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Apostila de resposta em frequência de filtros passivos. Autoria: Prof Fernando Luiz Rosa. Centro Federal de Educação Tecnológica de Santa Catarina
Tipologia: Exercícios
Oferta por tempo limitado
Compartilhado em 03/07/2010
4.5
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Gerência Educacional de Eletrônica
O objetivo deste material é fazer a apresentação teórica e matemática do comportamento dos circuitos passivos filtrantes, disponibilizando ao professor tempo para uma abordagem mais prática desses circuitos, em laboratório e através de simulação eletrônica.
Este material não tem a pretensão de esgotar, tampouco inovar o tratamento do assunto por ele abordado mas, simplesmente, facilitar a dinâmica de aula e a compreensão por parte dos alunos.
Este trabalho foi construído com base nas referências bibliográficas, devidamente citadas ao longo do texto, nas notas de aula e na experiência do autor na abordagem do assunto com os alunos.
Em se tratando de um material didático elaborado em uma Instituição Pública de Ensino, é permitida a reprodução do texto, desde que devidamente citada a fonte.
Quaisquer contribuições e críticas construtivas a este trabalho serão bem-vindas pelo autor.
mussoi@cefetsc.edu.br
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Até aqui estudamos a resposta de tensão e corrente de um circuito de corrente alternada com freqüência fixa, ou seja, no domínio do tempo e da freqüência. O objetivo desta unidade é estudar a resposta em freqüência, ou seja, o comportamento dos circuitos quanto à variação da freqüência dos sinais de tensão ou corrente aplicada (excitação).
Sabemos, do estudo dos componentes passivos, que o resistor o capacitor e o indutor apresentam comportamentos típicos quanto à freqüência do sinal a eles aplicado, conforme demonstra a figura 1.
ω (rad/s) f (Hz)
R (Ω) X (^) C (Ω) X (^) L (Ω)
X (^) L
R
X (^) C ωωωω R
|X (^) L | = |X (^) C |
Figura 1.1 – Comportamento da Resistência, da Reatância Indutiva e da Reatância Capacitiva com a variação da freqüência
1.1. Resistor quanto à freqüência:
Sua resistência independe da freqüência do sinal aplicado. Depende apenas da relação entre a tensão e a corrente, conforme a Lei de Ohm:
Portanto, graficamente seu comportamento é expresso através de uma reta de resistência
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Observação:
Devemos lembrar que a Resistência, a Indutância e a Capacitância depende das características construtivas do componente.
Exemplo 1.1: Para o circuito RLC série da figura 1.2, analise sua resposta em freqüência preenchendo o quadro abaixo.
Dados: v(t) = 10.sen( ω .t) V ; R = 100 Ω ; L = 10mH; C = 1 μ F
Figura 1.2 – Circuito RLC Série
ω (rad/s)
f (Hz)
(Ω) ret.
(Ω) polar
φ F.P. cos φ
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Como percebemos, da análise da resposta em freqüência do exemplo 1.1, existe uma determinada freqüência em que as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam, pois são iguais em módulo e o circuito apresenta um teor resistivo puro (Fator de potência unitário). Neste caso, o ramo LC se comporta como um curto-circuito e toda a tensão da fonte estará sobre o resistor, provocando máxima dissipação de potência. Essa condição é chamada de Ressonância.
A freqüência que provoca esta situação no circuito da figura 2 (ω = 10.000 rad/s) é chamada de Freqüência de Ressonância (^) e dizemos que o circuito é ressonante.
Assim um circuito RLC ressonante série é aquele que apresenta a menor oposição possível à passagem de corrente elétrica numa determinada freqüência, a chamada Freqüência de Ressonância [1].
Para quaisquer valores de freqüência inferiores ou superiores a esta, o circuito série apresentará maior oposição à corrente. Assim, em qualquer circuito RLC, ressonância é a condição existente quando a impedância equivalente é puramente resistiva, ou seja, a tensão e a corrente nos terminais de entrada (fonte) estão em fase e o fator de potência é unitário (cosφ=1) [2].
No circuito RLC ressonante paralelo ocorre o contrário do descrito acima, ou seja, a maior oposição possível a passagem da corrente.
2.1. Freqüência de ressonância:
A Freqüência de Ressonância é a freqüência na qual um circuito RLC se comporta como um circuito resistivo, ou seja, na qual o fator de potência é unitário e, portanto, há a máxima transferência de potência da fonte para a carga.
A Ressonância pode ocorrer em circuitos RLC séries, paralelos ou mistos.
