Linguagens
1 Linguagens Formais
Linguagens são formadas a partir de um alfabeto e dessa forma seguem as regras convencionais dos conjuntos
matemáticos.
As seguintes operações podem ser realizadas sobre uma linguagem (conjunto):
• União (operação ‘ou’): ∪
• Interseção (operação ‘e’): ∩
• Complemento (operação ‘não’): ~
• Diferença: −
Uma cadeia, ou palavra, é uma sequência finita de símbolos do alfabeto e sobre ela são válidas as operações:
• Tamanho: |𝑐𝑎𝑑𝑒𝑖𝑎|
• Concatenação: 𝐶𝑎𝑑𝑒𝑖𝑎1 || 𝐶𝑎𝑑𝑒𝑖𝑎2
• Concatenação sucessiva: 𝑤𝑛
• Cadeia reversa: 𝐶𝑎𝑑𝑒𝑖𝑎
• Elemento neutro (cadeia vazia): 𝜆 ou 𝜀
• Fecho positivo: +
• Fecho estrela: *
Sendo o alfabeto Σ = {𝑎, 𝑏}, responda:
1. Expressão só com b’s.
2. Qual é a expressão que produza todas as cadeias que sigam a regra de começar com ‘a’?
3. Qual é a expressão que produza todas as cadeias que sigam a regra de terminar com ‘b’?
4. Expressão que contenha cadeias com dois ‘a’ consecutivos.
5. Expressão que contenha três ‘a’ consecutivos e três ‘b’ consecutivos.
6. Expressão com no máximo 2 elementos, incluindo vazio.
7. Expressão com no mínimo 3 elementos.
8. Expressão contendo uma vez ‘ba’ e terminando em ‘a’.
9. Expressão contendo um número par de ‘b’.
10. Expressão contendo uma quantidade ímpar de ‘b’.
Uma expressão deve aceitar todas as palavras que estejam de acordo com a regra e rejeitar todas as que não
estejam de acordo.
Respostas:
1. Expressão só com b’s: 𝑏+
2. Qual é a expressão que produza todas as cadeias que sigam a regra de começar com ‘a’: (𝑎𝑏∗)+
3. Qual é a expressão que produza todas as cadeias que sigam a regra de terminar com ‘b’: (𝑎∗𝑏)+
4. Expressão que contenha cadeias com dois ‘a’ consecutivos: (𝑎∗𝑏∗)∗𝑎𝑎(𝑎∗𝑏∗)∗
Fazendo 𝐾 = (𝑎∗𝑏∗)∗ é possível escrever a expressão como: 𝐾𝑎𝑎𝐾
5. Expressão que contenha três ‘a’ consecutivos e três ‘b’ consecutivos:
Fazendo 𝐾 = (𝑎∗𝑏∗)∗:
𝐾𝑎𝑎𝑎𝐾𝑏𝑏𝑏𝐾: Inválido pois só aceita cadeias em que os três ‘a’ aparecem antes dos três ‘b’
𝐾𝑎𝑎𝑎𝐾𝑏𝑏𝑏𝐾 ∪ 𝐾𝑏𝑏𝑏𝐾𝑎𝑎𝑎𝐾: Válido
6. Expressão com no máximo 2 elementos, incluindo vazio. 𝑎 ∪ 𝑏 ∪ 𝑎𝑎 ∪𝑎𝑏 ∪𝑏𝑎 ∪𝑏𝑏 ∪ 𝜆
7. Expressão com no mínimo 3 elementos.
Fazendo 𝐾 = (𝑎∗𝑏∗)∗: (𝐾𝑎𝑎𝑎)∪(𝐾𝑎𝑎𝑏)∪(𝐾𝑎𝑏𝑎)∪(𝐾𝑏𝑎𝑎)∪(𝐾𝑎𝑏𝑏)∪(𝐾𝑏𝑎𝑏)∪(𝐾𝑏𝑏𝑎)∪(𝐾𝑏𝑏𝑏)
8. Expressão contendo uma vez ‘ba’ e terminando em ‘a’.
Fazendo 𝐾 = (𝑎∗𝑏∗)∗
𝐾𝑏𝑎𝐾𝑎: Não resolve, pois a cadeia 𝑎𝑎𝑏𝑎 é válida de acordo com a regra mas não é aceita pela expressão
𝐾𝑏𝑎: Não resolve, pois 𝑎𝑎𝑏𝑎𝑎𝑎 é válida de acordo com a regra mas não é aceita pela expressão
𝐾𝑏𝑎 ∪ 𝐾𝑎: Não resolve, pois aceita 𝑎𝑎𝑎
𝐾𝑏𝑎𝐾𝑎 ∪ 𝐾𝑏𝑎: Válido
9. Expressão contendo um número par de ‘b’: (𝑎∗𝑏𝑎∗𝑏𝑎∗)+
10. Expressão contendo uma quantidade ímpar de ‘b’: (𝑎∗𝑏𝑎∗𝑏𝑎∗)+𝑏𝑎∗∪ 𝑎∗𝑏𝑎∗
Forma alternativa: ~(𝑎∗𝑏𝑎∗𝑏𝑎∗)+: complemento dos pares ou ~(𝑎∗𝑏𝑎∗𝑏𝑎∗)∗: complemento dos pares sem 𝜆
