Aulas Remote de Engenharia: Equações Diferenciais I - Integração, Slides de Cálculo

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ENGENHARIA

AULAS REMOTAS

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

UNIFANOR WYDEN

PROF. ME. LUIS FERNANDO LOBATO

1. Primitivas Imediatas Exemplos:

a) ∫ 𝑐𝑑𝑥 = 𝑐∫ 𝑑𝑥 + 𝑘

b) ∫ 𝑥 𝛼+ 1 𝛼+ 1

• k c) ∫ sec (x) dx = ln|sec (x) + tg (x)| + k

d) ∫ tg (x) dx = - ln | cos (x)| + k → ln | cos (x)| + k

e) ∫

1 1 +𝑥^2 dx = arctg (x) + k

2. Integrais na forma ∫ **f (g(x). g(x) dx** Considere a seguinte derivada: [F(g(x))]= F(g(x). g(x) [F(g(x)]= f(g(x). g(x) Integrando com relação a X dos dois lados, temos: ∫ [F(g(x))dx = ∫ f(g(x)). g(x) dx F(g(x)) = ∫ f(g(x)). g`(x)

Exercício 2:

a) ∫ sen

2 (x). Cos(x) dx = ∫ [sen(x)] 2 cos (x) dx = (𝑠𝑒𝑛 𝑥 ) 3 3

• k = 𝑠𝑒𝑛 3 𝑥 3

+ K

b) ∫ 2x. cox (x

2 ) dx = sen (x 2 ) + k

c) ∫ x. cox (x

2 ) dx = 1 2 ∫ 2x. cox (x 2 ) dx = 1 2 sen (x 2 ) + k

d) ∫

𝑥 1 +𝑥^2 dx = 1 2

2 𝑥 1 +𝑥^2 dx = 1 2 ∫ 2x 𝑥 1 +𝑥^2 dx = ln| 1 + 𝑥 2 | + K

e) ∫

𝑥 2 2 +𝑥^3 dx = 1 3

3 𝑥 2 2 +𝑥^3 dx = 1 3 ∫ 3x 2 1 2 +𝑥^3 dx = 1 3 2 +𝑥 3 − 3 − 3

• k ou − 1 9 2 +𝑥^3

f) ∫ tg (x

2

• 3)2x dx = ln|sec(x 2 - 3)| +K ou – ln| cos(x 2 - 3) + K

Exercício: a) ∫ x cos(x) dx = x sen(x) - ∫ sen(x) dx → xsen(x) + cos(x) + k u = x v = sen (x) du = dx dv = cosn(x) dx b) ∫ ln|x| dx = x. ln|x| - ∫ x 1 𝑥 dx = xln|x| - x → x[ln|x| - 1] + k u = ln |x| v = x du = 1 𝑥 dv = dx

Cont. Exercícios: c) ∫ cos 2 (x) dx = ∫ cos(x). cos(x) dx =? u= cos(x) v= sen 2 (x) du= - sen(x)dx dv = cos 2 (x) dx ∫ cos 2 (x) dx = sen(x) cos(x) + ∫ sen 2 (x)dx → sen(x) cos(x) + ∫ [1- cos 2 (x)]dx → sen(x) cos(x) + ∫ 𝑑𝑥 - ∫ cos 2 (x)]dx → 2 ∫ cos 2 (x) dx =sen(x)cos(x)+x+ k ∫ cos 2 (x) dx = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑐𝑜𝑠 𝑥+𝑥 2 +k

4. Mudança de Variável Exercício 1: Para casa: ∫ 1 4 −𝑥 dx =?

5. Integrais Indefinidas do Tipo ∫ 𝑃 𝑥 𝑥−𝛼 𝑥−𝛽 dx Se o grau do polinômio do numerador for menor do que o polinômio do denominador, deve-se fazer: ▪ ∫ 𝑃 𝑥 𝑥−𝛼 𝑥−𝛽 dx = ∫ 𝐴 𝑥−𝛼

