Baixe Sequˆencias Num´ericas: Conceitos B´asicos e Limites e outras Exercícios em PDF para Equações Diferenciais, somente na Docsity!
- Sequˆencias Informalmente uma sequˆencia num´erica ´e uma lista ordenada e infinita de n´umeros a 0 , a 1 , a 2 , a 3 ,... , an,... Denotamos N o conjunto dos inteiros n˜ao negativos { 0 , 1 , 2 ,.. .}. Se m ´e um destes inteiros, denotamos m ∈ N. Usamos a nota¸c˜ao N≥m para o conjunto {m, m + 1,.. .} dos inteiros maiores ou iguais do que m. Denotamos R o conjunto dos n´umeros reais.
Defini¸c˜ao 1. Uma sequˆencia de n´umeros reais ´e uma fun¸c˜ao
a : N≥m → R
de N≥m at´e R, para um determinado m ∈ N. Segundo esta defini¸c˜ao formal, escrevendo a sequˆencia como uma lista de n´umeros, temos am, am+1, am+2,... , an,... Portanto para termos uma sequˆencia n˜ao ´e necess´ario chamar o primeiro elemento da sequˆencia por a 0. Tradicionalmente, denotamos os valores a(n) da forma an e a sequˆencia a tamb´em denota-se (an)n≥m ou simplesmente (an). Os valores an s˜ao os termos da sequˆencia.
Podemos representar graficamente uma sequˆencia no plano desenhando o conjunto de pontos (n, an) para todo n:
1 2 3 5 6 7 8 10
(6, a 6 )
(5, a 5 )
(1, a 1 )
Obviamente, podemos tamb´em chamar uma sequˆencia u, b, c, v, w, etc. e denotar os termos un, bn, cn, vn, wn, etc.
Exemplo 1. Se f : (0, +∞) → R ´e uma fun¸c˜ao, podemos construir a sequˆencia (f (n))n≥ 1. As seguintes sequˆencias podem se obter desta maneira:
(1) a sequˆencia (un) definida por un = 1/n, n ∈ N≥ 1 , (aqui f (x) = 1/x) (2) a sequˆencia (vn) definida por vn = log n, n ∈ N≥ 1 , (aqui f (x) = log x) (3) a sequˆencia (wn) definida por wn = en, n ∈ N, (aqui f (x) = ex) (4) a sequˆencia (tn) definida por tn = n^2 , n ∈ N, (aqui f (x) = x^2 ) (5) a sequˆencia (cn) definida por cn = 1/(1 − n^2 ), n ∈ N≥ 2. (aqui f (x) = 1/(1 − x^2 )).
Exemplo 2. Nem sempre uma sequˆencia tem que ser definida a partir de uma f´ormula fechada. Por exemplo, considere a sequˆencia de Fibonacci, definida recursivamente por
F 0 = 0; F 1 = 1 e Fn+1 = Fn + Fn− 1 para n = 1, 2 , 3 , ...
ou seja, (Fn) = 0, 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , ....
1.1. Limite de uma sequˆencia.
Defini¸c˜ao 2. Seja L ∈ R. Dizemos que a sequˆencia (an) tem limite L (ou que (an) tende a L) e escrevemos lim n→∞ an = L
se os termos an ficam t˜ao pr´oximos de L quanto quisermos ao fazer n suficientemente grande. Tamb´em podemos usar a nota¸c˜ao limn an = L ou lim an = L. Se limn→∞ an existe, dizemos que a sequˆencia ´e convergente. Caso contr´ario, dizemos que a sequˆencia ´e divergente.
Um exemplo de uma sequˆencia (an) com limite igual a L est´a dado no seguinte gr´afico,
y = L (3, a 3 )
Um exemplo de uma sequˆencia (an) divergente est´a dado no seguinte gr´afico,
Exemplo 3. A sequˆencia (an) definida por an = 1/n tem limite igual a 0, pois o n´umero 1 /n ´e t˜ao pr´oximo de 0 quanto quisermos. Basta tomar o n grande o suficiente.
Ao dizer “t˜ao pr´oximos a L quanto quisermos” na Defini¸c˜ao 2, incluimos a possibilidade de an ser igual a L, como mostra o pr´oximo exemplo.
