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Capítulo 3
Edo’s de Primeira Ordem
3.1 Introdução
Neste capítulo estamos interessados em obter e analisar as soluções das edo’s de primeira ordem. Isto é, edo’s que podem ser escritas na forma:
F (y′, y, x) = 0 ou y′^ = f (x, y)
Estudaremos vários métodos elementares de resolução de vários tipos espe- ciais de edo’s de primeira ordem. Veremos a maioria dos métodos reduz o problema de obtenção de solução ao cálculo de primitivas. Sejam I ⊂ R e uma função H : I −→ R. Lembremos que uma primitiva de H em I é uma função G : I → R tal que G′(x) = H(x) para todo x ∈ I. Sendo G uma primitiva de F , sabemos que, para toda constante c, G(x) + c também é uma primitiva de H. A família das primitivas de H é denominada de integral indefinida de G e denotada por
∫ H(x) dx = G(x) + c.
Ou seja, (^) ∫ d G(x) dx
dx =
H(x) dx = G(x) + c. (3.1)
Isto é, Φ(x) = G(x) + c é solução geral da edo:
dΦ dx
= H.
3.2 Edo’s de Variáveis Separáveis
Exemplo 18. Considere a seguinte edo:
dP dt
α V
P, (3.2)
onde α e V são constantes. Reescrevendo a equação (3.2), obtemos:
d dt
ln |P (t)| =
P
dP dt
α V
Integrando com respeito a t e usando (3.1), vemos que a solução geral da edo (3.2) é dada por P (t) = c e−^
α V t
Vamos tentar generalizar o procedimento acima. O quê havia de especial nesta edo que nos permitiu determinarmos P?
Definição 9. Uma edo de primeira ordem é do tipo separável se é da forma:
dy dx
= f (x) g(y). (3.3)
Observação 5. Se a é tal que g(a) = 0 , a função y(x) = a é solução da edo (3.3).
3.2.1 Obtenção de Soluções não Constantes
Discutiremos a resolução da edo (3.3), supondo que f e g estão definidas em in- tervalos abertos I e J, respectivamente, e que f é contínua em I e g′^ é contínua em J.
Resolução:
- Reescrevemos a equação, “separando as variáveis”:
1 g(y)
dy dx
= f (x)
- Consideremos uma primitiva H(x) de
g(x)
e uma primitiva G(x) de f (x). Isto é: dH dx
(x) =
g(x)
e
dG dx
(x) = f (x)
- Integramos os dois lados com respeito à variável independente ∫ 1 g(y)
dy dx
dx =
f (x) dx
- Usamos a Observação 6 ∫ 1 g(y)
dy =
g(y)
dy dx
dx =
f (x) dx.
E a solução é: ∫ 1 g(y)
dy =
f (x) dx. (3.4)
Exemplo 20. Considere a seguinte edo:
dy dx
y x Resolução:
1 y
dy dx
x
y
dy = −
x
dx
ln |y| = − ln |x| + ln |c|,
então, y(x) =
c x
é a solução geral da edo.
Exemplo 21.
y′^ = −
(1 + x)y (1 − y)x
Resolução:
1 − y y
dy dx
1 + x x
1 − y y
dy = −
1 + x x
dx
ln |y| − y = − ln |x| − x + c;
então ln |x y| + x − y = c é a solução geral da edo.
3.3 Edo’s de Primeira Ordem Linear
Definição 10. Uma edo de primeira ordem é linear se pode ser escrita na forma:
dy dx
Se a função q(x) ≡ 0 , dizemos que é uma edo de primeira ordem linear homogênea , caso contrário, linear não-homogênea.
Definição 11. Um fator integrante para uma edo é uma função μ(x, y) tal que a multiplicação da equação por μ(x, y) fornece uma equação em que cada lado pode ser identificado como uma derivada com respeito a x_._
Com a ajuda de um fator integrante apropriado, há uma técnica padrão para resolver as chamadas edo’s de primeira ordem lineares.
Exemplo 22. dy dx
y 2
= 2 + x (3.5)
Vamos procurar um fator integrante que seja função somente de x.
μ(x)
dy dx
μ(x)y = (2 + x)μ(x).
