Baixe Exercícios de domínio e imagem de funções de duas variáveis, lista 3 e outras Exercícios em PDF para Cálculo Diferencial e Integral, somente na Docsity!
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II Professor: Cláudio Vivas, Elias Santiago, Érica Macedo, Fábio Rodrigues, Heliacy Sousa, Magnus Pereira, Maurício Brandão, Reinaldo Lima Aluno(a):
3 a^ Lista de Exercícios(atualizada em 25 de julho de 2007)
Questão 1. Determine o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções:(represente o domínio grafi- camente )
a) z = 3 − x − y b) f (x, y) = 1 + x^2 + y^2
c) z =
È
9 − (x^2 + y^2 ) d) z = xy
e) f (x, y) = p^1
x^2 + y^2 f) z = ln (4 −
p
x^2 + y^2 )
Questão 2. Desenhe algumas curvas de nível e esboce o gráfico. a) z = 3 − 2 x − 3 y b) f (x, y) = −
p
x^2 + y^2
c) z = y^2 d) z = x^2 + y^2
e) f (x, y) = sen y f) z = e−x
Questão 3. Mostre que os limites seguintes não existem:
a) lim (x,y)→(0,0)
x^2 − y^2 x^2 + y^2 b) lim (x,y)→(0,0)
3 xy 4 x^2 + 5y^2
c) lim (x,y)→(0,0)
x^2 − 4 y^2 x^2 + y^2
d) lim (x,y)→(0,0)
y^4 + 3x^2 y^2 + 2yx^3 (y^2 + x^2 )^2
e) lim (x,y)→(1,0)
(x − 1)^2 y (x − 1)^4 + y^2
Questão 4. Usando as propriedades, calcule os limites seguintes:
a) lim (x,y)→(1,2) 2 xy + x^2 − x y b) lim (x,y)→(2,−1)
x + y − 2 x^2 + y^2
c) lim (x,y)→(0,0)
r
x − 1 x^2 y^2 + xy − 1
d) (^) (x,ylim)→(1,1) ln (x^2 + y^2 + 10)
e) lim (x,y)→(π, π 2
sen (x + y) x
Questão 5. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem.
a) f (x, y) = ex (^2) y
b) f (x, y) = x cos (y − x) c) f (x, y) = xy^2 + xy + x^2 y d) z = 2xy + sen^2 (xy)
e) f (w, t) = w^2 t −
t f) f (u, v) = uv − ln (uv) g) z = ex 2 (x^2 + y^2 ) h) g(x, y) = arctg y x
Questão 6. Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado.
a) f (x, y) = 2x^2 y em (1, 1, f (1, 1)) b) f (x, y) = x^2 + y^2 em (0, 1, f (0, 1))
c) f (x, y) = 3x^2 y − xy em (1, −1, f (1, −1)) d) f (x, y) = xy em
, f
Questão 7. Determine a equação do plano tangente que passa pelos pontos (1, 1, 0) e (2, 1, 4) e é tangente ao gráfico da função f (x, y) = x^2 + y^2.
Questão 8. Determine a diferencial das funções abaixo nos pontos indicados.
a) f (x, y) = ex^ cos y em P
π 4
b) z = ln (x^2 + y^2 ) em P (1, 1)
Questão 9. A potência absorvida num resistor elétrico é dada por P = V^
2 R watts. Se V = 120 volts e R = 12 ohms, calcular o valor aproximado para variação de potência quando V decresce 0, 001 volts e R aumenta de 0, 02 ohms.
Questão 10. Um dos catetos de um triângulo retângulo é x = 3 cm e o outro, y = 4 cm. Calcule um valor aproximado para a variação ∆Z na hipotenusa Z, quando x aumenta 0, 01 cm e y decresce 0, 1 cm.
Questão 11. Um terreno tem forma retangular. Estima-se que seus lados medem 1200 m e 1800 m, com erro máximo de 10 m e 15 m, respectivamente. Calcular o possível erro no calculo da área do terreno.
Questão 12. Usando diferencial, obter o aumento aproximado do volume de um cilindro circular reto quando o raio da base varia de 3 cm para 3, 1 cm e a altura varia de 21 cm para 21, 5 cm.
