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DISCIPLINA – INTRODUÇÃO A ESTATISTICA ECONOMICA – ECN
PROFESSOR HENRIQUE DANTAS NEDER
EXERCICIOS DE ESTATISTICA
PROBABILIDADE
1. a. Se P(A ou B) = 1/3, P(B) = 1/4 e P(A e B) = 1/5, determine P(A).
b. Se P(A) = 0,4 e P(B) = 0,5, que se pode dizer quanto a P(A ou B) se A e B são
eventos mutuamente excludentes?
c. Se P(A) = 0,4 e P(B) = 0,5, que se pode dizer quanto a P(A ou B), se A e B não são mutuamente excludentes?
2. Se A e B são mutuamente excludentes e B e C também o são, os eventos A e C devem ser mutuamente excludentes? Dê um exemplo que confirme sua resposta. 3. Como se modifica a regra da adição, se utilizamos ou exclusivo em lugar de ou inclusivo? Recorde que ou exclusivo significa um ou outro, mas não ambos. 4. Dado que P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A e B), estabeleça uma regra formal para P(A ou B ou C). (Sugestão: Trace um diagrama de Venn) 5. Determine a probabilidade de que, em 25 pessoas selecionadas aleatoriamente,
a. Não haja duas com a mesma data de aniversário.
b. Ao menos duas tenham a mesma data de aniversário.
6. a. Determine uma fórmula de não obter A ou Bem um único experimento. Isto é, dê uma expressão para P (A ou B).
b. Determine unia fórmula para a probabilidade não obter B em unia única prova; isto é, de u P( A ou B).
c. Compare os resultados das partes (a) e (b). são diferentes?
7. Devemos extrair aleatoriamente duas cartas, sem baralho bem misturado. Determine a probabilidade de obter um 10 na primeira extração e uma carta de paus na segunda. 8. Três moedas são jogadas simultaneamente. Qual é a probabilidade de obter 2 caras? Qual é a probabilidade de obter pelo menos 2 caras?
- Dois dados são jogados simultaneamente. Calcular a probabilidade de que a
soma dos números mostrados nas faces de cima seja 7.
- Dois dados são jogados simultaneamente. Calcular a probabilidade de que o
máximo seja maior ou igual a 3.
- (^) Para a Copa do Mundo 24 países são divididos em seis grupos, com 4 países cada um. Supondo que a escolha do grupo de cada país é feita ao acaso, calcular a probabilidade de que dois países determinados A e B se encontrem no mesmo grupo. ( Na realidade a escolha não é feita de forma completamente aleatória).
9. Uma loteria tem N números e só um prêmio. Um jogador compra n bilhetes em uma extração. Outro compra só um bilhete em n extrações diferentes. (Ambos os jogadores apostam portanto a mesma importância). Qual deles tem maior probabilidade de ganhar o prêmio? 10. Seis bolas são colocadas em três urnas diferentes. Qual é a probabilidade de que todas as urnas estejam ocupadas?
11. Um número entre 1 e 300 é escolhido aleatoriamente. Calcular a probabilidade de que ele seja divisível por 3 ou por 5.
12. Um torneio é disputado por 4 vezes A,B, C e D. Ë 3 vezes mais provável que A vença do que B, duas vezes mais provável que B vença do que C e é 3 vezes mais provável que C vença do que D. Quais as probabilidades de ganhar para cada um dos times?
13. Uma caixa contem 20 peças em boas condições e 15 em más condições. Uma amostra de 10 peças é extraída. Calcular a probabilidade de que ao menos uma peça na amostra seja defeituosa.
14. Uma cidade tem 30 000 habitantes e três jornais A, B e C. Uma pesquisa de opinião revela que:
12 000 lêem A; 8 000 lêem B; 7 000 lêem A e B; 6 000 lêem C; 4 500 lêem A e C; 1 000 lêem B e C; 500 lêem A,B e C.
Qual é a probabilidade de que um habitante leia:
a) Pelo menos um jornal; b) Só um jornal.
