmente. Isto pode chegar ao ponto em que a for¸ca externa fica maior do que a for¸ca externa que liga o el´etron ao seu n´ucleo. Quando isto acontece, os el´etrons passar˜ao a ser livres
- TRANSFORMANDO ENT AO UM DIEL˜ ETRICO EM UM CONDUTOR!!!´ Esse processo pode ocorrer com qualquer isolante e o campo el´etrico aplicado que o transforma em condutor vai depender da estrutura de cada material. O valor m´ınimo do campo el´etrico que deve ser aplicado a um diel´etrico para tranform´a-lo em condutor ´e denominado RIGIDEZ DIELETRICA. Cada ma-´ terial tem seu valor pr´oprio de rigidez diel´etrica, dadas as diferentes estruturas
microsc´opicas de cada um deles. Verifica-se experimentalmente que a rigidez diel´etrica do vidro ´e 14 × 106 N/C (unidade de campo el´etrico!!) enquanto a da mica pode atingir 100 × 106 N/C. A rigidez diel´etrica do ar em contrapartida, ´e bem menor, 3 × 106 N/C.
5.2 Compreendendo centelhas el´etricas a partir
do fenˆomeno da rigidez el´etrica
Consideremos duas placas eletrizadas com cargas de sinais contr´arios, sepa- radas por uma camada de ar. Se o campo el´etrico criado por essas placas for inferior a 3 × 106 N/C, o ar entre elas permanecer´a isolante e impedir´a que aja passagem de uma placa `a outra. Entretanto, se o campo exceder esse valor, a rigidez diel´etrica do ar ser´a rompida e o ar se transfromar´a em um condutor. As cargas, neste momento, ficar˜ao livres e ser˜ao atra´ıdas para as placas com cargas opostas a elas. Isso ocasiona uma descarga el´etrica entre as placas. Mais fenomenologia: esta descarga vem acompanhada de emiss˜ao de luz e um estalo que ´e causado pela expans˜ao do ar que se aquece com a descarga el´etrica.
A F´ısica e nosso dia a dia:
Cada vez que observamos uma fa´ısca el´etrica saltar de um corpo para outro (do pente para o cabelo, entre os terminais de um interruptor el´etrico, etc) podemos concluir que a rigidez diel´etrica do ar situado entre esses corpos foi ultrapassado e ele se tornou um condutor.
Outro fenˆomeno comum ligado `a rigidez diel´etrica ´e o raio em uma tem- pestade, que vem acompanhado de um relˆampago e um trov˜ao. Pilotos (corajosos!) verificaram que durante uma tempestade, ocorre uma separa¸c˜ao de cargas nas nu- vens, ficando as nuvens mais baixas eletrizadas negativamente e as mais altas, pos- itivamente. Ent˜ao ´e f´acil imaginar que vai haver um campo el´etrico entre essas nuvens. Al´em disso, a nuvem mais baixa (carregada negativamente) vai induzir uma carga positiva na superf´ıcie da Terra e estabelece-se entre essas duas tamb´em um campo
o p´ara-raios, um objeto bastante pontudo, ligado ao solo, de preferˆencia em ligares onde poucos danos seriam produzidos. Funcionou, como sabemos!! Agora que vocˆe j´a aprendeu a essˆencia de alguns fenˆomenos el´etricos, vamos testar se vocˆe consegue transferir esses conhecimentos para outras situa¸c˜oes:
5.3 Quest˜oes Desafios
Qual a explica¸c˜ao para o fato de a mica ter sido usada durante muito tempo como isolante el´etrico em diversos aparelhos? Por ter Rigidez Diel´etrica muito elevada.
Vocˆe poderia usar um vidro Pirex como isolante el´etrico em um aparelho no qual ele estaria submetido a um campo el´etrico de 2. 0 × 107 N/C? Por quˆe? N˜ao. Sua rigidez el´etrica ´e menor que este valor. Consulte uma tabela.
