MÉTODO NUMÉRICO - Turma EM3-2007
Lista de Exercícios: Equações Diferenciais Ordinárias
Data de entrega: 27/06/2007
1. Deduzir a equação para resolução de equações diferenciais ordinárias (E.D.O.) de 1
a
ordem na forma
(
)
y,xf'y =
pelo Método de Euler empregando séries de Taylor.
2. Calcular a solução das seguintes E.D.O. de 1
o
grau nos valores indicados, utilizando o
método de Euler e comparando com a solução exata a partir da solução analítica:
(a)
&
y
= 1/t, y(1) = 0, y(10), h = 3 e h = 1
(b) y’ + 2y = x
2
, y(0) = 0,25, y(2), h = 0,5 e h = 0,25
Solução analítica: y = x
2
/2 – x/2 + C
(c) y’ + y = sen x, y(0) = - 0,5, y(2), h = 1,0 e h = 0,5
Solução analítica: y = C (sen x – cos x)
(d) y’ – y = 1 – x, y(1) = -2, y(2), h = 0,5 e h = 0,2
Solução analítica: y = Ce
x
- x
3. Explique porque a redução do intervalo de integração h melhora a precisão no cálculo de
uma E.D.O. de 1
a
ordem. Observar os resultados da questão 2 para confirmar a influência
do intervalo h.
4. A taxa de emissão de radioatividade de uma substância é proporcional à quantidade da
substância restante. A equação diferencial é portanto
&
y
= - ky, onde o sinal menos reflete
o fato de que a radioatividade decai com o tempo e k é uma constante. Suponha que
k = 0,01 e que há 100 g do material em t = 0. Quanto material restará após 100 s ?
Calcular pelo método de Euler com precisão de uma casa decimal.
5. Um corpo com uma massa inicial de 200 kg é acelerado por uma força constante de
2000 N. A massa decresce a uma taxa de 1 kg/s. Se o corpo estiver em repouso em t = 0,
encontre a sua velocidade ao final de 50 s. Calcular pelo método de Euler com precisão
de uma casa decimal. A equação diferencial que descreve este problema é dada por
dv/dt = 2000/(200 - t)
na qual v é velocidade (m/s).