15. s algarismos 1,2,3,4,5 são escritos em 5 cartões diferentes. Estes cartões são
escolhidos (sem reposição) aleatoriamente e os algarismos que vão aparecendo são escritos da esquerda para a direita, formando um número de 5 algarismos.
b) uma quadra c) a quina
26. Na Loteria Esportiva há 13 jogos e o apostador deve indicar em cada um
deles a vitória do time 1, a vitória do time 2 ou o empate. Um jogador é premiado:
a) com 10 pontos, se acerta os resultados dos 10 primeiros jogos e erra os dos 3
últimos; b) com 11 pontos, se acerta os resultados dos 10 primeiros jogos e acerta apenas
um dos resultados dos 3 últimos; c) com 12 pontos, se acerta os resultados dos 10 primeiros jogos e acerta apenas
2 dos resultados dos 3 últimos; d) com 13 pontos, se acerta os resultados dos 13 jogos.
Supondo que em cada jogo os resultados possíveis tenham probabilidades iguais, determine a probabilidade de um apostador ser premiado:
a) com 10 pontos; b) com 11 pontos; c) com 12 pontos; d) com 13 pontos.
27. Escolhem-se ao acaso duas peças de um dominó. Qual é a probabilidade delas possuírem um número comum?
28. Em um armário há n pares de sapatos. Retiram-se ao acaso p pares de sapatos desse armário. Qual a probabilidade de haver entre esses pés exatamente k pares de sapatos?
29. Colocam-se ao acaso n botões em um tabuleiro n x n, não sendo permitido haver dois botões em uma mesma casa. Qual é a probabilidade de não haver dois botões nem na mesma linha nem na mesma coluna?
30. Um polígono regular de 2n + 1 lados está inscrito em um círculo. Escolhem-se 3 dos seus vértices, formando-se um triângulo. Qual é a probabilidade do centro do círculo ser interior ao triângulo?
31. Tem-se n urnas. Bolas são colocadas ao acaso nas urnas, uma de cada vez, até que alguma urna receba duas bolas. Qual é a probabilidade de colocarmos exatamente p bolas nas urnas?
32. João e Pedro lançam, cada um, um dado não-tendencioso. Qual é a probabilidade do resultado de João ser maior ou igual ao resultado de Pedro?
33. Numa prova há 7 perguntas do tipo verdadeiro-falso. Calcular a probabilidade de acertarmos todas as 7 se:
a) escolhermos aleatoriamente as 7 respostas, b) escolhermos aleatoriamente as respostas mas sabendo que há mais respostas
“verdadeiro” do que “falso”.
34. Sabe-se que 80 % dos pênaltis marcados a favor do Brasil são cobrados por
jogadores do Flamengo. A probabilidade de um pênalti ser convertido é 40 % se o cobrador for do Flamengo e de 70 % em caso contrário. Um pênalti a favor do
Brasil acabou de ser marcado:
a) Qual a probabilidade do pênalti ser cobrado por um jogador do Flamengo e ser
convertido? b) Qual a probabilidade do pênalti ser convertido?
c) Um pênalti foi marcado a favor do Brasil e acabou de ser desperdiçado. Qual é a probabilidade de que o cobrador tenha sido um jogador do Flamengo?
35. Marina quer enviar uma carta a Verônica. A probabilidade de que Marina escreva a carta é de 8/10. A probabilidade de que o correio não perca é de 9/10. A probabilidade de que o carteiro entregue é de 9/10. Dado que Verônica não recebeu a carta, qual é a probabilidade condicional de que Marina não a tenha escrito?
36. Durante o mês de agosto a probabilidade de chuva em um dia determinado é de 4/10. O Fluminense ganha um jogo em um dia com chuva com probabilidade de 6/10 e em um dia sem chuva com probabilidade de 4/10. Sabendo-se que o Fluminense ganhou um jogo naquele dia de agosto, qual a probabilidade de que choveu neste dia?
37. Num exame há 3 respostas para cada pergunta e apenas uma delas é certa. Portanto, para cada pergunta, um aluno tem probabilidade de 1/3 de escolher a resposta certa se ele está adivinhando e 1 se sabe a resposta. Um estudante sabe 30 % das respostas do exame. Se ele deu a resposta correta para uma das perguntas, qual é a probabilidade de que a adivinhou?
38. Um jogador deve enfrentar, em um torneio, dois outros A e B. Os resultados dos jogos são independentes e as probabilidades dele ganhar de A e de B são 1/ e 2/3 respectivamente. O jogador vencerá o torneio se ganhar dois jogos consecutivos, de uma série de 3. Que série de jogos é mais favorável ao jogador: ABA ou BAB?
39. A probabilidade de fechamento de cada relé do circuito apresentado na figura abaixo é igual a p, 0 < p < 1.
A = o resultado do 1 º^ lançamento é par; B = o resultado do 2º^ lançamento é par;
C = a soma dos resultados é par.