Sabe-se que quando uma esfera condutora no ar recebe uma carga el´etrica que vai sendo aumentada gradualmente, h´a um limite para o valor da carga que a esfera pode reter. Ap´os esse limite ser atingido a) O que acontece com a carga que ´e transferida a esfera? Escoa para o ar. b) O que se pode afirmar sobre o campo el´etrico na superf´ıcie da esfera? E superior´ a rigidez diel´etrica do ar.
5.4 Capacitores
Um capacitor ´e um dos muitos tipos de dispositivos usados em circuitos el´etricos de r´adios, computadores, etc. Capacitores microsc´opicos formam a mem´oria dos bancos de dados dos computadores. A importˆancia dos capacitores est´a princi- palmente na sua propriedade de armazenar energia el´etrica. Pode-se fazer com que eles armazenem e liberem energia em conjuga¸c˜ao com outras fun¸c˜oes do circuito.
A defini¸c˜ao mais precisa de um capacitor ´e a que ele consiste em dois condu- tores que est˜ao pr´oximos, por´em isolados um do outro. Capacitˆancia ´e a quantifica¸c˜ao do poder que tem um capacitor de armazenar energia. Mais precisamente, a capacitˆancia ´e a raz˜ao entre o m´odulo Q da carga em cada placa e a diferen¸ca de potencial entre as placas.
C = (^) ∆QV Por conven¸c˜ao, as grandezas nessa equa¸c˜ao s˜ao positivas; Q se define como o m´odulo da carga em cada placa e ∆V ´e o m´odulo da diferen¸ca de potencial entre as placas. Consequentemente, a capacitˆancia C ´e sempre positiva. Outro ponto importante a ressaltar ´e que a capacitˆancia ´e uma propriedade associada `a geometria do arranjo formado por condutores e ao meio que existe entre eles. A unidade de capacitˆancia no SI ´e o Faraday
1 F =^11 CV Os capacitores usuais tem capacitˆancias da ordem de microfaradays
1 μF = 1 × 10 −^6 F
- Calcule a capacitˆancia de um capacitor plano paralelo de ´area A e distˆancia L entre os planos no v´acuo. Discuta o que acontece quando esse capacitor ´e preenchido por um diel´etrico em duas situa¸c˜oes: a) O capacitor plano paralelo de ´area A que tem inicialmente o v´acuo entre os planos e est´a submetido a uma diferen¸ca de potencial V , quando adquire uma carga Q. Esse capacitor ´e desconectado de fios externos sendo mantido isolado antes da introdu¸c˜ao do diel´etrico. b) idem, mas mantendo a diferen¸ca de potencial fixa. A diferen¸ca de potencial entre duas placas condutoras depende da carga nestas placas. E conveniente portanto primeiro obter a express˜´ ao para a diferen¸ca entre os potenciais el´etricos dos dois planos.
∆V = | − E · L| Onde L ´e o vetor na dire¸c˜ao normal e
E = | ≤AQ|
Onde ≤ ´e a permissividade do meio. Como (^) ≤≤ 0 ´e, para os materiais usualmente utilizados, maior que 1, o campo el´etrico diminui. Isso provoca automaticamente uma diminui¸c˜ao na diferen¸ca de potencial e assim um aumento na capacitˆancia
C = ≤A L E interessante notar tamb´^ ´ em que o m´odulo da rigidez diel´etrica dos materiais utilizados ´e maior do que a do ar, o que tem como consequˆencia imediata que esse tipo de capacitor pode ser submetido a campos mais intensos do que o ar. Quando a rigidez diel´etrica do material ´e atingida, o capacitor ´e danificado pois, como discutimos anteriormente, como no caso dos raios, haver˜ao descargas el´etricas de um condutor a outro. Portanto, colocar um diel´etrico dentro de um capacitor torna-o mais est´avel. Podemos tornar essas id´eias mais quantitativas. A capacitˆancia de um capac- itor plano no v´acuo, como vimos, ´e dada por