Gostaríamos que o lado esquerdo fosse a derivada do produto μ(x) y. Ou seja, que ele fosse igual a:
d dx
(μ(x) y) = μ(x)
dy dx
dμ(x) dx
y
Comparando termo a termo, o fator integrante, caso exista, deve satisfazer:
dμ(x) dx
μ(x)
Resolvendo a equação de variáveis separáveis acima, temos:
∫ 1 μ
dμ =
dx
Logo; ln |μ| =
x 2
x 2
. Fazendo C = 1, temos μ(x) = e
x 2 , e
obtemos: d dx
e
x 2 y
= e
x 2 dy dx
e
x 2 y = (2 + x) e
x 2
é um fator integrante para a edo (3.6). Multiplicando a equação (3.6) por μ(x), obtemos
d dx
e
R p(x) dx (^) y
= e
R p(x) dx dy dx
d dx
e
R p(x) dx
y
= e
R (^) p(x) dx^ (^ dy dx
= q(x)e
R (^) p(x)dx
e integrando com respeito a x, temos
e
R (^) p(x)dx y =
q(x) e
R (^) p(x)dx dx + c
Logo,
y(x) = e−^
R (^) p(x)dx^ ( ∫ q(x) e
R (^) p(x)dx dx + c
é solução geral da edo (3.6).
Resumo:
Para determinar a solução geral de edo ’s lineares:
dy dx
- determinar um fator integrante da forma
μ(x) = e
R (^) p(x)dx
- a solução geral da edo linear (3.7) é dada por
y(x) =
μ(x)
μ(x) q(x) dx + c
Nas próximas seções, veremos alguns métodos de resolução de edo’s que en- volvem uma mudança na variável dependente.
3.4 Equação de Bernoulli
Exemplo 23. Consideremos a edo:
2 x y
dy dx
= 4 x^2 + 3 y^2 (3.8)
Façamos mudança de variável v = y^2. As derivadas de v e y satisfazem
dv dx
= 2 y
dy dx
reescrevendo a edo (dividindo por x y^2 ), temos
2 y
dy dx
y^2 x
= 4 x
fazendo a mudança de variável, obtemos:
dv dx
v x
= 4 x. (3.9)
Isto é, obtivemos uma edo linear. Resolvendo esta equação, obtemos que uma solução geral da edo (3.9) é dada por
v(x) = x^3
4 x−^3 x dx = − 4 x^2 + c x^3.
Voltando à variável original y. Como v = y^2 , temos
y^2 (x) = − 4 x^2 + c x^3
é solução geral da edo (3.8).
Definição 12. Uma edo de primeira ordem que pode ser escrita na forma
dy dx
é chamada uma edo de Bernoulli. Observemos que se n = 0 ou n = 1 , a equação de Bernoulli é uma edo linear.
3.4.1 Obtenção de Soluções
Para determinar a solução geral da equação de Bernoulli (3.10), vamos consi- derar a seguinte mudança de variável:
v = y^1 −n
Derivando com respeito a x, obtemos:
dv dx
= (1 − n) y−n^
dy dx
3.4.2 Outro método de resolução de EDOs do tipo Bernoulli
por Israel Nunes de Almeida Júnior
Dizemos que uma equação é do tipo Bernoulli, se ela pode ser escrita na forma dy dx
onde P e Q são constantes ou funções de x. Já vimos que a EDO pode ser transformada em uma EDO linear através da mudança de variável v = y^1 −n. Vale salientar que para n = 0 ou n = 1, a equação é na verdade linear, e a substituição não é necessária. Usando a mudança de variável mencionada, a equação (3.11) fica
v dx
onde P 1 = (1−n)P e Q 1 = (1−n)Q. Observe que a equação (3.12) é linear em v.
Antes de prosseguirmos, vamos apresentar o chamado método de Lagrange para EDOs lineares.
Método de Lagrange – EDOs lineares
O método de Lagrange é usado para resolver EDOs lineares. Isto é, EDOs que podem ser escritas na forma
dy dx
onde P e Q são constantes ou funções de x. No método de Lagrange, procuramos uma solução de (3.13) na forma de um produto. Isto é, y(x) = u(x)v(x). Observe que, neste caso, a derivada de y é dada por dy dx
= u
dv dx
du dx
Substituindo a expressão acima em (3.13), obtemos
u
dv dx
du dx
= Q (3.14)
As funções u e v são determinadas em duas etapas.