𝐵 𝑥−𝛽 dx ▪ ∫ 𝑃 𝑥 𝑥−𝛼 2 dx = ∫ 𝐴 𝑥−𝛼

𝐵 𝑥−𝛼 2 dx

5. (Continuação). Exercício: ∫ 𝑥− 3 𝑥− 1 𝑥− 2 dx= ∫ 𝐴 𝑥− 1

𝐵 𝑥− 2 dx → 𝑥+ 3 𝑥− 1 𝑥− 2 = 𝐴 𝑥− 1

𝐵 𝑥− 2 → 𝑥+ 3 𝑥− 1 𝑥− 2 = 𝐴 𝑥− 2 +𝐵(𝑥− 1 ) 𝑥− 1 𝑥− 2 →

5. (Continuação). Exercício: ∫ 𝑥− 3 𝑥− 1 𝑥− 2 dx= X+3 = Ax – 2 A +Bx – B → (A +B)x - 2 A – B A + B =

• 2 A – B = A = - 4 e B = 5 → logo: ∫ − 4 𝑥− 1

5 𝑥− 2 dx = - 4 ∫ 1 𝑥− 1 dx + 5 ∫ 1 𝑥− 2 dx → ∫ 𝑥− 3 𝑥− 1 𝑥− 2 dx= - 4 ln |x-1| + 5 ln |x-2|

6. Primitivas de funções com denominadores do Tipo (x-α) (x-β) (x-δ). a) Exercício: ∫ 2𝑥+ 1 𝑥 3 −𝑥 2 −𝑥+ 1 dx = 1 é raiz X 3 - x 2 - x +1 = (x-1). Q (x) Q(x) = X 3 - x 2 - x +1 → (x-1) X 3 - x 2 - x +1 / x- 1 X 3 - x 2 - x + x – 1 0 Q(X) = x 2 - 1

6. a) Exercício: Continuação ∫ 2𝑥− 1 𝑥− 1 ⋅𝑄 𝑥 dx = ∫ 2𝑥− 1 𝑥− 1 ⋅(𝑥− 1 )(𝑥− 1 ) dx = ∫ 2𝑥− 1 𝑥− 1 𝑥− 1 2 dx = → ∫ [ 𝐴 𝑥− 1

𝐵 𝑥− 1

𝐶 𝑥− 1 2 ] dx = → 2𝑥+ 1 𝑥+ 1 𝑥+ 1 2

𝐴 𝑥− 1

𝐵 𝑥− 1

𝐶 𝑥− 1 2

→ 2x +1= A 𝑥 + 1 2

• B 𝑥 − 1 + C 𝑥 + 1 → 2 x + 1 = A (x 2

• 2x +1) + B 𝑥 − 1 2 + C 𝑥 + 1 →2x +1 = [A+B] x 2

• [-2 A+C] + [A - B + C] A + B = 0 - 2 A + C = 2 → A = - 1/

• 2 A + C = 2 B = - A → B = 1 / 4 A – B + C = 1 2C = 3 → C = 3/

7. Primitivas de funções com denominadores irredutíveis de 2°Grau. Se em um integral do tipo ∫ 𝑃(𝑥) 𝑎𝑥^2 +𝑏𝑥+𝑐 dx o polinômio 𝑎𝑥 2

• 𝑏𝑥 + C não possui raízes reais, ou seja, ∆ = 𝑏 2 - 4 a c < 0 deve-se transformar este polinômio em uma soma de um quadrado perfeito com uma constante. Exemplo: ∫ 3𝑥 − 2 𝑥^2 − 4 𝑥+ 19

3𝑥 − 2 𝑥− 2 2 + 15 dx

7. Primitivas de funções com denominadores irredutíveis de 2°Grau. Continuação : Exercício: ∫ 2 𝑥+ 1 𝑥 2

• 2 𝑥+ 2 dx = u = x + 1 e du = dx; = ∫ 2 𝑢 − 1 + 1 𝑢^2 + 1 du = → ∫ 2𝑢− 2 + 1 𝑢^2 + 1 du = ∫ 2 𝑢− 1 𝑢^2 + 1 du = → = → ∫ 2𝑢 𝑢^2 + 1 du - ∫ 1 𝑢^2 + 1 du = → ln | 𝑢 2
• 1 | - arctg (u) + k = →ln | (x+1) 2 - arctg (x+1) + k = →ln | (x 2 +2x +1) – arctg (x+1) + k