C 0 = ≤^0 LA Nessas condi¸c˜oes, suponhamos que este capacitor seja desconectado de fios externos e seja mantido isolado. Agora tomemos um diel´etrico de permissividade ≤ e colocamos em seu interior, preenchendo todo o seu volume. A capacitˆancia vai mudar para
Cd = ≤AL E a raz˜ao entre as duas capacitˆancias
C 0 Cd^ =^
≤ =^ K
Onde K > 1 ´e chamado constante diel´etrica. A nova capacitˆancia Cd, pode ainda ser escrita como
Cd =
Q
Vd
Uma vez que a carga n˜ao mudou. O que ser´a que acontece com o potencial? Podemos calcular Vd da seguinte maneira
Cd = (^) VQ d
= VQ
0
V 0
Vd Onde V 0 ´e a diferen¸ca de potencial do capacitor C 0. Mas sabemos que (^) VQ 0 = C 0. Ent˜ao, temos
Cd = C 0 V V^0 d Usando aqui o que acabamos de descobrir sobre a capacit˜ancia, ie,
Cd = KC 0 Temos que
KC 0 = C 0 V V^0 d
−→ V V^0
d
= K
Isto ´e, a diferen¸ca de potencial diminui pelo mesmo fator K quando preenchemos o capacitor com um die´etrico. Toda essa discuss˜ao que fizemos ´e v´alida porque o capacitor est´a isolado do meio externo e as cargas est˜ao fixas nas placas. Mas o que aconteceria se fix´assemos o potencial ao inv´es das cargas como antes? As capacitˆancias C 0 e Cd s˜ao as mesmas que antes, pois como vimos, s´o dependem de fatores geom´etricos e da permissividade do meio ≤ 0 e ≤. Portanto continua sendo verdade que a capacitˆancia, na presen¸ca do diel´etrico, vai aumentar da mesma forma
Cd = KC 0 Agora, dado que o potencial ´e fixo, podemos nos perguntar o que acontece com as cargas. Para descobrir isto escrevemos
C 0 = (^) VQ
Cd = Qd V =^
Qd Q
Q
V =^
Qd Q C^0
figura, radialmente. Pela lei de Gauss temos
∮ En · ndS = Q≤ 0 O campo el´etrico ´e constante sobre a superf´ıcie de Gauss, e portanto
E
dS = Q≤ 0
−→ E 4 πR P^2 = Q≤ 0
E = Q 4 π≤ 0 R P^2 r
∆V = −
E · dl = −
∫ (^) Rb Ra
E · dr
|∆V | = (^4) π≤Q o
r · dRP r R^2 P^ =^
Q
4 π≤ 0
Rb − Ra RaRb E, consequentemente
C = (^) Q Q 4 π≤ 0 Rb−Ra RaRb
=^4 Rπ≤^0 RaRb b −^ Ra Outra vez notamos o aparecimento de qunatidades envolvidascom a geometria do problema e a constante diel´etrica em quest˜ao, no caso o v´acuo. Quando Rb >> Ra, podemos obter uma express˜ao mais simples para a ca- pacitˆancia e que pode ser ´util eventualmente. A express˜ao para a capacitˆancia, como est´a escrita, n˜ao ´e adequada para fazer esse limite. Uma regra geral para efetuar aproxima¸c˜oes em f´ısica ´e antes de mais nada, descobrir qual o parˆametro que ´e pequeno e escrever a express˜ao em termos desse parˆametro. Depois disso, faz-se uma expans˜ao em torno do valor zero para o parˆametro. Esse parˆametro ´e em geral adimensional, dado que freq¨uentemente ´e expresso como uma raz˜ao entre duas grandezas f´ısicas F 1 e F 2 , sendo que F F^12 << 1 ou vice versa. No nosso caso essa grandeza f´ısica ´e o raio. Ent˜ao nosso parˆametro “pequeno” ser´a R Rab. Vamos agora reescrever a express˜ao para C em termos desse parˆametro
C =^4 Rπ≤^0 RaRb b −^ Ra
4 π≤ 0 RaRb Rb Rb−Ra Rb
=^4 π≤^0 Ra 1 − R Rab
Na express˜ao acima vˆe-se claramente que quando nosso parˆametro tende a zero
CRB →∞ = 4π≤ 0 Ra Tente fazer agora, seguindo os mesmos passos, o problema an´alogo para um capacitor feito de dois cabos coaxiais de comprimento L, de raios Ra e Rb (Ra < Rb), e cargas Q (em R 0 ) e −Q (em Rb). A solu¸c˜ao desse problema ´e C = (^) ln^2 Rπ≤ 20 /RL 1. O que acontece no limite R 2 >> R 1 neste caso?