Seja o circuito RLC série como o apresentado na figura 1.2. A sua impedância equivalente é determinada por:
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|Z| (Ω)
ω (rad/s)
TEOR CAPACITIVO
|Z| = R 100 Ω
TEOR INDUTIVO
TEOR RESISTIVO
ωωωω R = 10Krad/s a) Curva Impedância x Freqüência
ω (rad/s)
P (^) R (W)
ωωωω R = 10Krad/s b) Curva Potência x Freqüência Figura 2.1 – Resposta em Freqüência do circuito do Exemplo 1.
Portanto, dos gráficos da figura 1.1 e 2.1 podemos concluir que na ressonância série :
Seja um circuito RLC paralelo, como o apresentado na figura 2.2. A sua impedância equivalente é dada por:
L C
L C
L C
L C eq L C
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Figura 2.2 – Circuito Ressonante Série
O circuito somente será ressonante quando Zeq = R, ou seja, quando a reatância equivalente do paralelo do capacitor com o indutor for infinita (circuito aberto).
Exemplo 2.1: Encontre a expressão para o cálculo da freqüência de ressonancia do circuito paralelo da figura 2.2.
Concluímos, então, que a freqüência de ressonância num circuito RLC paralelo pode ser dada por:
ω (^) R =^1 (rad/s) ou
Exemplo 2.2: Para o circuito RLC paralelo da figura 2.2, analise sua resposta em freqüência
preenchendo o quadro e esboce os gráficos da Z (^) eq x ω e da PR x ω. Analise o comportamento do circuito com relação à variação da freqüência.
Dados: v(t) = 10.sen( ω .t) V ; R = 100 Ω ; L = 10mH; C = 1 μ F
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Além dos circuitos RLC série e paralelo, outros circuitos também podem apresentar freqüência de ressonância.
Para determinarmos a equação para cálculo da freqüência de ressonância em circuitos mistos, é necessário lembrarmos das condições para haver a ressonância e, então, procurarmos anular a parte imaginária (reatâncias) da equação.
A freqüência de ressonância para o circuito RLC misto da figura 2.3 pode ser calculada por [2]:
Figura 2.4 – Circuito Misto Ressonante
2
2
ω
2.2. Exercícios:
2.2.1) Determine a freqüência de ressonância em rad/s e em Hz para os seguintes casos:
a) L= 300 μH e C= 0,005 μF
b) L= 250 μH e C= 400 pF
2.2.2) Qual o valor do indutor necessário para obter a ressonância 1500 kHz com uma capacitância de 250 pF?
2.2.3) Qual o capacitor que deverá ser colocado em série com um indutor de 500 mH para haver ressonância em 50 Hz?
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2.2.4) Um circuito série é formado por R-125Ω, L=800 mH e C=220pF. Qual o valor da impedância (e o teor) a ser colocado (e como) no circuito a fim de torná-lo ressonante a 10 kHz [2]?
2.2.5) Um circuito série é formado por R=30Ω, L=0,382H e C=0,2μF, determine:
a) Zeq em 550kHz
b) O capacitor C ser ligado em paralelo para provocar ressonância numa freqüência
2.2.6) Seja circuito de ressonância de um rádio AM tem uma bobina de 100μH. Quais os limites de um capacitor variável para que o rádio sintonize de 530kHz a 1600 kHz?
2.2.7) Um capacitor de sintonia pode variar de 20pF a 350pF [2].
a) Calcule a indutância a ser ligada em série para produzir a freqüência de ressonância mais baixa de 550 kHz.
b) Calcule a freqüência de ressonância mais alta.
2.2.8) Determine a freqüência de ressonância para os circuitos abaixo:
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BLOCO 1 Circuito 1
Entrada Ve
Saída Vs
Ve(t) = VP.sen(ω.t)
Figura 3.1 – Representação por Bloco
Se, por exemplo, o bloco representar o circuito da figura 3.2, podemos relacionar matematicamente o sinal de saída Vs em função do sinal de entrada Ve por um divisor de tensão:
Figura 3.2 – Circuito que desempenha a função do bloco da figura 1
s (^) R jXL L V e
Se relacionarmos a tensão de saída com a tensão de entrada, temos:
L
L e
s R jX
R j L
j L V
e
s
Como podemos perceber, a relação Vs/Ve depende da freqüência do sinal (ω).
A expressão que relaciona o sinal de saída com o sinal de entrada em um bloco, em função da freqüência angular ωωωω é chamada de Função de Transferência H( ωωωω ).