Questão 13. Determine o valor do vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados.
a) z = x
p
x^2 + y^2 em P (1, 1) b) z = x^2 y + 3xy + y^2 em P (0, 3)
c) z =
p
4 − x^2 − y^2 em P (0, 0) d) z = xy − sen (x + y) em P ( π 2
Questão 14. Em que direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente no ponto dado? E em que direção e sentido decresce mais rapidamente?
a) f (x, y) = x^2 + xy + y^2 em (1, 1)
b) f (x, y) =
p
4 − x^2 − 2 y em
1,^1
Questão 15. Determine dz dt , usando a regra da cadeia.
a) z = tg (x^2 + y), x(t) = 2t, y(t) = t^2
b) z = x cos y, x(t) = sent, y(t) = t
c) z = arctg (xy), x(t) = 2t, y(t) = 3t
d) z = ex( cos x + cos y), x(t) = t^3 , y(t) = t^2
e) z = x y , x(t) = e−t, y(t) = ln t
Questão 16. Seja h(t) = f (e^2 t, cos t), em que f é uma função diferenciável a duas variáveis.
a) Determine h′(t) em função das derivadas parciais de f
b) Sabendo que ∂f ∂~u (e^2 π^ , −1) =
e^2 π^ , determine h′(π)
Questão 17. Calcule ∂f ∂~u (x 0 , y 0 ), sendo dados:
Respostas
Questão 1
a) D(z) = R^3 , Im(z) = R b) D(z) = R^2 , Im(z) = [1; +∞[ c) D(z) = {(x, y) ∈ R^2 /x^2 + y^2 ≤ 9 }, Im(z) = [0, 3]
d) D(z) = R^2 , Im(z) = R e) D(z) = R^2 − { 0 }, Im(z) = R∗ + f) D(z) = {(x, y) ∈ R^2 /x^2 + y^2 ≤ 16 }, Im(z) =] − ∞, ln 4]
Questão 4
a) 92 b) − (^15) c) 1 d) ln 12 e) − (^) π^1
Questão 5
a) ∂f ∂x (x, y) = 2xyex^2 y^ ∂f ∂y (x, y) = x^2 yex^2 y
b) ∂f ∂x (x, y) = x sen (y − x) ∂f ∂y (x, y) = −x sen (y − x)
c) ∂f ∂x (x, y) = y^2 + y + 2xy ∂f ∂y (x, y) = 2xy + x + x^2
d) ∂z ∂x (x, y) = 2y + 2y sen (xy) cos (xy) ∂z ∂y (x, y) = 2x + 2x sen (xy) cos (xy)
e) (^) ∂w∂f (w, t) = 2wt ∂f ∂t (w, t) = w^2 + (^) t^12
f) ∂f ∂u (u, v) = v − (^1) u ∂f ∂v (u, v) = u − (^1) v
g) ∂z ∂x (x, y) = 2xex^2 [1 + x^2 + y^2 ] ∂z ∂y (x, y) = 2yex^2
h) ∂g ∂x (x, y) = (^) x 2 − (^) +y y 2 ∂g ∂y (x, y) = (^) x 2 x+ y 2
Questão 6
a) z = 4x + 2y − 4 , (1, 1, 2) + t(4, 2, −1) b) z = 2y − 1 , (0, 1, 1) + t(0, 2, −1)
c) z = − 8 x + 2y + 8, (1, −1, −2) + t(−8, 2, −1) d) 2 x + 2y − 4 z − 1 = 0,
2 ,
1 2 ,
1 4
Questão 7 4 x − z − 4 = 0 e 4 x + 4y − z − 8 = 0 Questão 8
a) dz =
√ 2 e 2 dx^ −
√ 2 e 2 dy b) dz = dx + dy
Questão 9 ∆P = −2, 02 watts. Questão 10 ∆Z = dz onde dz é o diferencial de z =
p
x^2 + y^2 , no ponto (3, 4), relativa aos acréscimos dx = 0, 01 e dy = −0, 1. Questão 11 36000 m^2 Questão 12 17, 1π cm^3 Questão 13
a)
2 ;
√ 2 2
b) (9, 6)
c) (0, 0) d)
0, π 2
Questão 14 a) 3 ~i + 3~j e − 3 ~i − 3 ~j b)−~i − ~j e ~i + ~j
Questão 15 a) 10 t sec 2 (5t^2 ) b) cos 2 t − sen 2 t c) (^) 1 + 36^12 tt 4
d)tet^3 (3t cos t^3 + 3t cos t^2 − 3 t sen t^3 − 2 sen t^2 ) e)− e
−t ln t
1 + (^) t ln^1 t
Questão 16
a) 2 e^2 t^ ∂f ∂x (e^2 t^ , cos t) − sen t ∂f ∂y (e^2 t^ , cos t) b) 2
Questão 17 a) − √^85 b) − 52 c)√ 2
Questão 18 a)(0, 0), ponto de mínimo. b)(0, 0), ponto de sela e
3 ,
1 3
, ponto de mínimo.
c)
− 187 ,^207
, ponto de mínimo. d)(0, 0), ponto de sela; (1, 1), ponto de máximo e (−1, −1), ponto de máximo.