5.4.1 Associa¸c˜ao de Capacitores:
Quando falamos em circuitos el´etricos, os capacitores s˜ao certamente disposi- tivos importantes nos mesmos. Al´em disso, ´e frequentemente ´util construir circuitos com capacitores ligados entre si. E por isso importante saber qual a capacitˆ´ ancia equivalente dessa associa¸c˜ao. Existem essencialmente duas maneiras de conectar capacitores: em s´erie ou em paralelo. No primeiro caso,
x
- + – +
C 1 C (^2)
y (^) z
- +
C
x (^) z
Figura 5.4: Associa¸c˜ao em s´erie de capacitores
uma das placas ´e conectada, por meio de fios condutores a placa (com carga opostaa do primeiro) de um outro capacitor. Isso forma uma liga¸c˜ao em s´erie. Podemos calcular a capacitˆancia equivalente a esses dois capacitores C − 1 e C − 2 ligados como mostra a figura. A diferen¸ca de potencial entre as placas do primeiro capacitor ´e
∆V 1 = Vy − Vx e para o segundo
- +
C
x (^) z
**- +
C (^1)
C 2
x (^) z
Figura 5.5: Associa¸c˜ao em paralelo de capacitores
C = ∆QV
xz
= C^1 ∆Vxz ∆^ +V^ C^2 ∆Vxz xz Ou seja
C = C 1 + C 2 E a capacitˆancia do capacitor equivalente ´e sempre maior do que as ca- pacitˆancias individuais.
- Calcule a capacitˆancia equivalente entre os pontos A e B do circuito mostrado na figura abaixo nas seguintes condi¸c˜oes
a) A chave S est´a aberta
C 1 C (^4)
C 2 C 3
A (^) B
C
D
S
Figura 5.6: Associa¸c˜ao de capacitores
Nos exerc´ıcios envolvendo v´arios capacitores a primeira coisa a fazer ´e identi- ficar quais est˜ao ligados em s´erie e quais est˜ao ligados em paralelo. No caso acima, com a chave S aberta, vemos imediatamente que C 1 e C 4 est˜ao em s´erie e C 2 e C 3 tamb´em est˜ao em s´erie. Os capacitores equivalentes a C 1 e C 4 e a C 2 e C 3 estar˜ao em paralelo. Ent˜ao, primeiro precisamos das capacitˆancias equivalentes dos capacitores em s´erie
1 C 1 , 4 =^
C 1 +^
C 4 e^
C 2 , 3 =^
C 2 +^
C 3
O que nos leva indiretamente a
C 1 , 4 = (^) CC^1 C^4 1 +^ C 4
e C 2 , 3 = (^) CC^2 C^3 2 +^ C 3 Agora esses novos dois capacitores C 1 , 4 e C 2 , 3 devem ser associados em paralelo. Portanto a capacitˆancia final resultante ´e dada por
C = C 1 , 4 + C 2 , 3 = C^1 C^4 C 1 + C 4
+ C^2 C^3
C 2 + C 3
Note que se todos os capacitores tiverem a mesma capacitˆancia C 1 = C 2 = C 3 = C 4 = C′, teremos
C = C
′ 2 2 C′^ +^
C′^2
2 C′^ =^ C
′
Fazer limites simples para testar a resposta a qual chegamos ´e sempre uma boa t´atica para achar erros de conta. Se houver algum erro de conta, em boa parte das vezes, ele pode ser detectado fazendo-se um limite conhecido.
b) A chave S est´a fechada.