Assim, a função de transferência H(ω) para o bloco da figura 3.2 é dada por:
R j L H( ) j L V
e
s
Com esta representação matemática e de posse dos valores do resistor e do indutor, podemos calcular o módulo e a fase (ângulo) de tensão de saída para cada valor de freqüência ω dado.
Uma função de transferência H(ω) pode relacionar:
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s
ω
ω ω e
s
s
ω ω ω e
s
Com a Função de Transferência de um circuito conhecida, poderemos, por exemplo, avaliar o sinal de saída em função do sinal de entrada, tanto para o seu módulo, ângulo e freqüência, assim:
Exemplo 3.2:
Para o circuito da figura 3.2, determine o módulo e o ângulo do sinal de saída para quando o sinal de entrada tiver as freqüências ω=10 rad/s, ω=1000 rad/s e ω=100Krad/s sendo R=50Ω e L=10mH. Ve(t)=20.sen(ωt).
3.3. Gráficos da Função de Transferência
Como podemos perceber, a Função de Transferência H( ωωωω ) é um número complexo e pode ser representado na forma polar (módulo e fase) e nos permite fazer a análise de resposta em freqüência de um circuito, ou seja, analisar o comportamento dos sinais em função da variação da freqüência.
Portanto, podemos representar graficamente a função de transferência através de gráficos do módulo e da fase em função da freqüência.
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s V GV =H(ω)= V
s I GI =H(ω)= I
s P GP =H(ω)= P
Se o valor do ganho for maior que 1 , o circuito é um amplificador , ou seja, o sinal de saída é maior (^) que o sinal de entrada.
Se o ganho for menor que 1 o circuito é um atenuador , ou seja, o sinal de saída é menor que o sinal de entrada.
Observação: como o Ganho é uma relação entre duas grandezas de mesma natureza (mesma unidade) é adimensional.
A fase de uma função de transferência α(ω) é o seu correspondente ângulo, ou seja, é o ângulo do número complexo na forma polar. Representa o adiantamento do sinal de saída em relação ao sinal de entrada.
3.5. Decibel (dB)
No tópico anterior estudamos que o Ganho de uma função de transferência relaciona duas grandezas de mesma natureza e é, portanto, adimensional.
O Decibel é uma forma de medir a relação entre duas grandezas físicas de mesma natureza, sendo adotado para expressar o ganho nas curvas de resposta em freqüência de circuitos eletrônicos. O nome Decibel deriva do sobrenome de Alexander Grahan Bell.
O conceito de Decibel (dB) está ligado aos nossos sentidos, em especial à audição [1]. O ouvido humano não responde de forma linear aos estímulos que lhe são impostos (potência sonora), mas de forma logarítmica. Por exemplo, se a potência sonora sofrer uma variação de 1W para 2W, a sensação sonora não dobrará. Para que a sensação sonora dobre, a potência associada a
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ele deverá ser multiplicada por dez, ou seja, variação de forma logarítmica (1, 10, 100, 1000, ...).
Os logaritmos são usados para comprimir escalas quando a faixa de variação de valor é muito ampla e, também para transformar as operações de multiplicação e divisão em operações de soma e subtração, respectivamente.
Na análise de circuitos eletrônicos é comum usarmos a escala logarítmica para expressar os valores de Ganho, em Decibel.
O Decibel (dB) equivale a um décimo de um Bel (B). O Bel relaciona dois níveis de potência P (^) e e Ps da seguinte forma [5]:
e
s P GP = logP (B)
Desta forma, se Ps=10.Pe o ganho de potência vale 10 pois a saída é dez vezes maior que a entrada:
GP log^10 PP log 10 1 e
= ⋅ e^ = =
Então o ganho de potência é 1B, isto é, Ps está 1 bel acima de Pe (temos uma amplificação de 1 Bel).
Para as grandezas que estudaremos, a unidade Bel é muito grande, por isso, usamos o Decibel através da seguinte equação:
e dB s P GP| 10 log P
Desta forma, se Ps=1000.Pe, o ganho de potência vale 1000 pois a saída é mil vezes maior que a entrada,, então:
GP |dB = 10 ⋅log 1000 = 10 ⋅ 3 = 30
E o ganho de potência é de 30 dB, isto é, uma amplificação de 30 dB.
Por outro lado, se Ps =0,001Pe o ganho de potência vale 0,001, pois a saída será mil vezes menor que a entrada, então:
GP |dB = 10 ⋅log 0 , 001 = 10 ⋅ (− 3 ) =− 30
O ganho de potência é de -30dB, ou seja, uma atenuação de 30 dB.