A e B são independentes? e A e C? e B e C? e A, B e C?
50. Uma pessoa com um molho de n chaves tenta abrir uma porta. Apenas uma
das chaves consegue abrir a porta. Qual é a probabilidade dela só conseguir abrir a porta na k-ésima tentativa:
supondo que após cada tentativa mal sucedida ela descarta a chave usada; supondo que ela não faz isso.
(Problema de Chevalier de Méré) Determine a probabilidade de obter:
ao menos um 6 em 4 lançamentos de um dado; ao menos um duplo 6 em 24 lançamentos de um par de dados.
51. A probabilidade de um homem ser canhoto é 1/10. Qual é a probabilidade de, em um grupo de 10 homens, haver pelo menos um canhoto?
52. Sacam-se, sucessivamente e sem reposição, duas cartas de um baralho comum (52 cartas). Calcule a probabilidade de a 1 ª^ carta ser uma dama e a 2ª^ ser
de copas.
53. Um exame de laboratório têm eficiência de 95 % para detectar uma doença quando essa doença existe de fato. Entretanto o teste aponta um resultado “falso positivo” para 1 % das pessoas sadias testadas. Se 0,5 % da população tem a doença, qual é a probabilidade de uma pessoa ter a doença dado que seu exame foi positivo?
54. A lança uma moeda n+ 1 vezes e B lança a mesma moeda n vezes. Qual é a probabilidade de A obter mais caras que B?
55. Quantas pessoas você deve entrevistar para ter probabilidade igual ou superior a 0,5 de encontrar pelo menos uma que aniversarie hoje?
56. Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 7 bolas brancas. A e B sacam alternadamente, sem reposição, bolas dessa urna até que uma bola vermelha seja retirada. A saca a primeira bola. Qual é a probabilidade de A sacar a bola vermelha?
57. Em uma cidade com n+ 1 habitantes, uma pessoa conta um boato para outra pessoa, a qual por sua vez conta para uma terceira pessoa, etc. Calcule a probabilidade do boato ser contado m vezes:
sem retornar à primeira pessoa; sem repetir nenhuma pessoa.
58. Sacam-se, com reposição, n (n > 1) bolas de uma urna que contem 9 bolas numeradas de 1 a 9. Qual é a probabilidade do produto dos números das n bolas extraídas ser divisível por 10?
59. Quantas vezes, no mínimo, se deve lançar um dado não tendencioso para que a probabilidade de obter algum 6 seja superior a 0,9?
60. Um júri de 3 pessoas tem dois jurados que decidem corretamente (cada um) com probabilidade p e um terceiro jurado que decide por cara ou coroa. As decisões são tomadas por maioria. Outro júri tem probabilidade p de tomar uma decisão correta. Qual dos júris tem maior probabilidade de acerto?
61. Um dia você captura 10 peixes em um lago, marca-os e coloca-os no lago novamente. Dois dias após, você captura 20 peixes no mesmo lago e constata que 2 desses peixes haviam sido marcados por você.
se o lago possui k peixes, qual era a probabilidade de, capturando 20 peixes, encontrar dois peixes marcados? para que valor de k essa probabilidade é máxima?
62. Qual é a probabilidade de, em um grupo de 4 pessoas:
haver alguma coincidência de signos zodiacais? as quatro terem o mesmo signo? duas terem o mesmo signo, e as outras duas, outro signo? três terem o mesmo signo e, a outra, outro signo? todas terem signos diferentes?
63. Deseja-se estimar a probabilidade p de um habitante de determinada cidade ser um consumidor de drogas. Para isso realizam-se entrevistas com alguns habitantes da cidade. Não se deseja perguntar diretamente ao entrevistado se ele usa drogas, pois ele poderia se recusar a responder ou, o que seria pior, mentir. Adota-se então o seguinte procedimento: propõe-se ao entrevistado duas perguntas do tipo SIM-NÃO:
Você usa drogas? Seu aniversário é anterior ao dia 2 de julho?
