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PARANÁ
Engenharia de Computação
Sinais e Sistemas
Prof. Andrés Eduardo Coca Salazar
Aluna: Driely Mancini
Tarefa 1 – Séries de Fourier
I. Para cada um dos sinais periódicos mostrados nas figuras calcular:
1. Série exponencial de Fourier (SEF)
2. Serie trigonométrica Fourier (STF)
3. Série compacta de Fourier (SCF)
4. Esboçar o espectro de Fourier da exponencial e da compacta
5. Potência, calculada usando cada domínio: tempo e frequência
6. Esboçar o espectro de potência
a)
- Série exponencial de Fourier (SEF)
1° Passo: Determinar o intervalo e calcular 𝜔
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
2° Passo: Calcular 𝑓
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ି ఠ బ
௧
,ହ
ି ,ହ
ି ఠ బ
௧
ଵ,ହ
,ହ
Integra-se por partes
ି ఠ బ
௧
షೕഘ
బ
ఠ
బ
Para o intervalo −0,5 < 𝑡 < 0,
ି ఠ బ
௧
,ହ
ି ,ହ
ି ఠ బ
௧
ି ఠ బ
௧
ି ఠ బ
௧
ି ఠ బ
௧
ି ఠ బ
௧
ି ఠ బ
௧
ଶ
ି గ ,ହ
ି గ ,ହ
ଶ
గ,ହ
గ,ହ
ଶ
Para o intervalo 0,5 < 𝑡 < 1,
ି ఠ
బ
௧
ଵ,ହ
,ହ
ି ఠ
బ
௧
ି ఠ
బ
௧
ଵ,ହ
,ହ
ଵ,ହ
,ହ
ି ఠ బ
௧
ି ఠ బ
௧
ଵ,ହ
,ହ
ଵ,ହ
,ହ
ି గଵ ,ହ
ି గଵ ,ହ
ଶ
ି గ ,ହ
ି గ ,ହ
ଶ
ି గଵ ,ହ
ି గ ,ହ
Juntando as duas integrais:
ି గ ,ହ
ି గ ,ହ
ଶ
గ,ହ
,ହ
ଶ
ି గଵ ,ହ
ି గଵ ,ହ
ଶ
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4° Passo: Calcular os coeficientes
Como sabe-se que o sinal é ímpar, pode-se fazer 𝑎
்
ଶ
்
ଶ
்
ଶ
்
ଶ
்
ଶ
ஶ
ୀଵ
- Série compacta de Fourier (SCF)
f(t) = c
୬
cos(nω
ஶ
୬ୀଵ
c
= a
= 0 c
୬
a
୬
ଶ
୬
ଶ
4A
nπ
ି ଵ
ஶ
ୀଵ
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- Esboçar o espectro de Fourier da exponencial e da compacta
Espectro da exponencial
N n𝜔
ି ଵ,ହ
ଶ
0,188 A 0,
ି ,ହ
ଶ
0,213 A -1,
ି ଵ,ହ
ଶ
0,188 A -0,
Figura 1:Espectro de Fourier da exponencial
Espectro da compacta
Figura 2:Espectro de Fourier da compacta
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Figura 3:Espectro de potência
b)
- Série exponencial de Fourier (SEF)
1° Passo: Determinar o intervalo e calcular 𝜔
ଶ
ଵ
ଶ
(௧
మ
ି ௧
భ
)
2° Passo: Calcular 𝑓
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ି
బ
௧
௧ మ
௧
భ
ି
బ
௧
ଵ
ିଵ
ି
బ
௧
ଵ
ିଵ
Integra-se por partes:
ି బ
௧
ି బ
௧
ି బ
௧
ି బ
௧
ି
బ
௧
ି
బ
௧
ି
బ
௧
ି
బ
௧
ଶ
ି
బ
ି
బ
ଶ
బ
బ
ଶ
ି
బ
ି
బ
ଶ
బ
బ
ଶ
3° Passo: Determinar o valor de f n
para n par e impar
ିଵ
ଶ
ି ଵ
ଵ
( )²
ଵ
ଶ
ି ଵ
ଵ
( )²
4° Passo: Substituir os valores no somatorio
௧
ିଵ
ି ௧
ଵ
௧
ଵ
ିଵ
- Série trigonométrica Fourier
1° Passo: Determinar o intervalo e calcular 𝜔
ଶ
ଵ
ଶ
(௧
మ
ି ௧
భ
)
2° Passo: Calcular 𝑎
௧ మ
௧
భ
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- Esboçar o espectro de Fourier da exponencial e da compacta
Espectro da exponencial
n 𝑛
ି ଵ
ቇ 0,16A 1,
ଵ
ቇ 0,16A -1,
Figura 4:Espectro de Fourier da exponencial
Espectro da compacta
n 0
Figura 5:Espectro de Fourier da compacta
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- Potência, calculada usando cada domínio: tempo e frequência
Potência no tempo
ଶ
ଶ
ି
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଷ
ଶ
ଶ
ଶ
ଵ
ିଵ
Potência na Frequência
ଶ
ୀି
ିଵ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ସ
ଵ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ସ
ଶ
ସ
- Esboçar o espectro de potência
N 𝑛
-1 - 0,0256A²
0,0256A²
Figura 6:Espectro de potência
c)
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ଶ
ି ఠ
బ
௧
ି ఠ
బ
௧
ଶ
ି ఠ
బ
௧
ଷ
ି గ
ି గ
ଶ
ି గ
ଷ
గ
గ
ଶ
గ
ଷ
3° Passo: Determinar o valor de f n
para n par e impar
ିଵ
ଶ
ଷ
ଵ
ଶ
ଷ
4° Passo: Substituir os valores no somatorio
గ௧
ିଵ
ି
ଵ
ୀିଵ
ஷ
ଵ
గ
- Série trigonométrica de Fourier (STF)
1° Passo: Determinar o intervalo e calcular 𝜔
ଶ
ଵ
2° Passo: Calcular 𝑎
௧
మ
௧
భ
ଶ
ଷ
ଵ
ିଵ
3° Passo: Testar a paridade
Portanto o sinal é par.
4° Passo: Calcular os coeficientes
்
ଶ
Integra-se por partes
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ଶ
ଶ
ଵ
ଶ
ଶ
Integra-se por partes
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଷ
ଶ
ଶ
ଶ
ஶ
ୀଵ
- Série compacta de Fourier (SCF)
ଵ
ଷ
ଶ
ଶ
଼
(
)
మ
ି ଵ
ଶ
ଶ
ஶ
ୀଵ
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Potência na Frequência
ିଵ
ଶ
ଷ
ଶ
ଶ
ଶ
ସ
- Esboçar o espectro de potência
n 𝑛
Figura 9:Espectro de potência
