Equação de Schröndinger Independente do Tempo, Notas de estudo de Mecânica Quântica

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO SUL E SUDESTE DO PARÁ MECÂNICA QUÂNTICA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO TEMPO

Por

Marabá - PA

JOSÉ GIDAUTO JUNIOR

SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL

CONCEITOS INICIAIS

• VETOR DE ONDA

𝑘 =

Momento Linear

Logo,

• ENERGIA DE UMA PARTÍCULA 𝐸 = ℏ𝜐 EINSTEN/PLANCK

Frequência Angular

OPERADORES

• OPERADOR “MOMENTUM”

𝑝 = −𝑖ℏ

UNIDADE IMAGINÁRIA Em que,

O OPERADOR APLICA-SE SOMENTE AO ESPAÇO OU A POSIÇÃO DE UMA PARTÍCULA

OPERADORES

• OPERADOR ENERGIA CINÉTICA

𝑇 = −

ℏ^2

• OPERADOR POTENCIAL 𝑉 ≡ 𝑉
• OPERADOR POSIÇÃO 𝑥 ≡ 𝑥
• OPERADOR ENERGIA TOTAL

𝐸 = 𝑖ℏ

OPERADORES

• OPERADOR HAMILTONIANO/LAPLACIANO

𝐻 = −

ℏ^2

EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER DEPENDENTE DO TEMPO

𝑖ℏ

𝜕𝑡 Ψ^ 𝑥,^ 𝑡^ =^ 𝐻Ψ(𝑥,^ 𝑡)

Substituindo 𝐻 , tem-se:

𝑖ℏ

𝜕𝑡 Ψ^ 𝑥,^ 𝑡^ =^ −^

ℏ^2

𝜕^2

𝜕𝑥^2 +^ 𝑉(𝑥,^ 𝑡)Ψ(𝑥,^ 𝑡)

POTENCIAL DEPENDENTE DO TEMPO

EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO TEMPO

• ESTADOS ESTACIONÁRIOS

𝜕𝑡 Ψ^ 𝑥,^ 𝑡^ =^ −^

ℏ^2

𝜕^2

𝜕𝑥^2 Ψ(𝑥,^ 𝑡)^ +^ 𝑉(𝑥)Ψ(𝑥,^ 𝑡)

POTENCIAL INDEPENDENTE DO TEMPO

Sistemas quânticos unidimensionais sob o efeito de potenciais independentes do tempo.

MÉTODO DE SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS Consiste em procurar soluções da equação parcial na forma de produto de funções de apenas uma variável.

EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO TEMPO Igualando-se os dois membros da equação através de uma constante de separação E (Energia), tem-se: 𝐻𝜓 𝑥 = 𝐸 𝜓(𝑥)

AUTOFUNÇÃO AUTOVALOR Um estado estacionário caracteriza-se no tempo pelo fato de que toda e qualquer medida de energia do sistema dará sempre o mesmo valor E, auto energia do sistema.

SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER

EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO TEMPO

1ª SOLUÇÃO

• SOLUÇÕES PARA SISTEMAS ESTACIONÁRIOS

2ª SOLUÇÃO 𝐻𝜓 𝑥 = 𝐸 𝜓(𝑥) 3ª SOLUÇÃO

∞

1

POÇO QUADRADO INFINITO OU POÇO DE POTENCIAL INFINITO

Seja a solução da Equação de Schrödinger,

Para partícula confinada no interior do poço de potencial infinito, 𝐸 < 𝑉 0 POTENCIAL FORA DO POÇO

ℏ^2

𝜕^2

𝜕𝑥^2 𝜓 𝑥^ + 𝑉 𝑥 𝜓 𝑥^ = 𝐸𝜓(𝑥)

Em um estado estacionário, o potencial independentemente do tempo nulo, é válida a solução geral: 𝜓 𝑥 = 𝐴𝑒𝑖𝑘𝑥^ + 𝐵𝑒−𝑖𝑘𝑥

POÇO QUADRADO INFINITO OU POÇO DE POTENCIAL INFINITO

Logo,

Em que, 𝑘 =

AS SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE , DO TEMPO PARA UM POÇO QUADRADO DE POTENCIAL INFINITO, SERÃO: 𝜓 𝑥 = 𝐵𝑛𝑐𝑜𝑠𝑘𝑛𝑥

𝜓 𝑥 = 𝐴𝑛𝑠𝑒𝑛𝑘𝑛𝑥

POÇO QUADRADO INFINITO OU POÇO DE POTENCIAL INFINITO

• NÍVEIS DE ENERGIA

POÇO QUADRADO INFINITO OU POÇO DE POTENCIAL INFINITO

• FUNÇÕES DE ONDA 𝜓𝑛 𝐸𝑛 𝜓𝑚 𝐸𝑚

ORTOGONAIS E ORTONORMAIS

𝑎 2

−𝑎 2

𝑎 2

−𝑎 2

POÇO QUADRADO FINITO OU POÇO DE POTENCIAL FINITO

PROFUNDIDADE DO POÇO

Condições de Contorno

POÇO QUADRADO FINITO OU POÇO DE POTENCIAL FINITO Para partícula confinada no interior do poço de potencial infinito, com valores discretos de energia, temos: 𝐸 < 𝑉 0 Seja a solução da Equação de Schrödinger,

−

ℏ^2

𝜕^2

𝜕𝑥^2 𝜓 𝑥^ + 𝑉 𝑥 𝜓 𝑥^ = 𝐸𝜓(𝑥)

Em um estado estacionário, o potencial independentemente do tempo nulo, é válida a solução geral: 𝜓 𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝑘 1 𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝑘 1 𝑥