1. QUESTÃO (VALOR 6.0) A viga bi-engastada abaixo mostrada deverá ser construída com um material cuja tensão normal admissível de trabalho é no máximo σxxmax=200 N/mm^2. O material do qual a viga será construída possue um módulo de elasticidade longitudinal (Young) E=2,0x10^6 N/mm^2. A viga deve suportar uma carga uniformemente distribuída qo= 10.000 N/m ao longo de um vão L=5m. Outro dado de projeto é que a flecha máxima não deve ultrapassa vmax=L/1000. Por razões construtivas a seção transversal de viga deverá ser um retângulo com dimensões Bx3B, tal como mostrado. Para esta viga solicita-se: a) as equações e os diagramas de esforço cortante, momento fletor, deflexão angular (rotação) e deflexão linear (flecha), b) as reações de apoio, c) a dimensão mínima B para que os requisitos de tensão e deslocamento máximo sejam respeitados.

L

y

EIzz=cte

qo

B

x

z 3B

y

SOLUÇÃO :

Equação do carregamento q(x)= - qo (1)
Condições de contorno v(x=0)=0 (2) θz(x=0)=0 (3) v(x=L)=0 (4) θz(x=L)=0 (5)
Integração da equação diferencial EIzzd^4 v/dx^4 = -qo (6) integrando com relação a ‘x’

E Izzd^3 v/dx^3 = Vy(x)= -qo x +C 1 (7)

EIzzd^2 v/dx^2 =Mz(x)= -qo x^2 /2 +C 1 x + C 2 (8)

EIzzdv/dx=θz(x)= -qo x^3 /6 +C 1 x^2 /2 + C 2 x +C 3 (9)

EIzzv(x)= -qo x^4 /24 +C 1 x^3 /6 + C 2 x^2 / +C 3 x + C 4 (10)

Determinação das constantes de integração. de (2) em (10) E Izz v(0)= -qo (0)^4 /24 +C 1 (0)^3 /6 + C 2 (0)^2 /2 +C 3 (0) + C 4 =

logo: C 4 =0 (11)

de (3) em (9) EIzzdv/dx=θz(0)=-qo (0)^3 /6 +C 1 (0)^2 /2 + C 2 (0) +C 3 = 0 logo: C 3 = 0 (12)

de (4), (11,12) em (10) EIzzv(L)= -qo (L)^4 /24 + C 1 (L)^3 /6 + C 2 (L)^2 /2 +(0) (L) + (0)= 0 ainda, -qo L^4 /24 +C 1 L^3 /6 +C 2 L^2 /2 =0 (13)

de (5) e (11, 12) em (9) EIzzdv/dx=θz(L)= -qo (L)^3 /6 +C 1 (L)^2 /2 + C 2 (L) = 0, ainda, -qo L^3 /6 +C 1 L^2 /2 + C 2 L = 0 (14)

As equações (13) e (14) devem ser resolvidas simultaneamente para as constantes C 1 e C 2. A solução formece:

C 1 = qo L/2 (15) C 2 = - qo L^2 /12 (16)

Equações finais, valores e gráficos.

5.1 Equações finais

de (15) e (16) em (7) a (10):

Vy(x)= -qo x + qo L/2 (17)

Mz(x)=-qo x^2 /2 + qo L x/2 - qo L^2 /12 (18)

E Izz θz(x)= -qo x^3 /6 + qo L x^2 /4 - qo L^2 x/12 (19)

E Izz v(x)= -qo x^4 /24 + qo L x^3 /12 - qo L^2 x^2 /24 (20)

5.2 Valores e gráficos

Esforço Cortante Vy(x) Vy[0.0]= 25000. Vy[0.5]= 20000. Vy[1.0]= 15000. Vy[1.5]= 10000. Vy[2.0]= 5000. Vy[2.5]= 0. Vy[3.0]=-5000. Vy[3.5]=-10000. Vy[4.0]=-15000.

1 2 3 4 5

x

10000

20000

Vy(x)

5.3 Reações nos apoios.

Uma análise dos diagramas acima e dos correspondentes valores indica que as reações de apoio procuradas são: Forças: Ray= Rby = + 25 000 N Momentos Maz= Mbz = - 20 833,3 N.m

Dimensionamento

6.1) Dimensionamento à tensão,σxx.

Módulo de resistência da seção Wz= Izz / ymax Izz = B H^3 /12 = B (3B)^3 /12 = 9 B^4 / ymax = 3B/ logo Wz= (9 B^4 /4)/( 3B/2) = 3 B^3 /2 (21)

Dimensinamento da seção: (considerando o módulo do momento fletor máximo) σzzmax = Mzmax / Wz = Mzmax / (3 B^3 /2) logo: 3 B^3 /2 = Mzmax /σzzmax ; B= { (2 Mzmax)/(3 σzzmax) }1/3^ = { (2x20 833,4 N.m)/(3x200 N/mm^2 ) }1/ B= { (2x20 833,4 N.m [10^3mm/m])/(3x200 N/mm^2 ) }1/ B= { (2x20 833,4 x 10^3 N.mm)/(3x200 N/mm^2 ) }1/ Largura associada à tensão. B= 41.1 mm

6.2) Dimensionamento à flecha máxima. O diagrama mostra que a flecha máxima ocorre quanto x=L/2. Assim vamos determinar algebricamente o valor da deflexão linear máxima.