- Primeiro, determinamos uma função v tal que
dv dx
- Depois, determinamos as funções u tais que
v
du dx
= Q, (3.16)
onde v é a função determinada no item anterior.
Determinação de v : Para resolver (3.15), multiplique os dois membros da equação por dx: dv + P dx = 0.
Separe as variáveis: dv v
= −P dx.
Integre: ∫ 1 v
dv = −
P dx
ln |v| = −
P dx + C.
Logo, |v| = eC^ e−^
R (^) P dx
Isto, é a função v deve ser da forma
v = Ke−^
R P dx, K ∈ R.
Determinação de u : Vamos, agora, determinar as funções u que resolvem (3.16) para v dado por v = e−^
R P dx (^) (observe que isto corresponde à escolha K = 1 na
equação acima). Substituindo v em (3.16):
e−^
R P dx du dx
= Q
du dx
= e
R (^) P dx Q
Integrando:
u =
e
R P dxQdx
Assim:
u(x) = −
3 x^4 + K
Como y(x) = u(x)v(x), tem-se
y(x) = −
4 x^2 3 x^4 + K
( Solução Geral )
Para averiguar a consistência deste método, propomos também a solução da mesma EDO pelo método apresentado anteriormente, ou seja, EDOs do tipo Bernoulli. Tomemos novamente a EDO:
dy dx
y x
= 3xy^2.
Dividindo por y^2 :
y−^2
dy dx
x
y−^1 = 3x.
Substituindo w = y−^1 e derivando com respeito a x
dw dx
= −y−^2
dy dx Na nova variável, a equação se reescreve:
dw dx
x
w = − 3 x.
Observe que trata-se de uma EDO linear em w. Vamos resolver esta EDO linear pelo método de Lagrange. Fazendo w(x) = u(x)v(x), obtemos
dw dx
= u
dv dx
du dx
Substituindo
u
dv dx
v x
du dx
= − 3 x.
Calculando v:
dv dx
v x
dv v
dx x
Integrando:
ln |v| = −2 ln |x| + C.
Podemos tomar uma solução particular v(x) =
x^2
Calculando u:
1 x^2
du dx
= − 3 x
Integrando:
du = − 3 x^3 dx
u(x) = −
3 x^4 4
+ C.
Como, w(x) = u(x)v(x), tem-se
w(x) =
x^2
3 x^4 4
+ C
w(x) = −
3 x^2 4
C
x^2
Reduzindo ao mesmo denominador
w(x) =
4 C − 3 x^2 4 x^2
Como w = y−^1 , pode-se escrever, já que 4 C = −K:
y(x) = −
4 x^2 3 x^4 + K
Este foi o mesmo resultado obtido quando utilizamos o Método de Lagrange. Observamos ainda que, procedendo desta forma, precisamos efetuar mais mu- danças de variáveis do que no método de Lagrange.
Integrando:
∫ 1 un^
du =
Q(x)vn−^1 dx
u^1 −n 1 − n
Q(x)vn−^1 dx + C
u^1 −n^ = (1 − n)
Q(x)vn−^1 dx + C
u =
[
(1 − n)
Q(x)vn−^1 dx + C
)] (^1) −^1 n .
Lembrando que v(x) = e−^
R (^) P (x)dx e substituindo em u:
u =
[
(1 − n)
Q(x)
e−^
R (^) P (x)dx^ )n− 1 dx + C
)] (^1) − (^1) n .
Como, y(x) = u(x)v(x), temos
y(x) = e−^
R P (x)dx
[
(1 − n)
Q(x)
e−^
R P (x)dx
)n− 1 dx + C
)] (^1) −^1 n ,
que é a solução geral da EDO de Bernoulli (3.18) obtida através do Método de Lagrange. Observe que se resolvemos a EDO de Bernoulli (3.18) pela substituição w = y^1 −n, podemos reescrever a EDO (3.18) na nova variável:
dw dx
onde P 1 (x) = (1 − n)P (x) e Q 1 (x) = (1 − n)Q(x). Pelo método de Lagrange, fazendo w(x) = u(x)v(x), obtemos:
u
dv dx
du dx
= Q 1 (x).
