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CAPÍTULO 1 Sistemas de Numeração 1,1 Introdução O homem, através dos tempos, sentiu a necessidade da utilização de sistemas numéricos. Existem vários sistemas numéricos, dentre os quais se destacam: o sistema decimal, o binário, o octal e o hexadecimal. O sistema decimal é utilizado por nós no dia-a-dia e é, sem dúvida, o mais importante dos sistemas numéricos. Trata-se de um sistema que possui dez algarismos, com os quais podemos formar qualquer número através da lei de formação. Os outros sistemas, em especial 'o binário e o hexadecimal, são muito importantes nas áreas de técnicas digitais e informática. No decorrer do estudo, perceber-se-á a ligação existente entre circuitos lógicos e estes sistemas de numeração. 1.2 O Sistema Binário de Numeração No sistema binário de numeração, existem apenas 2 algarismos: => o algarismo 0 (zero) e => o algarismo 1 (um). Sistemas de Numeração 1 Para representarmos a quantidade zero, utilizamos o algarismo 0, para representarmos a quantidade um utilizamos o algarismo 1. E para representarmos a quantidade dois, se nós não possuímos o algarismo 2 nesse sistema? É simples. No sistema decimal, nós não possuímos o algarismo dez e representamos a quantidade de uma dezena utilizando o algarismo 1 seguido do algarismo 0. Neste caso, o algarismo 1 significa que temos um grupo de uma dezena e o algarismo 0 nenhuma unidade, o que significa dez. No sistema binário, agimos da mesma forma. Para representarmos a quantidade dois, utilizamos o algarismo 1 seguindo do “algarismo 0. O algarismo 1 significará que temos um grupo de dois elementos e o O um grupo de nenhuma unidade, representando assim o número dois. Utilizando a mesmia regra, podemos representar outras quantidades, formando assim o sistema numérico. A tabela 1.1 mostra a segiiência de numeração do sistema binário até a quantidade nove. 100 101 110 11 1000 1001 ololalala/elwlo|jm|o Tabela 1.1 Na prática, cada dígito binário recebe a denominação de bit (binary digit), o conjunto de 4 bits é denominado nibble e o de 8 bits de byte, termo bastante utilizado principalmente na área de informática. 2 Elementos de Eletrônica Digital 1x2+0x2+1x2º PR 1x4 +0x2+1x1=5 O número 101 na base 2 é igual ao número 5 na base 10. Daqui por diante, para melhor identificação do número, colocaremos como índice a base do sistema ao qual o número pertence. Assim sendo, para o exemplo podemos escrever: 5,9 = 101,. Vamos agora, fazer a conversão do número 1001, para o sistema decimal. Utilizando o mesmo processo, temos: 2 2 at 2º 1 0 0 1 No ——— 1x2+0x2240x2!+1x2º= 1x8+1x1=9 -. 1001,=9, 1.2.1.1 Exercícios Resolvidos 1- Converta o número 01110, em decimal. 4 Primeiramente, devemos lembrar que o zero à esquerda de um número é um algarismo não significativo, logo 01110, = 1110, - Esquematizando, temos: a pr 2 o 1 1 1 0 1x2 +1x2+1x2/+0x2= 8+4+2+0=144 1110, = 14 Elementos de Eletrônica Digital 2- Converta o número 1010, para o sistema decimal. % Ps 2! Ea 1 (o) 1 0 1x2 +1x2!=10, «. 1010,= 106 3- Idem para o número 1100110001,. IxP+1x284+1x241x2!+1x2º= 1x512+1x256+1x324+1x16+1x1=8179 - 1100110001, = 817, 1.2.2 Conversão do Sistema Decimal para o Sistema Binário Como vimos, a necessidade da conversão sistema binário para decimal é evidente, pois, se tivemos um número grande no sistema binário, fica difícil perceber a quantidade que este representa. Transformando-se este número para decimal, o problema desaparece. Veremos agora a transformação inversa, ou seja, a conversão de um número do sistema decimal para o sistema binário. Para demonstrar o processo, vamos utilizar um número decimal qualquer, por exemplo o número 47. Dividido o número 47 por 2, temos: alo 07 23 Ieresto e 1 ouseja:2x23+1=47 ou ainda: 23x 2'+1x2º=47 expressão A Sistemas de Numeração 5 substituindo a expressão H em G, temos: (xH0)x2+1x24+1x24+1x2)4+1x20=47 1x2+0x241x2+1x241x2/4+1x2º=47 Esquematizando a última expressão, temos: 2 A A DR O Pr lola fi latdo