64. Pede-se ao entrevistado que jogue uma moeda, longe das vistas do entrevistador, e que se o resultado for cara, responda à primeira pergunta e, se for coroa, responda à segunda pergunta.
sendo p 1 a probabilidade de um habitante da cidade responder sim, qual é a
relação entre p e p 1? se forem realizadas 1000 entrevistas e obtidos 600 sim é razoável imaginar que Qual seria, então, sua estimativa de p?
ele que acender um cigarro, ele pega (ao acaso) uma das caixas e retira daí um
palito. O matemático é meio distraído, de modo que quando ele retira o último palito de uma caixa, ele não percebe que a caixa está vazia. Como ele fuma muito,
em certa hora ele pega uma caixa e constata que ela está vazia. Qual é a probabilidade de nesse momento a outra caixa conter exatamente k () palitos?
76. Lança-se repetidamente um par de dados não tendenciosos. Qual é a probabilidade de obtermos duas somas iguais a 7 antes de obtermos três somas iguais a 3?
77. Uma moeda tem probabilidade 0,4 de dar cara. Lançando-a 12 vezes qual o mais provável valor do número de caras obtidas?
78. Suponha que uma variável aleatória T tem a seguinte distribuição de
probabilidade
T 0 1 2
P(T=t) 0,5 0, 0,
Ache P(T <= 0) Ache P(T >= 0 and T < 2) Calcule E(T), a média da variável aleatória T.
79. Suponha que você escolha uma bola de uma urna contendo 7 bolas vermelhas, 6 bolas brancas , 5 bolas azuis e 4 bolas brancas. Qual é a probabilidade de que você escolha uma bola vermelha?
80. Suponha que você escolha uma bola aleatoriamente de uma urna 7 bolas vermelhas, 6 bolas brancas, 5 bolas azuis e 4 bolas amarelas. Qual é a probabilidade de que você escolha uma bola branca?
81. Um dado não viciado é jogado duas vezes. Ache a probabilidade de sair um 5 ou 6 no primeiro lance e um 1, 2 ou 3 no segundo lance.
82. Ache a probabilidade de não sair um 5 ou 6 em qualquer uma de duas jogadas de um dado não viciado.
83. Você tem um baralho de 52 cartas bem embaralhadas. Qual é a probabilidade de escolher dois valetes consecutivos se a primeira carta não é recolocada no
baralho?
84. Uma urna contem 5 bolas vermelhas, 3 bolas brancas e 6 bolas azuis.
Determine a probabilidade de que elas sejam escolhidas na ordem azul, branca e vermelha dado que cada bola é recolocada na urna depois de escolhida.
85. Uma urna contem 5 bolas vermelhas, 3 bolas brancas e 6 bolas azuis. Determine a probabilidade de que elas sejam escolhidas na ordem azul, branca e
vermelha dado que cada bola não é recolocada na urna depois que ela é
escolhida.
86. A urna A contem 2 bolas vermelhas e 3 azuis. A urna B contem 8 bolas
vermelhas e 2 azuis. Você joga uma moeda honesta. Se amoeda mostra cara você escohe uma bola da urna A. Se a moeda mostra coroa você escolhe uma bola da
urna B. Determine a probabilidade de que você escolha uma bola vermelha.
87. Você tem 6 bolas, cada uma de cor diferente. De quantas maneiras distintas você pode dispo-las em uma fila?
88. De quantas maneiras possíveis 8 pessoas podem sentar-se em um banco se apenas estão disponíveis 3 assentos?
89. De quantas maneiras números de 3 algarismos podem ser formados com os dígitos 0,1,2,..,9 se repetições são permitidas?
90. De quantas maneiras números de 3 algarismos podem ser formados com os dígitos 0,1,2,..,9 se repetições não são permitidas?
91. Três diferentes livros de Ciências, 5 diferentes livros de Inglês e 4 diferentes livros de Economia são arranjados em uma estante. De quantas maneiras é possível dispo-los se todos os livros de cada assunto precisam ficar juntos?
92. Três diferentes livros de Ciências, 5 diferentes livros de Inglês e 4 diferentes livros de Economia são arranjados em uma estante. De quantas maneiras é possível dispo-los se somente os livros de Ciências precisam ficar juntos?
93. De quantas maneiras pode um comitê de 6 pode ser escolhido de 10 pessoas?
94. A partir de 4 médicos e de 6 enfermeiras, um comitê consistindo de 3 médicos e 4 enfermeiras precisa ser formado. De quantas maneiras isto pode ser feito se um particular médico deve ser incluído e se qualquer enfermeira pode ser incluída?
95. A partir de 4 médicos e de 6 enfermeiras, um comitê consistindo de 3 médicos e 4 enfermeiras precisa ser formado. De quantas maneiras isto pode ser feito se uma particular enfermeira não pode ser incluída no comitê?
