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FACULDADE DE TECNOLOGIA SENAI/CIMATEC
DISCIPLINA: CÁLCULO D
DOCENTE: ANDRÉ SOLEDADE
ALUNO:______________________________________
Resolução de Equações Diferenciais por Séries de Potências
Como vimos, anteriormente, as equações diferenciais lineares a coeficientes constantes podem ser
resolvidas por métodos algébricos e as soluções são funções elementares do Cálculo. Quando as equações
têm coeficientes variáveis, a situação é mais complicada e as soluções podem não ser funções elementares.
Um grande número de equações, que desempenham um papel importante na Matemática aplicada às
Engenharias é desse tipo. Vamos portanto examinar um método para resolvê-las, onde as soluções aparecem
sob a forma de série de potências, motivo pelo qual o método é chamado de método das séries de potências.
A idéia fundamental do método das séries de potências para resolver uma equação diferencial é muito
simples. Consiste em supor que a equação tem uma solução da forma y =
0
n cn (x a). Substituindo-se a
série na equação obtém-se os coeficientes da mesma.
O método das séries de potências envolve várias operações com séries tais como: adição, derivação e
multiplicação de séries. Nos limitaremos a exemplos em que não iremos precisar de multiplicar séries. Além
disto o seguinte resultado nos dá a garantia da existência de soluções em séries de potências:
Teorema: Se as funções a 1 , a 2 e f na equação diferencial y'' + a 1 (x) y' + a 2 (x) y = f(x) podem ser
representadas por uma série de potências em ( x a) ( isto é, é analítica em x = a) então toda solução da
equação pode ser representada em série de potências de (x a), com raio de convergência positivo.
Vamos descrever o processo de maneira prática, ilustrando o mesmo por meio de exemplos.
Começaremos com dois exemplos bem simples, de equações a coeficientes constantes ( que obviamente não
precisam ser resolvidas por este método), apenas para que o mecanismo seja compreendido
Exemplos:
- y' y = 0
Suponhamos que a solução seja da forma
0
n
y cn x. Derivando obtemos:
1
n 1 y' ncn x. substituindo
y e y' na equação:
n c x c x 0 nc x c x nc c x 0
n 1
1
n n 1
n 1
1
n 1 1
n 1 n 0
n n 1
n 1 n ^
Observemos que para agruparmos as duas séries em uma só fizemos um deslocamento do índice de
0
n cn x ,
reescrevendo-a como
1
n 1 cn 1 x ( Substituímos n por n – 1 e para “compensar” o índice inferior do
somatório foi deslocado de uma unidade )
Temos assim que: n 1
n
c n c c 0 n 1 c n 1 n ^ n 1 n
Assim,
n!
c c
c
c
c c
c
c
c c
c
c
c c
c 1
c c
o n
3 o o 4
2 o o 3
1 o o 2
o
o 1
Logo,
x o o
n
o o
o n
0
n n c e n!
x x c n!
c y (^) c x
Este resultado, obviamente, pode ser obtido resolvendo-se diretamente a equação, por processos já estudados.
- y'' + y = 0
Suponhamos que a solução seja da forma
0
n y cn x. Derivando obtemos:
1
n 1 y' ncn x e
2
n 2 y'' n(n 1 )cn x. Substituindo y e y'' na equação:
n( n 1 )c x c x 0 n(n 1 )c x c x 0 n(n 1 )c c x 0
n 2
2
n n 2 2 2
n 2 n 2
n 2 n 2 0
n n
n 2 (^) n
Observemos o deslocamento do índice no segundo somatório!
Temos assim que: n 2 n(n 1 )
c n (n 1 )c c 0 c
n 2 n n 2 n
(^) que é uma lei de
recorrência que vai nos permitir obter cn. Assim,
c
c c
c
c c
c c
4 0 6
2 0 4
0 2
c
c c
c
c c
c c
5 1 7
3 1 5
1 3
( 2 n)!
( 1 ) c c
0
n
2 n
( 2 n 1 )!
( 1 ) c c
1
n
2 n 1
Como queremos os 6 primeiros termos não nulos, com a lei de recorrência acima obtemos os coeficientes
desejados.
Temos, então:
x .... 8!
15 c x 6!
3 c x 4!
c x 2!
c c cx
y c cx c x c x c x .......
15 c
5 c c
4 c c
3 c
3 c c
2 c c
c
c
c c
c 0
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1
4 4
3 3
2 0 1 2
6 0 8
5 7
4 0 6
3 5
2 0 0 4
3
- Encontre os três primeiros termos, não nulos, da série que é solução particular do seguinte problema de
valor inicial ( P.V.I.)
y y x y
y
e^ y'(0) = 1
Como as condições iniciais são dadas no zero, supomos a solução em série de potências de x.
Supondo que a solução seja da forma
0
n
y cn x , derivando obtemos:
1
n 1 y' ncn x e
2
n 2 y'' n(n 1 )cn x. Substituindo y , y' e y'' na equação:
6c c c 3 n(n 1 )c (n 1 )c c c x 1
6 c 3 n(n 1 )c x c (n 1 )c x c x c c x 1
3 n(n 1 )c x (n 1 )c x c x c x 1
3 n(n 1 )c x nc x c x c x 1
n 2
3
2 1 0 n n 1 n 3 n 2
3
n 2 0 n 2
n 2
3
n 3 3 3
n 2 1 n 1
n 2 2 n
2
n 2 n 2
n 2
3
n 3 2 2
n 2 n 1
n 2 n
0
n n
n 1
0
n 2 1
n 1 n
n 2 n
Comparando os dois membros da igualdade acima temos:
n 3 3 n(n 1 )
(n 1 )c c c c
1 c c c
3 n(n 1 )c (n 1 )c c c 0
6 c c c 1
n 1 n 2 n 3 n
1 0 2
n n 1 n 3 n 2
2 1 0
Lembrando que:
n!
f (a) (x a) c n!
f (a) c (x a)
(n )
n 0 0
n
(n) n (^) n
Usando as condições iniciais temos que:
y(0) = 0 co =
0!
f( 0 ) = 0
y'(0) = 1 c 1 =
1!
f ( 0 ) = 1
Assim:
2 c c c c
1 c c c
2 0 1 3
1 0 2
A função x .... 54
x 3
y x
2 3 é uma aproximação da solução numa vizinhança do ponto zero.
- Encontre os 5 primeiros termos não nulos da solução em série do seguinte P.V.I.
y( 1 ) 0 e y'(1)= 1
y' ' xy x 2 x 3
2
Observemos, inicialmente, que as condições iniciais são dadas no ponto a = 1. Devemos, portanto, buscar uma
solução em série de potências de ( x 1).
Escrevemos então os coeficientes e o segundo membro da equação em potências de ( x 1). A equação é
equivalente a:
y' ' (x 1 )y y (x 1 ) 2
2 ( I )
Supondo que a solução é em série de potências de ( x 1) temos que:
2
n 2 n 1
n 1 n 0
n y cn (x 1 ) .Logo,y' nc (x 1 ) e y'' n(n 1 )c (x 1 )
Substituindo y, y'' em ( I ):