Calculando v: dv dx
= −P 1 (x)dx
Integrando:
∫ 1 v
dv = −
P 1 (x)dx
ln |v| = −
P 1 (x)dx
Isto é, v(x) = e−^
R P 1 (x)dx. Calculando u:
v
du dx
= Q 1 (x)
du = Q 1 (x)v−^1 dx
Integrando:
u =
Q 1 (x)v−^1 dx + C
Lembrando que v(x) = e−^
R (^) P 1 (x)dx^ e substituindo em u:
u =
Q 1 (x)e
R (^) P 1 (x)dxdx + C
Como, w(x) = u(x)v(x), temos
w(x) = (1 − n)e(n−1)^
R P (x)dx
Q(x)e(1−n)^
R P (x)dxdx + C
Por outro lado, w = y^1 −n. Logo
y(x) = e−^
R (^) P (x)dx^ [ (1 − n)
Q(x)
e−^
R (^) P (x)dx^ )n− 1 dx + C
)] (^1) −^1 n ,
que é a mesma solução geral da EDO de Bernoulli (3.18) obtida através do Método de Lagrange.
Exemplos
dy dx
− 2 xy = xy^3
dy dx
x
y + x
y.
Solução: y(x) = u(x)v(x) e
dy dx
= u
dv dx
du dx
u
dv dx
du dx
x
uv = x
u
v
u
dv dx
x
v
du dx
= x
u
v
Calculando v: dv dx
x
v = 0 dv v
x
dx
v(x) = x^4
Calculando u:
x^4
du dx
= x
u
x^4
du √ u
dx x Integrando: √ u = ln
x + K u = (ln
x + K)^2 Como, y(x) = u(x)v(x), temos y(x) = x^4 (ln
x + K)^2 (Solução Geral)
Discussão sobre o “novo” método
O método analisado propõe a resolução da equação de Bernoulli pelo método de Lagrange. Esse método se mostrou viável e simplificado na prática, visto que realizamos apenas uma mudança de variável (y(x) = u(x)v(x)), diferente- mente do método de resolução mais comum, onde substituímos y^1 −n^ = w, e posteriormente encontramos a função w como solução de uma EDO linear e, finalmente, determinamos a solução da EDO do tipo Bernoulli original. Nos exemplos apresentados, não ficou evidenciada uma tendência para resolução de integrais de forma mais complicada do que normalmente apareceriam se as EDOs fossem resolvidas pelo método mais usual. Desta forma, a resolução por este método se mostrou confiável e mais facilmente compreendida pelos alu- nos. Além disso, ele permite uma resolução das EDOs de maneira mais rápida e prática.
Bibliografia
[1] ABUNAHMAN, S., Equações Diferencias, ERCA Editora e Gráfica Ltda, Rio de Janeiro, 1989.
[2] AGNEW, R. P., Diferential Equations, Editora McGraw-Hill, New York,
[3] AYRES, F., Equações Diferencias, Editora McGraw-Hill, São Paulo, 1959.
[4] DIAS, A. T., Curso de Cálculo Infinitesimal, Fundação Gorceix, Ouro Preto,
[5] MACHADO, Kleber Daum. Equações Diferenciais aplicadas à Física. Pa- raná. Editora UEPG, 2000
[6] PISKOUNOV, N., Cálculo Diferencial e Integral: Volume II, Editora Lopes da Silva, Portugal, 1987.
[7] ZILL, D. G. & CULLEN, M. R., Equações Diferenciais: Volume 1, Editora Makron Books, São Paulo, 2005.
3.5 Equação de Riccati
Definição 13. Equações de Riccati são edo’s de primeira ordem que podem ser escritas na forma: dy dx
= q(x) y^2 + p(x) y + r(x) (3.19)
Observe que quando q(x) = 0 , temos uma equação linear e quando r(x) = 0 , temos uma equação de Bernoulli com n = 2_._
Observação 7. Liouville, matemático francês, mostrou que uma solução geral da equação de Riccati (nos caso em que ela não é linear nem do tipo Bernoulli) só pode ser explicitamente obtida se já conhecermos uma solução.