96. De quantas maneiras diferentes saladas de frutas podem ser feitas de maçã, laranja, tangerina e banana?
97. A partir de 6 consoantes e 4 vogais, quantas combinações distintas de letras podem ser feitas?
98. Quais dos seguintes pares de eventos são mutuamente exclusivos?
a. A: os números pares ; B: o número 5;
iii. simples iv. mutuamente exclusivos
101. Uma amostra de 1000 pessoas diagnosticada com certa doença é distribuída de acordo com a altura e o status (evolução) da doença a partir de um exame
clínico de acordo com a seguinte tabela:
Sem a doença
Fraca Moderad a
Severa Totais
Alta 122 78 139 61 400 Média 74 51 90 35 250 Baixa 104 71 121 54 350 Totais 300 200 350 150 1000
Como você estimaria, a partir dessa tabela, a probabilidade de ser média ou baixa em altura e ter moderado ou severo grau de evolução da doença?
a. 600/1000 * 500/1000 d. 300/
b. 300/500 e. 800/
300/
102. De cerca de 25 artigos, nove são defeituosos, seis tem defeitos superficiais e três tem defeitos importantes. Determine a probabilidade de que um artigo selecionado aleatoriamente tenha defeitos importantes dado que ele tem defeito.
1/
0,
0,
0,
103. A seguinte tabela de duas entradas mostra as frequências de ocorrência de uma exposição hipotética e a doença em um grupo de 1000 pessoas.
Doença
Exposição
Presente Ausente Totais
Presente 75 325 400 Ausente 25 575 600 Totais 100 900 1000
Qual é a probabilidade de exposição no grupo?
Qual é a probabilidade conjunta de tanto exposição como de doença estar presente no grupo?
Calcule a probabilidade de doença estar presente condicionada a presença de exposição e condicionada a ausência de exposição.
104. Um epidemiologista acredita que as rodovias têm alguma relação com o
desenvolvimento de uma nova doença porque a probabilidade de uma pessoa
estar morando a menos de uma milha das rodovias, dado que ela tem a doença, é
0,80. Você concorda com ele? Porque ou porque não?
105. Um dormitório de um campus universitário abriga 200 estudantes. 120 são homens, 50 são dos graus mais avançados e 40 são homens dos graus mais avançados. Um estudante é selecionado ao acaso. A probabilidade de selecionar um estudante de grau menos elevado, dado que o estudante é mulher, é:
(a) 7/8 (d) 7/
(b) 7/15 (e) 1/
2/
106. Uma amostra de 2000 indivíduos é distribuída de acordo com a cor de olho e a presença ou ausência de uma certa característica oftalmológica como segue:
Característica Cor dos olhos
Castanho Azul Outro
Sim 400 270 130 800
Não 200 650 350 1200
Total 600 920 480 2000
Em uma seleção aleatória de um indivíduo da população em estudo, Qual é sua estimativa da probabilidade de:
a pessoa tem olhos azuis? ___________ a característica está presente e a pessoa tem castanhos? ____________ a pessoa nem não tem olhos castanhos nem olhos azuis dados que a característica está ausente? _______________ d. a pessoa nem não tem olhos de outra cor nem olhos azuis e a característica está presente _______________ e. a pessoa não tem olhos castanhos? _______________ f. a pessoa tem olhos azuis ou nem não tem olhos azuis nem olhos castanhos?
110. Qual é a probabilidade condicional de que um depositante escolhido tenha
idade de 30 anos ou menos, dado que ele é homem?
a) 2/3 b) 7/10 c) 4/7 d) 2/5 e) nenhuma das anteriores
São as idades e sexos dos depositantes independentes para o Banco X? Porque?
111. Um epidemiologista sente que as rodovias têm alguma relação com o desenvolvimento de uma nova doença porque a probabilidade de que uma pessoa esteja morando a uma milha ou menos da rodovia, dado que ela tem a doença é 0,80. Você concorda com ele? Explique porque.
112. Existem duas urnas marcadas com H e T. A urna H contem 2 bolas vermelhas e 1 bola azul. A urna T contem 1 bola vermelha e 2 azuis. Uma moeda é jogada ao acaso. Se sai cara é escolhida uma bola da urna H. Se sai coroa, uma bola é escolhida da urna T. Ache as seguintes probabilidades.
a. P(cara e vermelha) b. P(coroa) c. P(vermelha) d. P(azul) e. P(cara|vermelha)
113. A seguinte tabela de contingência fornece uma distribuição de freqüências conjunta para os votos populares apurados na eleição presidencial de 1984 por região e por partido político. Os dados estão em milhares, arredondados para o mais próximo milhar.