E Izz v(x)= -qo x^4 /24 + qo L x^3 /12 - qo L^2 x^2 / E Izz v(x=L/2)= -qo (L/2)^4 /24 + qo L (L/2)^3 /12 - qo L^2 (L/2)^2 / E Izz v(x=L/2)= -qo (L/2)^4 /24 + qo L (L/2)^3 /12 - qo L^2 (L/2)^2 /

E Izz v(x=L/2)= - qo L^4 /384, ou ainda vmax = v(x=L/2)= - qo L^4 /( E Izz 384)

Igualando o módulo deste resultado com a expressão para a flecha máxima admissível, temos:

L/1000 = qo L^4 /( E Izz 384) 1 = 1000 qo L^3 /( E Izz 384) Izz = 1000 qo L^3 /( E 384) Substituindo a expressão para Izz em função de B, já determinada em 5.1), temos:

Izz = 9 B^4 /4 = 1000 qo L^3 /( E 384) B^4 = 4000 qo L^3 /(9x384 E ) B = [4000 qo L^3 /(9x384 E )]1/4^ = [4000 (10 N/mm) (5000mm)^3 /(9x384x2.0x10^6 N/mm^2 )]1/

B=29.16 mm

2. QUESTÃO (VALOR 4.0) Considere o eixo ilustrado abaixo de seção circular com diâmetro d submetido ao carregamento indicado. Pede-se: a) determinar o diâmetro mínimo d para que o eixo permaneça na fase elástica; b) determinar a equação do ângulo de torção; c) suponha agora que a seção do eixo seja circular vazada com diâmetros interno di e externo de, com di/de = 0,8. Pede-se determinar os diâmetros di e de. d) para esta nova seção, determinar a equação do ângulo de torção. e) baseado nos resultados obtidos, determinar qual eixo é mais pesado e qual sofre a maior rotação. Dados: L = 2m Mt = 1000 N.m,τmax = 50 MPa G = 80 GPa to = 1600 N.m/m

L/

y

L/

Mt

to

x

Equação do carregamento t(x) = t 0 <x-L/2>^0
Condições de contorno x = 0 → θ = 0 x = L → Mx = Mt
Integração da equação diferencial do ângulo de torção GI (^) p d^2 θ / dx^2 = -t(x) = - t 0 <x-L/2>^0

3.1) primeira integração→ momento torçor: Mx = GI (^) p dθ / dx = - t 0 <x-L/2>^1 + C 1

3.2) segunda integração: GI (^) p θ = -( t 0 /2) <x-L/2>^2 + C 1 x + C 2

Determinação das constantes de integração. x=0 : GI (^) p θ(x = 0) = 0 + C 1 .0 +C 2 = 0 → C 2 = 0

8.2) Secção circular vazada

d 1 = diâmetro interno d 2 = diâmetro externo

τ = ( Mx / Ip ). ( d 2 / 2 ) = Mx / Nx = τ máx

Wx = ( Mx / τmáx ) = 2600/ 50 x 10^6 = 5,2 x 10-5^ m^3

Wx = (Ip / (d 2 / 2)) = [( π / 32 )( d 24 - d 14 )] / (d 2 / 2) = ( π / 16 ). ( d 24 - d 14 ) / d 2

d 1 / d 2 = 0,8 → Nx = ( π / 16 ). [ d 24 - ( 0,8d 24 ) ] / d 2 = 5,2 x 10- d 2 = [(16/π ). (5,2 x 10-5/ 0,5904 )]1/2^ = 7,65 cm d 1 = 6,12 cm

Equação do ângulo de torção

9.1) Secção circular Ip = π .d^4 / 32 = (π / 32). ( 6,42x10-2)^4 = 1,67 x 10-6^ m^4 tem-se que G Ip = 133422, θc ( x ) = 7,49 x 10-6^ [ -800.<x-1>^2 + 2600.x ]

9.2)Secção circular vazada Ip = ( π / 32 ) ( d 24 - d 14 ) = ( π / 32 ) [ ( 7,65x10-2^ )^4 - ( 6,12x10-2)^4 ] = 1,98 x 10-6^ m^4 tem-se que Gip = 158811, θv ( x ) = 6,30 x 10-6^ [ -800.<x-1>^2 + 2600.x ]

Relação entre os pesos

massas : mc = ρ. Vc Vc = volume da secção circular mv = ρ. Vv Vv = volume da secção vazada

mc = Vc = L. ( π / 4 ). d^2 = d^2 = 6,42^2 = 1, mv Vv L. ( π / 4 ). (d 22 - d 12 ) (d 22 - d 12 ) 7,65^2 - 6,12^2

Relação entre as rotações

θc = 7,49 x 10-6^ = 1, θv 6,30 x 10-