O que muda quando fechamos a chave S? A diferen¸ca de potencial entre C e D ser´a a mesma, nessas condi¸c˜oes. Isto implica imediatamente que o conjunto (C 1 , C 2 ) estar´a em paralelo, assim como o conjunto (C 3 , C 4 ). Os respectivos capacitores equivalentes estar˜ao em s´erie uma vez que a diferen¸ca de potencial entre eles deve ser a soma das diferen¸cas de potencial dos capacitores equivalentes. Calculemos ent˜ao, primeiro a capacitˆancia equivalente entre C 1 e C 2 e entre C 3 e C 4
O segundo, formado pelo diel´etrico,
C 2 = ≤AD E o terceiro correspondente a um capacitor com ar entre as placas, cuja distˆancia ´e d 2
C 3 = ≤^0 A d 2 A capacitˆancia resultante ´e
1 C =^
C 1 +^
C 2 +^
C 3 =^
d 1 + d 2 ≤ 0 A +^
D
≤A
Podemos ainda introduzir a distˆancia L = d 1 + D + d 2 da seguinte forma
1 C =^
L − D
≤ 0 A +^
D
≤A =^
≤(L − D) + ≤ 0 D
≤≤ 0 A
E, portanto
C =
≤≤ 0 A
≤(L − D) + ≤ 0 D =^
≤A
K(L − D) + D
Onde usamos (^) ≤≤ 0 = K. Um aspecto interessante da express˜ao acima ´e que aprendemos que a ca- pacitˆancia resultante N AO DEPENDE da posi¸˜ c˜ao do diel´etrico entre as placas (d 1 e d 2 ), mas apenas da sua espessura. Ser´a que isto est´a certo? Podemos fazer um limite que conhecemos bem, que ´e fazer D −→ 0, ou seja, preencher o espa¸co interior completamente por ar. Neste caso, podemos fazer diretamente D −→ 0 na express˜ao acima. Teremos
C −→ (^) KL≤A = ≤^0 LA (D −→ 0) (Como deveria ser!)
Podemos tamb´em testar o caso em que o capacitor est´a completamente preenchido pelo diel´etrico, i.e, D −→ L. Esta express˜ao tamb´em conhecemos bem. Ent˜ao
C = ≤A K(L − D) + L
−→ ≤A
L
(D −→ L)
(Como esper´avamos!)
- Calcular a capacitˆancia equivalente do conjunto apresentado na figura 5.8.
ε 2 y
x^ ε^3
d (^) D
Figura 5.8: Capacitor com diel´etricos
A ´area correspondente ao diel´etrico ≤ 3 ´e A. A correspondente ao diel´etrico ≤ 1 ´e a. Discuta os seguintes limites
a) a −→ 0
b) a −→ A
c) ≤ 1 −→ ≤ 2
d) ≤ 1 −→ ≤ 3
e) ≤ 1 = ≤ 2 = ≤ 3 = ≤
Como ´e o arranjo dos capacitores como os quais estamos lidando? O capacitor C 3 (correspondente a ≤ 3 ) est´a em s´erie com o capacitor resultante da combina¸c˜ao em paralelo de C 3 e C 1 (correspondentes a ≤ 2 e ≤ 1 , respectivamente). Vamos, neste caso deixar a ´algebra para vocˆe e escrever a resposta
C = (^) d[≤≤^3 A[≤^1 a^ +^ ≤^2 (A^ −^ a)] 1 a^ +^ ≤ 2 (A^ −^ a)] +^ ≤ 3 AD
Se vocˆe calcular a capacitˆancia resultante desse conjunto, vai encontrar exata- mente a express˜ao acima.
d) ≤ 1 −→ ≤ 3. E bem parecido com o caso anterior. Deixamos para vocˆ´ e!
e) ≤ 1 = ≤ 2 = ≤ 3 = ≤. A express˜ao geral nos fornece
C −→ (^) d[≤a≤A +[≤a ≤(^ A+ −≤( Aa)] +^ −^ a ≤AD)] = ≤
2 A[A]
d≤[A] + ≤AD =^
≤A
d + A =^
≤A
d + D =^
≤A
L
Como devia mesmo ser! Tudo indica que a express˜ao geral est´a correta.