O processo mostra claramente a conversão e pode ser aplicado de uma forma mais simplificada, sendo denominado de método das divisões sucessivas, que consiste em efetuar*se sucessivas divisões pela base a ser convertida (no caso o 2) até o último quociente possível. O número transformado será composto por este último quociente (algarismo mais significativo) e, todos os restos, na ordem inversa às divisões. Dessa forma, temos: 1OLIL,=479 472 1º resto +——+) 2312 2º resto —8 112 3º resto em) 2 4º resto 212 5º resto último quociente O último quociente será algarismo mais significativo e ficará colocado à esquerda. Os outros algarismos seguem-se na ordem até o 1º resto: 1 (o) 1 1 1 1 t foto to tt último id 4º 3º x” 1º quociente resto resto resto resto resto « 101111,=47 Na prática, o bit menos significativo de um número binário recebe a notação de LSB (em inglês: Least Significant Bit) e o bit mais significativo de MSB (Most Significant Bit). Como outro exemplo, vamos transformar o número 400, em binário. Pelo método prático, temos: Sistemas de Numeração 7 Assim sendo, podemos escrever: 110010000, = 400, De posse do resultado, pode-se efetuar a conversão inversa, ou seja, do sistema binário para o decimal para conferir se a operação foi efetuada corretamente. 1.2.2.1 Exercícios Resolvidos 1- Converta o número 21,9 em binário. Vamos utilizar o método das divisões sucessivas: 2 LsB“D 1012 ' > “2 = 10101, MSB Verificação: 1x 2!+1x2+1x2º=21 2- Converta o número 552, em binário. Método das divisões sucessivas: +. 1000101000, = 552, Verificação: 2º + 2º +2=512+32+8=552 8 — Elementos de Eletrônica Digital 4+1+0,5+0,125=5,625, «. 101,101, = 5,625,9 Vamos utilizar agora, um outro número binário qualquer, por exemplo, o número 1010, 1101, Vamos verificar o seu valor em decimal: Pil2flrz/2/zr|xã/iw|z 1 [olilo Ti filotla 1x2 +1x2+1x2]4+1x224+1x2º= tx8+1x241xbstx letal 2 16 8+2+0,5 + 0,25 + 0,0625 = 10,8125, =. 1010,1101, = 10,8125,, 1.2.3.1 Exercícios Resolvidos 1- Converta o número binário 111,001, em decimal. 2lzr|/2/2/27/2% 1 [Ji |i fololas 1x2+1x2'+1x2040x2]+0x2+1x2º= 4+2+1+0,125=7,1254 -. 111,001, = 7,125 2- Converta o número 100,11001, em decimal. o A RS RA 20 RA RR 1 |ololaliltolola 1x241x2!41x22+1x2)= 4+0,5 + 0,25 + 0,03125 = 4,78125, «. 100,11001, = 4,78125, 10 Elementos de Eletrônica Digital 10 1.2.4 Conversão de Números Decimais Fracionários em Binários Podemos também converter números decimais fracionários em binários, para isso, vamos utilizar uma regra prática, Como exemplo, vamos transformar o número 8,375 em binário. Este númeró significa: 8 + 0,375 = 8,375. Vamos transformar primeiramente a parte inteira do número, como já explicado anteriormente: O 22 -. 8,,= 1000, O passo seguinte é transformar a parte fracionária. Para tal, utilizaremos a regra que consiste na multiplicação sucessiva das partes fracionárias resultantes pela base, até atingir zero. O número fracionário convertido será composto pelos algarismos inteiros resultantes tomados na ordem das multiplicações. Temos, então: - 0,375 —» parte fracionária x2 —> base do sistema primeiro algarismo +<— [0],750 x2 ,500 Lo, segundo algarismo Quando atingirmos o número 1, e a parte do número após a vírgula não for nula, separamos esta última e reiniciamos o processo: 0,500 x2 ,000—+ o processo pára aqui, pois a parte do número depois da vírgula é nula. terceiro algarismo «— Assim sendo, podemos escrever: 0,011, = 0,375 Para completarmos a conversão, efetuamos a composição da parte inteira com a fracionária: 1000,011, -. 8,375, = 1000,011, Sistemas de Numeração q 11 1.2.4.1 Exercícios Resolvidos 1- Converta número 3,380 em binário. Conversão da parte inteira: 3o=11, Conversão da parte fracionária: 1º Pe 3 e Le se e Te 8º — Pe 0,38 x2 [0,76 x2 Sistemas de Numeração 13 13 No caso, temos: 0,011000010, = 1x 22 + 1x2? + 1x 2º = 0,37890625, Se aproximarmos o número decimal em duas casas, teremos 0,38, logo, para uma precisão de duas casas decimais é suficiente que tenhamos seguido o método até aí. Podemos escrever, então: 0,38,9 = 0,01100001, -. 