Exemplo 4. A sequˆencia (vn)n≥ 0 definida por vn = 3 tem limite L = 3. Com efeito, para todo n ∈ N, |vn − L| = | 3 − 3 | = 0. Ent˜ao vn ´e sempre t˜ao pr´oximo de L quanto quisermos, para todo n.
Outra sutileza na Defini¸c˜ao de limite ´e o seguinte: para que (an) convirja a L, n˜ao ´e necess´ario que a distˆancia entre an e L seja uma fun¸c˜ao decrescente.
Exemplo 8. A sequˆencia (an) definida por an = n tem limite igual a +∞. Com efeito, an = f (n), para f (x) = x. Como sabemos que limx→∞ f (x) = +∞, vale a afirma¸c˜ao sobre a sequˆencia (an). Esta sequˆencia ´e divergente.
Exemplo 9. Cuidado! Se no Teorema 1 o limite da fun¸c˜ao real n˜ao existir, n˜ao podemos concluir que a sequˆencia diverge! Por exemplo, se f (x) = sin(πx) e an = f (n), temos que limx→∞ f (x) n˜ao existe mas lim an = 0 (de fato, a(n) = sin(πn) = 0 para todo n).
Observa¸c˜ao 1. Regras an´alogas `as que valem para limites de fun¸c˜oes valem para limites de sequˆencias. Se (an) e (bn) s˜ao sequˆencias convergentes (ou seja, os limites limn→∞ an e limn→∞ bn existem) e c for uma constante, ent˜ao
(an + bn) = lim n→∞
an + lim n→∞
bn
- lim n→∞ can = c lim n→∞ an
- lim n→∞
(anbn) = lim n→∞
an · lim n→∞
bn
an bn
limn→∞ an limn→∞ bn
, se limn→∞ bn ̸= 0
Por exemplo, se limn→∞ an = 3 e limn→∞ bn = 2, ent˜ao limn→∞ anbn = 6. Note que o reciproco n˜ao e necessariamente certo, ou seja, se limn→∞ anbn = 6 ent˜ao n˜ao necessariamente temos que limn→∞ an = 3 e limn→∞ bn = 2.
Exemplo 10. Usando as regras sobre opera¸c˜oes alg´ebricas e limites, deduzimos dos exem- plos 3 e 7, que
lim n→∞
n
4 n 3 n + 2
= 2 lim n→∞
n
n 3 n + 2
Pela regra sobre multiplica¸c˜ao de limites, deduzimos tamb´em limn − 1 /n = − limn 1 /n = 0 e limn − 1 /n^2 = − limn 1 /n^2 = 0
Outro resultado muito ´util na hora de calcular alguns limites de sequˆencias mais compli- cados ´e o seguinte.
Teorema 2. Seja f : D → R uma fun¸c˜ao cont´ınua em L. Seja (an) uma sequˆencia cujos termos pertencem a D. Se limn an = L, ent˜ao
lim n f (an) = f (L)
.
Exemplo 11. Consideremos a sequˆencia (an) definida por an = e^1 /n. A fun¸c˜ao exponencial ´e cont´ınua em 0 e limn 1 /n = 0. Sendo assim, o Teorema 2 nos d´a limn e^1 /n^ = e^0 = 1.
1.2. Passagem ao limite nas desigualdades.
Proposi¸c˜ao 3. Se (an)n≥m e (bn)n≥m s˜ao duas sequˆencias que possuem limite e tais que, para todo n ≥ m, an ≤ bn, ent˜ao lim n an ≤ lim n bn.
Observa¸c˜ao 2. A Proposi¸c˜ao 3 vale inclusive quando um ou ambos dos limites s˜ao −∞ ou +∞. Neste caso usamos a conven¸c˜ao de que
−∞ < x < +∞
para qualquer real x.
Exemplo 12. Consideremos an = 1/n^2 e bn = 1/n. Para todo n ≥ 2, temos an ≤ bn. Sabemos que ambas sequˆencias s˜ao convergentes. A Proposi¸c˜ao 3 nos indica que limn an ≤ limn bn. Por outro lado, conhecemos o valor exato destes limites: ´e o valor comum 0. Este exemplo mostra que, mesmo se tivermos uma desigualdade estrita an < bn para todo n ≥ m, no limite podemos obter uma igualdade. Ou seja, podemos ter an < bn para todo n ≥ m no enunciado da Proposi¸c˜ao 3 mas obter que limn an = limn bn.