Democrata Republicano Outros P1 P2 P3 Total Nordeste R1 9.056 11.336 101 20. Meio Oeste
R2 10.511 14.761 169 25.
Sul R3 10.998 17.699 136 28. Oeste R4 7.022 10.659 214 17. Total 37.587 54.455 620 92.
Quantos pessoas votaram no partido Republicano? Quantas pessoas no Meio Oeste votaram? Quantas pessoas no Sul votaram no partido Democrata? Determine a probabilidade dos eventos R3 e P2 (simultâneos). Calcule Pr(R3 ou P2), usando a tabela de contingência diretamente Calcule Pr(R3 ou P2), usando a regra geral da adição de probabilidade, isto é, Pr(A ou B) = Pr(A) + Pr(B) - Pr (A e B). Ache Pr(R3 | P2). Calcule Pr(P1) e Pr(P1 | R4). i. São os eventos P1 e R4 independentes? Explique sua resposta. São os eventos P1 e R4 mutuamente exclusivos? Explique sua resposta.
114. Em um bairro existem três empresas de TV a cabo e 20 mil residências. A
empresa TA tem 2100 assinantes, a TB tem 1850 e a empresa TC tem 2600 assinantes, sendo que algumas residências em condomínios subscrevem aos
serviços de mais de uma empresa. Assim, temos 420 residências que são assinantes de TA e TB, 120 de TA e TC, 180 de TB e TC e 30 que são assinantes
das três empresas. Se uma residência desse bairro é sorteada ao acaso, qual a probabilidade de: a. Ser assinante somente da empresa TA? b. Assinar pelo menos uma delas? c. Não ter TV a cabo?
115. Das pacientes de uma Clínica de Ginecologia com idade acima de 40 anos, 60% são ou foram casadas e 40% são solteiras. Sendo solteira, a probabilidade de ter tido um distúrbio hormonal no último ano é de 10%, enquanto que para as de mais essa probabilidade aumenta para 30%. Pergunta-se: a. Qual a probabilidade de uma paciente escolhida ao acaso ter tido um distúrbio hormonal? b. Se a paciente sorteada tiver distúrbio hormonal, qual a probabilidade de ser solteiro? c. Se escolhemos duas pacientes ao acaso e com reposição, qual é a probabilidade de pelo menos uma ter o distúrbio?
116. Três candidatos disputam as eleições para o Governo do Estado. O candidato do partido de direita tem 30% da preferência eleitoral, o de centro tem 30% e o da esquerda 40%. Em sendo eleito, a probabilidade de dar efetivamente prioridade para Educação e Saúde é de 0.4; 0.6 e 0.9 para os candidatos de direita, centro e esquerda respectivamente. a. Qual é a probabilidade de não ser dada prioridade a essas áreas no próximo governo? b. Se a área teve prioridade, qual a probabilidade do candidato de direita ter ganho a eleição?
117. Um médico desconfia que um paciente tem tumor no abdômen, pois isto ocorreu em 70% dos casos similares que tratou. Se o paciente de fato tiver o tumor, o exame ultra-som o detectará com probabilidade 0.9. Entretanto, se ele não tiver o tumor, o exame pode, erroneamente, indicar que tem com probabilidade de 0.1. Se o exame detectou um tumor, qual é a probabilidade do paciente tê-lo de fato?
118. Uma família viaja ao litoral para passar um fim de semana. A probabilidade de congestionamento na estrada é de 0.6. Havendo congestionamento, a probabilidade dos seus dois filhos brigarem no carro é de 0.8 e, sem congestionamento, a briga pode aparecer com probabilidade 0.4. Quando há briga, com ou sem congestionamento, a probabilidade do pai perder a paciência com os filhos é de 0.7. É claro que havendo congestionamento o pai pode perder a paciência com os filhos mesmo sem brigas o que aconteceria com probabilidade
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS E DISTRIBUIÇAO BINOMIAL
1. O número de paradas de máquinas em uma grande fábrica durante uma semana tem a seguinte distribuição de probabilidade:
B 5 10 15 20 25
P(B = b) 0,25 0,30 0,25 0,15 0,
Usando essa distribuição, Calcule E[B] e V[B]
2. A Companhia Beta comprou 80 componentes eletrônicos de um fornecedor que declara que somente 2 % dos componentes que ele vende são defeituosos e que os componentes defeituosos são misturados aleatoriamente com os componentes bons. Cada componente defeituoso custará a Beta US$ 250 em custos de reparo. Se o fornecedor está certo, qual será o número esperado de componentes defeituosos? E qual é o custo esperado de reparo?