3,38, = 11,01100001, Notamos que quanto mais casas considerarmos após a vírgula, teremos uma maior precisão, ou seja, devemos aplicar o método até atingir a precisão desejada. Converta o número 57,3,, em binário. Conversão da parte inteira: =. 57 = 111001, E Co o No Ss tos x2 trecho repetitivo =] [to xo ad] “B E Eid Temos, então: 0,3, = (0,0100110011001...), “. 57,34 = (111001,0100110011001...), 1.3 O Sistema Octal de Numeração O sistema octal de numeração é um sistema de base 8 no qual existem 8 algarismos assim enumerados: 14 0,1,2,3,4,5,6e7 Elementos de Eletrônica Digital 14 1.3.1 Conversão do Sistema Octal para Sistema Decimal Para convertermos um número octal em decimal, utilizamos o conceito básico de formação de um número, conforme já visto. Vamos, por exemplo, converter o número 144, em decimal: 8 8 8” 1 4 4 1x8 +4x8/+4x8º= 1x64+4x8+4x1=644+32+4=100, “. 144, = 100,5 1.3.1.1 Exercícios Resolvidos 1- Converta o número 77, em decimal. 8 8 7 7 7x8/+7x8"=7x8+7x1=5647=63, “+ T= 6 2- Converta o número 100, em decimal. 8 8! 8º 1 0 (o) 1x8=1x64= 64, + 100, = 64, 3- Converta 0 número 476, em decimal. 8? 8! 8º 4 7 6 4x82+7x8/+6x8/=4x6447x846x1= 256 +56 +6=318, «. 476, = 318, 16 Elementos de Eletrônica Digital 16 1.3.2 Conversão do Sistema Decimal para o Sistema Octal O processo é análogo à conversão do sistema decimal para o binário, somente que neste caso, utilizaremos a divisão por 8, pois sendo o sistema octal, sua base é igual a 8. Para exemplificar, vamos converter o número 92, para o sistema octal: 1º resto ——) à js 2º resto 3) último quociente + 92 = 134, 1.3.2.1 Exercícios Resolvidos 1- Converta o número 74,, em octal. 7a Edo 2. T4p= 112, 2- Converta o número 512,, em octal. 12 Fo) ã E =. 512,9 = 1000, O - Converta o número 719,, em octal. O fas E 5919,= 1817, 1.3.3 Conversão de Sistema Octal para o Sistema Binário Trata-se de uma conversão extremamente simples, podendo-se utilizar a regra prática descrita a seguir. Vamos usar um número octal qualquer, por exemplo, o número 27,. A regra consiste em transformar cada algarismo diretamente no correspondente em binário, respeitando-se o número padrão de bits do sistema, sendo para o octal igual a três (2? = 8 => base do sistema octal). Assim sendo, temos: Sistemas de Numeração 17 17 No caso do último grupo se formar incompleto, adicionamos zeros à esquerda, até completá-lo com 3 bits. Para exemplificar, vamos converter o número 1010, em octal: 1010 Acrescentamos zeros à esquerda, até completar o grupo de 3 bits. A partir daí, utilizamos o processo já visto: 901 010 =. 1010, = 12, 1 2 1.3.4.1 Exercícios Resolvidos Converta os números binários em octais: a) 10111, Vamos separar o número em grupos de 3 bits a partir da direita e efetuar a conversão: 010 111 “. 10111, =27, Ss us 2 7 b) 11010101, ea ao a -. 11010101, = 325, c) 1000110011, 001 900 110 011. 1000110011, = 1063, TSE 1 (o) 6 1.4 O Sistema Hexadecimal de Numeração O sistema hexadecimal possui 16 algarismos, sendo sua base igual a 16. Os algarismos são assim enumerados: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D, E, ce F Notamos que a letra A representa o algarismo A, que por sua vez representa a quantidade dez. A letra B representa o algarismo B que representa a quantidade onze, e assim sucede até a letra F que representa a quantidade quinze. Sistemas de Numeração 19 19 Para representarmos a quantidade dezesseis, utilizamos o conceito básico da formação de um número, ou seja, colocamos o algarismo 1 seguido do algarismo 0, representando um grupo de dezesseis adicionado a nenhuma unidade. Após esta introdução, podemos formar a segiiência de numeração hexadecimal. A tabela 1.3 mostra a segiiência de numeração do sistema hexadecimal até a quantidade vinte. 0 (o) 1 1 2; 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 A 8 8 9 9 10 A ol B 12 c 13 D 14 E 15 F 16 10 17 "q 18 12 19 13 20 14 Tabela 1.3 20 Elementos de Eletrônica Digital 20 