Proposi¸c˜ao 4 (Teorema do confronto). Sejam (an)n≥m e (cn)n≥m duas sequˆencias que pos- suem o mesmo limite. Seja (bn)n≥m uma terceira sequˆencia tal que, para todo n ≥ m, an ≤ bn ≤ cn. Ent˜ao limn bn existe e
lim n an = lim n bn = lim n cn.
Exemplo 13. Se bn = sen(n^2 )/n^2 , ent˜ao − 1 /n^2 ≤ bn ≤ 1 /n^2. Usando o Exemplo 10 e o teorema do confronto, vemos que limn bn = 0.
1.3. Sequˆencias mon´otonas.
Defini¸c˜ao 4. Consideremos uma sequˆencia (an)n≥m.
- Esta sequˆencia ´e crescente se, para todo n, an+1 ≥ an.
- Esta sequˆencia ´e decrescente se, para todo n, an+1 ≤ an.
- Esta sequˆencia ´e estritamente crescente se, para todo n, an+1 > an.
- Esta sequˆencia ´e estritamente decrescente se, para todo n, an+1 < an.
- Esta sequˆencia ´e mon´otona se ´e crescente ou decrescente. Observamos que se (an) ´e estritamente crescente, ent˜ao ´e crescente e ent˜ao ´e mon´otona. O mesmo tipo de observa¸c˜ao vale para sequˆencias estritamente decrescentes.
Exemplo 14. A sequˆencia (an) = (1/n) ´e estritamente decrescente. Isto porque para todo
n, n < n + 1; tomando o inverso temos que
n
n + 1
, para todo n.
Note que nem toda sequˆencia ´e mon´otona. Por exemplo, os termos da sequˆencia do Exemplo 6, an = (−1)n^ satisfazem a 0 > a 1 , a 1 < a 2 , a 2 > a 3 e analogamente para os termos seguintes. Logo a sequˆencia n˜ao ´e crescente nem ´e decrescente.
Observa¸c˜ao 3. No caso em que an = f (n) para alguma fun¸c˜ao f , uma maneira de mostrar que a sequˆencia (an)n≥m ´e decrescente, ´e mostrar que a fun¸c˜ao f ´e decrescente no intervalo [m, ∞). De fato, se f ´e decrescente em [m, ∞), ent˜ao para n + 1 > n ≥ m, vale que f (n + 1) ≤ f (n). Logo an+1 ≤ an, para todo n ≥ m. Analogamente podemos mostrar que a sequˆencia ´e crescente, estritamente crescente ou estritamente decrescente, mostrando que f tem a propriedade correspondente no intervalo [m, ∞).
Exemplo 15. A sequˆencia (an)n≥ 2 com an =
1 − n^3
´e estritamente crescente. Vamos
mostrar isto usando a fun¸c˜ao f (x) =
1 − x^3
, pois an = f (n). Derivando a fun¸c˜ao f temos
f ′(x) =
−(− 3 x^2 ) (1 − x^3 )^2
3 x^2 (1 − x^3 )^2
0 para todo x ≥ 2
que a sequˆencia an ´e limitada superiormente, j´a que todo an ´e menor que 1. Segue do Teorema 5 que a sequˆencia an ´e convergente.
Exemplo 20. Um belo dia o professor Pablo faz um bolo de chocolate incrivelmente gostoso. A felicidade, por´em, dura pouco, pois Pablo enfrenta o seguinte dilema. Por um lado, ele quer que o bolo nunca acabe. Por outro lado, ele gostaria de comer um pouco todo dia. Ap´os refletir por um momento, ele decide fazer o seguinte. No primeiro dia ele come uma parte do bolo e congela o resto. No dia seguinte ele descongela e come uma parte do que sobrou no congelador. No terceiro dia ele novamente descongela e come um novo peda¸co, e assim por diante. Vamos fingir que o professor Pablo ´e imortal e que o congelador dele nunca falha, para que este processo possa se repetir infinitas vezes. Vamos chamar de an a fra¸c˜ao do bolo inicial que sobra no congelador ao final do dia n. A sequˆencia an ´e decrescente, j´a que todo dia o professor come um pouco de bolo. Tamb´em ´e claro que a sequˆencia ´e limitada superiormente: an ≤ 1 para todo n. Segue do Teorema 5 que a sequˆencia an ´e convergente, mas n˜ao necessariamente para 0 (depende da fome do Pablo).