3. Um vendedor de carros oferece a todos os seus clientes potenciais uma corrida de 30 milhas no tipo de carro que o cliente está interessado em comprar, mais um almoço ou jantar gratuitos. Todos estes custos são cerca de US$ 50. Se o cliente não compra o carro, o vendedor perde US$ 50, mas se o cliente comprar o carro, o lucro médio do vendedor é de cerca de US$ 500 (dos quais os custos da corrida e da refeição devem ser deduzidos). No passado, 20 % dos clientes compraram o carro depois da corrida e da refeição gratuita. Qual é o lucro esperado para o vendedor nessa situação?
4. Um processo de produção é paralisado para ajuste toda vez que uma amostra aleatória de cinco itens, selecionada com reposição, apresenta dois ou mais defeituosos. Ache a probabilidade de que o processo será paralisado após uma inspeção se ele está produzindo:
20 % de defeituosos 10 % de defeituosos 5 % de defeituosos
5. Um simples míssil de certa variedade tem uma probabilidade de ¼ de derrubar um bombardeiro, uma probabilidade de ¼ de danificá-lo e uma probabilidade de ½ de errá-lo. Além disso, dois tiros danificadores derrubarão o avião. Se quatro destes mísseis são lançados, qual é a probabilidade de derrubar um avião?
6. De acordo com um cientista político, a população votante de certa cidade consiste de 46 % do candidato A, 40 % do candidato B, 11 % do candidato C e 3 % do candidato D. Em uma amostra aleatória de 5 votantes, qual é a probabilidade de que a amostra contenha:
Dois votantes para o candidato A e um de cada das outras categorias? Três votantes para o candidato A e dois para o candidato B? Nenhum votante para o candidato D?
7. Em cada caso, determine se a função dada é uma distribuição de probabilidade.
a. P(x)= 1/2 x^ onde x = 1, 2, 3,.... b. P(x)= 1/2x onde x = 1, 2, 3,.... c. P(x) = 3/[4(3 - x)! x!] onde x = 0, 1, 2, 3, d. P(x)= 0,4(0,6)x-1^ onde x = 1, 2, 3,....
8. A média e o desvio-padrão de uma variável aleatória x são 5.0 e 2,0, respectivamente. Determine a média e o desvio-padrão das seguintes variáveis aleatórias:
3 + x 3x 3x + 4
9. Selecionam-se aleatoriamente os algarismos (0, 1, 2,.... 9) para números de telefone em pesquisas. A variável aleatória x é o algarismo escolhido.
Ache a média e o desvio-padrão de x. Ache o escore z para cada um dos valores possíveis de x; determine então a média e o desvio-padrão da população de escore z.
10. Suponha que a variável aleatória discreta x possa tomar os valores 1, 2, ... n, e que esses valores sejam igualmente prováveis.
Mostre que = (n + 1) /2. h. Mostre que = (n 2 - 1) / 12.
c. Um experimento consiste em escolher aleatoriamente um número inteiro entre 1 e 50; a variável aleatória x é o valor do número escolhido. Determine a média e o desvio-padrão de x. (Sugestão: 1 + 2 + 3 + --- + n = n (n + 1) /
12 +2 2 + 3 2 + ... + n^2 = n (n + 1)(2n + 1)/6.)
11. Se um caso satisfaz todas as condições de um experimento binomial, exceto pelo fato de o número de provas não ser fixo, pode-se aplicar a distribuição geométrica. A probabilidade de obter o primeiro sucesso na x ma^ prova é dada por
P(x) = p(l - p)x -1^ , onde p é a probabilidade de sucesso em uma prova. Suponha que a probabilidade de um componente de computador ser defeituoso é de 0,2. Determine a probabilidade de o primeiro defeito ocorrer no sétimo componente.
12. No caso de amostragem sem reposição de uma população finita, pequena, não devemos utilizar a distribuição binomial, porque os eventos não são independentes. Se a amostragem se faz sem reposição e os resultados
